Không gian hypebolic phức

CHƯƠNG II. SIÊU MẶT HYPEBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

2.2. Siêu mặt hypebolic trong không gian xạ ảnh

2.2.1. Không gian hypebolic phức

Giả sử D là đĩa đơn vị trong £ , khoảng cách hyperbolic giữa hai điểm ,

a b D∈ được xác định bởi hệ thức:

( ), 12log1 1 .

1 1

hyp

b a d a b ab

b a ab + −

= −

− −

−

2.2.1.2. Định nghĩa

Giả sử X là không gian phức liên thông và một dãy các hàm chỉnh hình : , i = 1,2,...,m; x,y X

f Di →X ∈ .

Giả sử rằng các điểm ,a bi j thuộc đĩa đơn vị D và thoã mãn hệ thức

( )1 , f ( )

i m m

f a =x b = y đồng thời f ai( )i = fi+1( )ai+1 , i=1,2,....,m-1,khi đó nửa khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm ,x y X∈ được xác định bởi hệ thức

( ) ( ) ( )

1

, , inf m , ,

kob x hyp i i

i

d x y d x y d a b

=

= = ∑

Trong đó cực tiểu được lấy với mọi cách chọn , ,f a bi i i. 2.2.1.3. Định nghĩa

Không gian X được gọi là hypebolic Kobayashi nếu nửa khoảng cách dX là khoảng cách, nghĩa là dX ( )x y, = ⇔ =0 x y.

2.2.1.4. Định nghĩa

Không gian X được gọi là hyperbolic Brody nếu không tồn tại các ánh xạ chỉnh hình khác hằng số từ £ vào X.

2.2.1.5. Hệ quả

( )i . Mỗi ánh xạ chỉnh hình f D: →D có tính chất giảm đối với nửa khoảng cách Kobayashi, nghĩa là:

( ) ( )

( , ) ( ), , x,y D

D D

d f x f y ≤d x y ∀ ∈ .

( )ii . Mỗi ánh xạ tự đẳng cấu của D là một phép đẳng cự.

2.2.1.6. Định lý

Giả sử f X: →Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức với hai nửa khoảng cách dX, d tương ứng. Khi đó f là hàm có tính chất giảm Y đối với nửa khoảng cách Kobayashi.

( ) ( )

( , ) ( ), , x,y

Y X

d f x f y ≤d x y ∀ ∈X .

Ngoài ra, d là nửa khoảng cách lớn nhất trong X X sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình f X: →Y đều có tính chất trên.

2.2.1.7. Hệ quả

Mọi không gian hyperbolic Kobayashi đều là không gian hyperbolic Brody.

2.2.1.8. Định lý

Giả sử không gian con của không gian Y hoặc f X: →Y là ánh xạ chỉnh hình và đơn ánh. Khi đó nếu X là không gian hyperbolic thì Ycũng vậy.

2.2.1.9. Định lý

Giả sử X và Ylà các không gian phức và f là ánh xạ chỉnh hình từ X vào không gian hyperbolic Y thoả mãn hai điều kiện:

( )i . dY( f x f y( ) ( ), ) ≤dX ( )x y, , x,y∀ ∈X

( )ii . Mỗi y Y∈ , tồn tại lân cận U của y sao cho f−1( )U là

hyperbolic.

Khi đó X là không gian hyperbolic Kobayashi.

2.2.1.10. Định lý

Giả sử X là k hông gian phức compact, khi đó X là không gian hyperbolic Brody khi và chỉ khi X là không gian hyperbolic Kobayashi.

2.2.1.11. Nhận xét

Vì £p là không gian compact địa phương nên theo chúng tôi, khó có thể chỉ ra sự tương đương giữa hai khái niệm này.

Định lý 2.2.2.

Giả sử X là một siêu mặt trên P ( )3 £ có bậc d xác định bởi đẳng thức

3 3

1 2 4 1 2

1 2 3 4 1 2 3

: d d d d 0

X z +z +z +z +cz zα α z α = , (3) trong đó

3 1

0, i , i 7

i

c α d α

=

≠ ∑ = ≥ . Khi đó X là hyperbolic nếu d ≥22

Chứng minh. Cho k d= −7. Khi đó X thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.1.4, và mọi đường cong chỉnh hình trên X đều suy biến.

Bây giờ giả sử f =( ,...,f1 f4) :£ → X là một đường cong chỉnh hình trên X . Xem xét các trường hợp có thể xảy ra sau đây:

1) Với i=1,2,3 nào đó, fi ≡0 Khi đó f là một ánh xạ hằng suy ra từ Hệ quả 2.1.3.

2) f4 ≡0 Khi đó ảnh của ( , , )f f f1 2 3 được chứa trong đường cong xác định bởi đẳng thức sau đây

3 3

1 2 4 1 2

1 2 3 4 1 2 3

: d d d d 0

Y z +z + z +z +cz zα α z α =

Từ chứng minh của Định lý 2.2.2, ta suy ra rằng (f1d, f2d, f3d) là phụ thuộc tuyến tính. Khi đó ít nhất hai trong số ( , , )f f f1 2 3 , giả sử, f1 và f2, có một tỷ lệ không đổi.

Thay hệ thức này vào (3), chúng ta có thể chứng tỏ rằng f là một ánh xạ hằng (chú ý rằng ai ≠0 với mọi i=1,2,3).

3) Giả sử rằng mọi fi ≡ 0 Từ chứng minh của Định lý 2.2.2, ta suy ra rằng

1 2 3 4

(f d, f d, f d, f d) là phụ thuộc tuyến tính:

1 1d 2 2d 3 3d 4 4d 0 a f +a f +a f +a f ≡

trong đó các ai không đồng thời bằng 0. Xem xét các tình huống có thể xảy ra như sau:

i) ai ≠0, i=1,2,3,4. Từ Hệ quả 2.1.3, f là một ánh xạ hằng, hoặc chúng ta có thể giả sử rằng f1=c f f1 2, 3 =c f2 4. Khi đó chúng ta có thể thay hệ thức này vào (3) và chứng tỏ rằng f là một ánh xạ hằng.

ii) Chỉ một trong các ai =0, giả sử a4 =0 Khi đó ( , , )f f f1 2 3 là một ánh xạ hằng được suy từ Hệ quả 2.1.3 và ta dễ chỉ ra rằng f là một ánh xạ hằng.

iii) Nếu a4 ≠0, và hai hệ số, giả sử a1=a2 =0 Khi đó chúng ta có

3 3 4

f =c f Thay hệ thức này vào (3), ta thu được (4) f1d + f2d +ε1 3f d +ε2 1fα1f2α2f3α3 ≡0, trong đó ε2 ≠0

Chúng ta quay về trường hợp 2).

iv) a4 =0, và một trong các a a a1, ,2 3, giả sử, a1=0. Khi đó 2

3

f f là một hằng số, và chúng ta thu được:

3

1 2

1d 3d 4d 1 2 3 0

f + Af + f + Bfα f α f α = ,

trong đó B≠0, nếu A≠0, thì {f1d, f3d, f4d} đều phụ thuộc tuyến tính, một lần nữa bởi chứng minh của Định lý 2.2.2 và chúng ta quay về trường hợp tương tự cho 2).

Bây giờ giả sử rằng A=0. Khi đó ảnh của ánh xạ ( , , )f f f1 3 4 được chứa trong đường cong sau đây thuộc P ( )2 £ (với các vị trí thuần nhất ( , , )z z z1 3 4 ):

2 3

1 4 1 1 3

: d d 0

Y z + z +Bz zα α α+ =

Chúng ta sẽ chứng minh rằng dưới các giả thiết của Định lý 2.2.2, giống của Y ít nhất bằng 2.

Giống của Y bằng số các điểm nguyên trong tam giác với các đỉnh (d,0), (0,d) và ( ,0)a1 . Dễ thấy rằng tam giác này chứa ít nhất hai điểm nguyên, nếu

1 2

a > −d Ở đây, do các giả thiết chúng ta có a1= −d (a2+a3)≤ −d 14. Chứng minh được hoàn thành.

Chú ý 1. K. Masuda và J. Noguchi chứng tỏ rằng với mọi n, tồn tại một số

( )

d n sao cho với mọi d d n≥ ( ), tồn tại các siêu mặt hyperbolic bậc d thuộc P ( )n £ Chúng chứng tỏ rằng (3) 54d ≤ . M. Nadel đưa ra các ví dụ minh họa về các mặt hyperbolic thuộc P ( )2 £ có bậc d=3e, e≥7, từ định lý 2.1.1, ta suy ra rằng (3) 22d ≤ Kết hợp Định lý 2.2.2 với các kết quả của Nadel ([9]) chúng ta có (3) 21d ≤ .

Chú ý 2. Rõ ràng rằng, trong đẳng thức (3), chúng ta có thể cho

i j l

i j l

cz zα α zα thay thế cz z1α1 2α2z3α3, với mọi bộ ba ( , , )z z zi j l từ ( , , , )z z z z1 2 3 4 Chú ý 3. Từ chứng minh của Định lý 2.2.2, ta suy ra rằng các mặt sau đây là hyperbolic:

(5) X z: 1d +z2d + z3d +z4d +cz z1α1 2α2z3α3z4α4 =0 trong đó c≠0. Thực tế, ta chỉ cần cho

4 1

, 6, 24

i i

i

d d

α α

=

= ≥ >

∑

và lặp lại chứng minh của Định lý 2.2.2.

2.2.3. Định lý

Giả sử X là một đường cong thuộc P ( )2 £ định nghĩa bởi đẳng thức

3

1 2 4

1 2 3 4 1 2 3 4

: d d d d 0

X z + z +z + z +cz zα α z α z α = , trong đó c≠0 Nếu αi ≥6, d ≥19 thì P ( ) \2 £ X là hyperbolic.

Chứng minh. Giả sử f =( , , )f f f1 2 3 là một đường cong như trên. Xem xét mặt Y xác định bởi đẳng thức sau đây:

Giả sử ϕ: \{z =0}Y 4 →P ( ) \2 £ X là phép chiếu của một trong ba vị trí thuần nhất. Khi đó ϕ là một hợp không phân nhánh, và f có thể nâng lên

1 2 3 4 4

( , , , ) : \ { 0}

f% = f f f f £ →Y z =

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng từ các giả thiết của Định lý 2.2.3, f% là suy biến trên Y. Thực vậy, nếu điều đó không xảy ra, thì chúng ta cho

6

k d= − và lặp lại chứng minh của Định lý 2.1.4. Chú ý rằng f4 ≠0, và sử dụng Bổ đề 2.1.2, chúng ta cho d4 = ∞ Từ đó, thay bất đẳng thức (2) chúng ta thu được

5 3 5 2

(1 ) 1 (1 ) 5 1

6 d

− −

− + + − ≤ −

Điều đó là không thể khi d ≥19

Vì vậy, theo chứng minh của Định lý 2.2.2, Y là hyperbolic, thì f% là hằng, do đó f cũng vậy. Định lý được chứng minh.

Chú ý. M. G. Zaidenberg chứng minh rằng với d ≥5, tồn tại các đường cong hyperbolic bậc d sao cho các phần bù của chúng là hyperbolic đầy đủ và nhúng hyperbolic vào P ( )2 £ .K. Masuda và J. Noguchi đưa ra cấu trúc của các đường cong trên với d ≥48.

Ở đây chúng ta có các ví dụ với d ≥19.