CHƯƠNG 3: ĐẠI SỐ VÀ ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐq-BRAUER
3.3. Thuật toán dùng để sản xuất các phần tử cơ sở cho đại số
Chúng ta giới thiệu ở đây một thuật toán dùng để sản xuất các phần tử cơ sở gd
chođại số q-Brauer Brn(r,q)từ một biểu đồ d cho trước trong đại số Brauer Dn(N) cổ điển. Sự xây dựng của thuật toán này dựa trên phương pháp chứng minh bổ đề 1.3.7(1) (xem [7], Bổ đề 1.2(a) chomột chứng minh hoàn chỉnh). Từ sự diễn tả của biểu đồdbất kỳ như là sự liên kết của ba biểu đồ thành phần (d1,ω( )d ,d2) trong mục 3.1, nó là đủ để xem xét biểu đồ d* có dạng của biểu đồ d1. Nghĩa là, d* có chính xác k đoạn thẳng ngang trong mỗi hàng, nó có hàng dưới giống như một hàng của e(k),và các đoạn thẳng dọc không cắt nhau. Gọi Dk n*, là tập hợp tất cả biểu đồ d*ở trên.
Nhắc lại rằng, một hoán vị si,jvới 1≤i j n, ≤ −1 coi như là biểu đồ, ta gọid( , 1)*i j+ nếu i≤ j hoặc d( 1, )*i+ j nếu i> j,trong đại số Brauer sao chocác đỉnh tự do 1,2,..,i-1,j+2,.
.., nđược cố định.
Ví dụ: TrongD7(N), hoán vị s6,3tương ứng với biểu đồ:
• • • • • • •
• • • • • • •
3.3.1.Thuật toán
Cho trước biểu đồ d∗củaDk n*, , chúng ta đánh số các đỉnh trên đồng thời cả hai hàng của d*từ trái qua phải bởi 1,2,...,n.Chú ý rằng với 2k+ ≤ ≤1 i n nếu đỉnh thứ iở hàng dưới kết nối với đỉnh thứ ( )f i ở hàng trên, thì ( )f i < f i( +1)bởi vì hai đoạn dọcbất kỳ là không cắt nhau trong biểu đồ d*. Điều này, kéo theo sự kết nối của biểu đồ
* ( , ( ))n f n
d và d* cho ta biểu đồ d1*=d( , ( ))*n f n d*trong đó đỉnh thứ n ở hàng dưới kết nối với đỉnh thứ n ở hàng trênvà các đoạn thẳng dọc còn lại tương tự các đoạn thẳng
d7,3∗ =
dọc trongd*. Nghĩa là, biểu đồ d1*có đỉnh thứ n−1ở hàng dưới nối với đỉnh thứ ( 1)
f n− ở hàng trên. Tương tự như vậy sự liên kếtcủa hai biểu đồ d(*n−1, (f n−1))và d1* cho ta biểu đồ mới
* * * * * *
2 (n 1, (f n1)) 1 (n 1, (f n 1)) ( , ( ))n f n
d =d − − d =d − − d d
trong đó các đỉnh thứ n và n−1 ở hàng dưới của d2* được nối với các đỉnhtương ứng ở hàng trên của nó và các đoạn thẳng dọc còn lại giữ nguyên ví trí như các đoạn thẳng dọc trong d*.
Tiếp tục theo cách này, chúng ta xác định một dãy các biểu đồ sau:
* * *
( , ( ))n f n , (n 1, (f n1)),..., (2 k 1, (2 k 1))f
d d − − d + +
sao chod/ =d(2 k 1, (2 k 1))* + f + ...d(*n−1, (f n−1)) ( , ( ))d*n f n d*là một biểu đồ trong S e2k ( )k . Ở đây, d/ có thể xem như là một biểu đồ trongD2k( )N với chỉ các đoạn thẳng ngang và có
(n−2 )k đoạn thẳng dọc bên phải. Tiếp theo, gọii2k-2 là tên của đỉnh trong hàng trên của d/,mà được kết nối với đỉnh thứ 2k trong hàng đó và đặt t(2k−2) =si2k−2,2k−2. Tiếp đó biểu đồ mới d1/ =t(2−1k−2)d/mà các đỉnh thứ 2k và thứ (2k−1)được kết nối với nhau bởi một đoạn thẳng ngang. Thực hiện quá trình này cuối cùng biểu đồd* biến đổi thành biểu đồe(k).
1 1 1 * * * *
( )k (2)...(2k 4) (2k 2) (2k 1, (2f k 1))... (n1, (f n 1)) ( , ( ))n f n . e =t− t− − t− − d + + d − − d d Dẫn đến biểu đồ d*được viết lại là ( )
*
d =ωek
, trong đó
1 1 1 * * * 1
(2) (2 4) (2 2) (2 1, (2 1)) ( 1, ( 1)) ( , ( ))
(t ...t k t k d k f k ...dn f n dn f n )
ω = − − − − − + + − − − (3.3.1)
* * * 1 1 1 1
(2 1, (2 1)) ( 1, ( 1)) ( , ( )) (2) (2 4) (2 2)
(d k+ f k+ ...dn− f n− dn f n ) (− t− ...t−k− t−k− )
=
* * *
( ( ), ) ( (f n n f n 1), 1)n ... ( (2f k 1),2k 1) (2k 2) (2k 4) (2)
d d − − d + + t − t − t
=
2 2 2 4 2
( ), 1 ( 1), 2... (2 1),2 ,2 k 2 ,2 4 ,2
k k
f n n f n n f k k i i k i
s s s s s s
− −
− − − + − −
=
2 2 4 2 2 2 2 2 4 2
1
2, ... 2 4, 2 2, 2 , (2 1)... 2, ( 1) 1, ( ) ,2 2 ,2 4 ,2
k k k k
i k i k i k f k n f n n f n i k i k i
s s s s s s s s s
ω− = − − − − + − − − − − − − .
Chú ý rằng đối đẳng cấu * trong đại số Brauer cổ điểnDn(N) biến biểu đồd* thành biểu đồ dcó dạng ( )
1
ekω− với
2 2 4 2 2
1
2,i ... 2k 4,ik 2k 2,ik 2 , (2 k 1)k f ... n 2, (f n 1) n 1, ( )f n .
s s s s s s
ω− = − − − − + − − −
Bởi theo định nghĩa 3.1.3, các phần tử cơ sở tương ứng gd*
và gdtrong đại số q- Brauer có dạng như sau: gd* =g eω ( )k
và gd =e g( )k ω−1. 3.3.2.Ví dụ
Trong D7(N) chúng ta có biểu đồ d* như sau:
• • • • • • •
• • • • • • •
Bước 1: Biến đổi d về d/ d*
• • • • • • •
( )7,3
d∗
• • • • • • • • • • • • • •
= d1∗
• • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • •
• • • • • • •
( )6,2
d∗
• • • • • • • • • • • • • •
= d2∗
• • • • • • • • • • • • • •
Bước 2: Biến đổi d/ vềe(2)
Bây giờ, biểu đồ d*được viết lại ở dạngωe(2),trong đó
* * * 1
(5,1) (6,2) (7,3) (2) 3,6 2,5 1,4 2
(d ,d ,d ) t s s s s
ω = − = .
Phần tử cơ sở tương ứng với biểu đồd* trong đại số q-Brauer Br7(r,q) là
* (2) 3,6 2,5 1,4 2 (2).
gd = g eω = g g g g e+ + +
Sử dụng đối đẳng cấu * trong đại số Brauer Dn(N)dẫn đến biểu đồ kết quảd trong đại số Brauer Dn(N)là:
1 1
(2) (2)( 3,6 2,5 1,4 2) (2) 2 4,1 5,2 6,3. d e= ω− =e s s s s − =e s s s s Do đógd =e g(2) ω−1 =e g g g g(2) 2 4,1 5,2 6,3+ + + .
Quan sát rằng kết quả này có thể thu được qua việc áp dụng đối đẳng cấu i trên đại sốq-Brauer, nghĩa là,
• • • • • • •
( )5,2
d∗
• • • • • • • • • • • • • •
= d/
• • • • • • • • • • • • • • d2∗
• • • • • • •
• • • • • • •
t(2)
• • • • • • • • • • • • • •
= e(2)
• • • • • • • • • • • • • • d/
• • • • • • •
3.3.3. Nhận xét
1. Kết hợp với Bổ đề 1.3.7thuật toán ở trên ngụ ý rằng tương ứng với mỗi biểu đồ d* của Dk n*, cho trước códuy nhất một phần tử
* 1 1...2 2 2 2 4...2
n n k k k k
t t t t t t B
ω = − − − − ∈ với t ,
j =si jj
và ij <ij+1, trong đó 2k+ ≤ ≤ −1 j n 1 Sao chod∗=ωe(k)và l d( )* =l( )ω . Đặt
{
* *
, = ω∈ ∗| =ω ( )
k n k k
B B d e
và l d( )* =l( ), ω d*∈Dk n*, }(3.3.2)
vàBk n, ={ω ω−1 ∈Bk n*, }.(3.3.3)
Theo Bổ đề 1.3.8 (1),
1 1
, { ( )
k n k k
B = ω− ∈B d e= ω−
vàl d( )=l(ω−1),d D }∈ k n, ,
trong đó Dk,nlà tập hợp tất cả các biểu đồ của d là ảnh của biểu đồ d*∈Dk n∗, qua ánh xạ đối đẳng cấu *. Tính duy nhất củaphần tửω∈Bk n, có nghĩa là
* *
, , , ,
k n k n k n k n
B = B = D = D .
Chotrước biểu đồ d*∈Dk n∗, , bởi vì số lượng các biểu đồ d* bằng số lượng các khả năng để tạo thành k đoạn thẳng ngang trong n đỉnh ở hàng trên của d*, nó dẫn đến rằng
*
, ,
! .
2 ( 2 )! !
k n k n k
B B n
n k k
= =
−
2. Cho một phần tử ω=t tn−1n−1...t t2k 2k−2 2t k−4...t2∈Bk* nếu tj =1với 2k≤ ≤j n-1 thì
1
tj+ =1. Thật vậy, trong công thức (3.3.1), giả sử rằngtj =sf j( +1),j =1. Điều này có nghĩa là biểu đồtương ứngd( (*f j+1), 1)j+ =1, trong trường hợp này biểu đồ d( (*f j+1), 1)j+ là biểu đồ gồm tất cả các đoạn thẳng dọc không cắt nhau. Điều này kéo theođỉnh thứ
1
j+ của hàng dưới của biểu đồ d*kết nối với đỉnh thứ j+1tương ứng của hàng trên,
điều này được hiểu là f j( + = +1) j 1.Từ định nghĩa củabiểu đồ d* trong Dk n∗, các đoạn thẳng dọc phía bên phải của đỉnh thứ (j+1)ở hàng dưới là không cắt nhau.
Điều này có nghĩa là đỉnh thứ j+2của hàng dưới của biểu đồ d*nốivới đỉnh thứ
( 2) 2
f j+ = +j ở hàng trên của nó.Do đó, d( (*f j+2),j+2) =d(*j+2),j+2) =1, điều này được hiểu làtj+1 =sf j( +2), 1j+ =sj+2, 1j+ =1.