Các AG **  phỏng nhóm ngược hoàn toàn

Chương 3. Các AG **  phỏng nhóm ngược hoàn toàn 29

3.2. Các AG **  phỏng nhóm ngược hoàn toàn

3.2.1. Định nghĩa. Giả sử A là một AG** phỏng nhóm. Thế thì A được gọi là một AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(i) A là một AG** phỏng nhóm ngược, nghĩa là với mỗi aA tồn tại phần tử ngược duy nhất a1A sao cho (aa1)aa, (a a a1 ) 1 a1;

(ii) Trong A đồng nhất thức xx1x x1 được thỏa mãn.

Chú ý rằng các AG** phỏng nhóm ngược được khảo sát đầu tiên năm 2004 bởi Q. Mushtaq và A. Bano (xem [6]). Năm 2008, M. Bozinovic, P. V. Protic và N. Stevanovic đã chứng minh được rằng trong một AG** phỏng nhóm ngược,

1 1

aa a a nếu và chỉ nếu aa1,a a1 EA. Kết quả này đã gợi ý cho Wieslaw A.

Dudek và Roman S. Gigon đưa ra khái niệm AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn vào năm 2012 (xem [5]).

Trước khi đưa ra ví dụ về AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn, xin nhắc lại Bổ đề Lallement đối với các nửa nhóm chính quy, mà nó cũng đúng đối với các

AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn (xem [5]).

3.2.2. Bổ đề Lallement ([2]). Giả sử S là một nửa nhóm chính quy và :ST là một toàn cấu nửa nhóm. Nếu eET thì tồn tại f ES sao cho  f e.

3.2.3. Ví dụ. Giả sử A là một nửa nhóm ngược giao hoán. Đặt a b a b1 đối với mọi a b, A, trong đó a1 là nghịch đảo duy nhất trong nửa nhóm ngược A. Thế thì A, là một AG** phỏng nhóm và E A, EA. Hơn nữa, a a   a a nên a là phần tử ngược duy nhất của a trong A, đối với mọi aA và A, là AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn. Hơn nữa, a1  a b a1a b1 aa b1 .

Từ đó a1(a1a b )a1aa b1 aaa b1 aa ab1 ab, nghĩa là ab

 

   

1 1 1 1

( )

a a  a b a a a b

       đối vớimọi a b, A.

Giả sử  là một tương đẳng trên A,. Từ các đẳng thức trên suy ra  là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược giao hoán A. Hơn nữa, nếu a a a,    trong

A,, thế thì a a a, 1  trong A, vì a a a a1 . Như vậy a2, aa a1  trong

A nên a2, a trong A. Từ Bổ đề Lallement suy ra tồn tại eEAa và do đó eE A, a. Nói cách khác, a a Ea trong A,. Ngược lại, nếu  là một tương đẳng trên A, thế thì  cũng là tương đẳng trên A, (xem [5]). Hơn nữa, nếu a2,a trong A, thế thì a e,  trong A với eEA nào đó. Vì e e e  nên a a a,    trong A,.

3.2.4. Định nghĩa. Một phỏng nhóm A được gọi là toàn ánh – lũy đẳng nếu đối với mỗi tương đẳng  trên A, mỗi  – lớp lũy đẳng chứa một tương đẳng của

. A

Từ định nghĩa 2.2.3 suy ra rằng nếu  là một tương đẳng trên phỏng nhóm toàn ánh – lũy đẳng A và T: A là phỏng nhóm thương của A theo , thì với mỗi e'ET tồn tại eEA sao cho  e e', trong đó :A A, a a là toàn cấu chính tắc.

3.2.5. Định lý. Nếu A là một AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn thì A là phỏng nhóm toàn ánh – lũy đẳng.

Chứng minh. Giả sử  là một tương đẳng trên AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn A, aA và a a 2. Chúng ta cần x xa2 x và a x2 xa2EA. Chú ý rằng,

 a x aa2  a a x a 2 . 2 a xa a2.  a aa x2.    aa2  ax a a x2 2 a2 xa2 , nghĩa là

 

2 2 2

a a xa . Đặt ea xa . Thế thì, e a 2 xa2 a2a. Hơn nữa, e2

a xa a xa.  .  a a xa xa .   a ax xa a  .  a ax a x   2 .

    Do đó, bằng cách sử dụng

Mệnh đề 1.1.5 (2),  ax a x 2  ax xa   2  a x xa2   xa2  xa xa x a2  do

Mệnh đề 1.1.6 (3), vì xa2EA. Từ đó  ax a x 2 xa. Do đó e2 a xa  e EA. 3.2.6. Nhận xét. Giả sử  là một tương đẳng trên AG** phỏng nhóm ngược

hoàn toàn A. Khi đó tập thương A a|aA

cùng với phép toán a b .  ab  là một phỏng nhóm. Thế thì với mọi a b, , có  a 1a1. Từ đó nếu  a b,  thì a1,b1. Hơn nữa, A là một

AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn (xem [5]).

3.2.7. Định nghĩa. Giả sử A là một phỏng nhóm tùy ý và  là một lớp cố định các phỏng nhóm. Chúng ta nói rằng tương đẳng  trên là một  – tương đẳng nếu A.

Chẳng hạn, nếu  là lớp tất cả các nửa dàn, thế thì  là một tương đẳng nửa dàn trên A nếu A là một nửa dàn.

3.2.8. Định nghĩa. A được gọi là một nửa dàn A các AG  nhóm nếu tồn tại một tương đẳng  trên A sao cho mỗi  – lớp là một AG  nhóm. Trong trường hợp này, A là nửa dàn Y  A các AG  nhóm A,Y, trong đó A là

 – lớp của A với mỗi Y, hay đơn giản: A là nửa dàn Y A các AG  nhóm A.

Chú ý rằng khi đó A A  A, trong đó  là tích của  và  trong Y. Hơn nữa, A  A và A   A  .

3.2.9. Định nghĩa. Tương đẳng  trên một phỏng nhóm A được gọi là tương đẳng tách lũy đẳng nếu mỗi  – lớp chứa nhiều nhất là một lũy đẳng.

Như vậy, nếu  là một tương đẳng tách lũy đẳng trên A thì từ e f với

, A

e f E ta có e f.

Kết quả đơn giản sau đây sẽ được sử dụng sau này.

3.2.10. Bổ đề. Một AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn chứa chỉ một lũy đẳng là một AG  nhóm.

Chứng minh. Giả sử A là một AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn và e là một lũy đẳng duy nhất của nó, EA e . Thế thì eaa1a a1 . Từ đó eaaa1a

.

a Như vậy A là một AG  nhóm.

Trong lý thuyết nửa nhóm, ta đã biết rằng một nửa nhóm chính quy hoàn toàn là một nửa dàn các nửa nhóm đơn hoàn toàn, từ đó một nửa nhóm ngược chính quy hoàn toàn là một nửa dàn các nhóm. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một kết quả tương tự.

3.2.11. Định lý. Giả sử A là một AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn. Xác định quan hệ  trên A bởi

 a b,   aa1 bb1 đối với tất cả a b, A. Thế thì:

(i)  là tương đẳng nửa dàn nhỏ nhất trên A; (ii) Mỗi  – lớp là một AG  nhóm;

(iii)  là tương đẳng tách lũy lớn nhất trên A; (iv) A là một nửa dàn A các AG  nhóm;

(v) EA  A.

Chứng minh. (i). Với mọi aA có aa1aa1 nên a a, . Vậy  phản xạ.

Nếu  a b,  thì aa1bb1 nên bb1 aa1, do đó b a, . Từ đó  đối xứng.

Nếu  a b,  và  b c,  thì aa1 bb1 và bb1 cc1. Do đó aa1 cc1 nên

 a c, . Từ đó  bắc cầu. Vậy  là một quan hệ tương đương trên A. Để chứng minh  là một tương đẳng trên A ta lấy  a b,  và cA. Thế thì

  ca ca 1  ca c a 1 1       cc1 aa1  cc1 bb1  cb c b 1 1  cb cb 1

và tương tự,   ac ac 1  bc bc 1. Do đó ca cb,  và ac bc, . Từ đó  là một tương đẳng trên A. Ta lại có:

      aa1 aa1 1 aa1 a1 a1 1       aa1 a a1  aa1 aa1  aa1 ,

do đó a aa, 1, trong đó aa1EA. Vì EA là một nửa dàn, nên S cũng là một nửa dàn. Do đó,  là một tương đẳng nửa dàn trên A. Hơn nữa, vì e1e đối với mỗi eEA, nên  tách lũy đẳng.

Cuối cùng,  là một tương đẳng nửa dàn trên A sao cho   . Thế thì quan hệ   là một tương đẳng nửa dàn trên A mà nó được chứa thực sự trong , do đó không phải mỗi    – lớp chứa một lũy đẳng của A, vì mỗi  – lớp chứa đúng một lũy đẳng, mâu thuẫn với Định lý 3.2.4. Do đó,  phải là một tương đẳng nửa dàn nhỏ nhất trên A.

(ii). Theo chứng minh trên,  là một tương đẳng tách lũy đẳng. Vì a1a với mọi aA nên mỗi  – lớp là một AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn. Do đó theo Bổ đề 3.2.9, mỗi  – lớp là một AG  nhóm.

(iii). Giả sử  là một tương đẳng tách lũy đẳng trên A,  a b, . Thế thì

1 1

ab . Suy ra aa1,bb1, vì  là tương đẳng nên ổn định phải. Do đó

1 1

aa bb vì aa1,bb1EA và  tách lũy đẳng. Từ đó  a b,  nên  .

(iv). Vì A là hợp của các  – lớp rời rạc nhau mà mỗi  – lớp là một AG  nhóm. Hơn nữa mỗi lũy đẳng thuộc một  – lớp và EA là một nửa dàn.

(v). Suy ra trực tiếp từ (iv).

KẾT LUẬN Nội dung chính trình bày trong luận văn gồm:

1.Hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược, các quan hệ Grin trên nửa nhóm, băng và nửa dàn.

2.Khái niệm và tính chất đặc trưng của nửa nhóm chính quy hoàn toàn, nửa nhóm Cliphơt và một số lớp nửa nhóm là nửa dàn các nhóm (Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.3, Định lý 2.1.5, Định lý 2.2.4, Mệnh đề 2.2.7, Định lý 2.2.8).

3.Khái niệm về tính chất đặc trưng của các AG  phỏng nhóm và AG**

phỏng nhóm ngược hoàn toàn (Mệnh đề 3.1.8, Mệnh đề 3.1.11, Định lý 3.2.4, Định lý 3.2.11).