Các Nil Radical Trên PI – Đại Số

Chương 3. CÁC RADICAL TRONG CÁC PI-ĐẠI SỐ

3.2. Một Số Nghiên Cứu Về Các Radical Trên Các PI-Đại Số

3.2.2. Các Nil Radical Trên PI – Đại Số

Đại số A là nil thỏa mãn một đồng nhất thức chính quy mạnh thì A là luừy linh ủũa phửụng.

Chứng minh

Đại số A là nil thỏa mãn đồng nhất thức chính quy f, ta có thể giả thiết f là đa tuyến tính và L là Levitzki nil radical của A. Ta phải chứng tỏ rằng A =L hay A/L = < 0>. Khi đó, ta chỉ cần chứng minh A chứa một ideal trái lũy linh địa phương I <0> là đủ. Chọn phần tử aA, a 0 mà a2 = 0.

Nếu Aa= 0 thì cái linh hóa tử phải của A khác <0> và nó là ideal luy linh.

Do đó, ta có điều phải chứng minh. Như vậy, ta có thể giả sử Aa<0> và tiếp tục chứng minh ideal trái Aa này là ideal lũy linh địa phương. Viết f(x1, x2,…,xm) dưới dạng sau: f(x1, x2,…,xm) = x1f1(x2,..,xm) + f2(x1, x2,.., xm) trong đó các đơn thức của f2 không bắt đầu bằng x1. Ta giả sử f1(x2,..,xm) khác 0, như vậy degf1 = m -1 và f1 là đa thức chính quy. Nếu thế x1 bởi a và xi bởi ai Aa vào f, ta thu được a f1(a2,..,am)= 0, vì mỗi hạng tử của f2(a1,..,am) chứa một nhân tử dạng (ba)a = 0. Điều này chứng tỏ rằng với mọi ai Aa thì f1(a2,..,am) là linh hóa tử của mỗi phần tử thuộc Aa về phía bên phải. Như vậy, nếu gọi Z là linh hóa tử phải của Aa trong Aa thì Aa/Z thỏa mãn đồng nhất thức chính quy f1 có bậc bằng m – 1. Sử dụng phép

quy nạp theo bậc ta giả thiết rằng Aa/Z là lũy linh địa phương. Do đó Z2 =

<0> kéo theo Aa là lũy linh địa phương.

3.2.2.2. ẹũnh lyự

Một đại số A thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh bậc d và N(0) là tổng các ideal lũy linh của A. khi đó:

a. Nếu B là nil đại số con của A thì B[d/2] N(0) b. ln(A) = L(A) = Un(A)

Chứng minh:

a. Trước tiên ta xét trường hợp B là lũy linh. Với mọi số nguyên dương ta định nghĩa: u2i-1 = Bn-1ABi-1; u2i = Bn-1ABi; 1in. Lúc đó với h

< k ta có: u1.u2…..uh = (Bn-1A)hB[h/2] (1). Và j > k >1ta có:

uj.uk  (Bn-1ABi-1)(Bn-1ABl-1)  (Bn-1A)(Bn+i-2)(ABl -1) ABnA ( 2)

( trong đó:0 < i  n, 1 l n, B là ideal nên Bn-1ABn-1BA, Bn+i-2 Bn, ABd-1  Bd-1 BA ). Vì B là lũy linh nên tồn tại số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: ABnA lũy linh. Mặt khác, vì A thỏa mãn đồng nhất thức chính quy mạnh bậc d nên ta có thể giả thiết đó là đồng nhất thức đa tuyến tính. Mặt khác, các hệ số khác 0 của đồng nhất thức này là khả nghịch nên ta có thể giả sử đồng nhất thức f của A có dạng:

     



1

....

....

d

1... x 1 d x 1 x d

x ( 3). Giả sử n > [d/2] lúc đó 2n > d, ta

chọn h = d đồng thời thay xi bằng ui ui trong (3) ta có:

     



1

....

....

d

1...u 1 d u 1 u d

u = 0. Từ (1), (2) và h = d ta có: (Bn-

1A)dB[d/2]  ABnA ( vì u1 … ud = (Bn-1A)dB[d/2] ujuk  ABnA).

Vì n >[d/2] nên n –1 [d/2]. Do đó: n – 1 = [d/2] + t, với t > 0. Do tính kết hợp nên: (ABn-1A)d+1 = A(Bn-1A)dB[d/2]BtA suy ra:

(ABn-1A)d+1  ABnA. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với việc chọn n. Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng: AB[d/2] A là lũy linh ( vì n [d/2]).

Suy ra: B[d/2] + B[d/2]A + AB[d/2] + AB[d/2]A là ideal lũy linh của A (vì B ở đây đang xét là lũy linh ). Vậy nó bị chứa trong N(0). Do đó: B[d/2]  N(0).

Tiếp theo, ta xét B là nil đại số: Khi đó theo bổ đề I.3.11 thì B là đại số lũy linh địa phương. Do đó, với mọi b1, b2,…, b[d/2] B thì  b1,..., b[d/2]

sinh ra đại số con B0 và theo trừng hợp trên ta có B[0d/2]N(0) ( vì B0 là lũy linh ). Suy ra: b1……. b[d/2] N(0). Lúc đó: B[d/2] N(0).

b. Đặt N = Un(A) Vì N(0) làtổng tất cả các ideal lũy linh của A nên N(0) N và N[d/2] N(0) ( theo câu a. ) N/N(0) lũy linh trong A/N(0). Suy ra: N  N(1) = ln(A) ( theo ủũnh nghúa cuỷa ln(A) ).

Suy ra: Un(A)  ln(A) (1).

Mặt khác theo III.1.1 ta có ln(A)  L(A)  Un(A)  J(A). ( 2).

Từ (1) và (2) suy ra: ln(A) = L(A) = Un(A) 3.2.2.3. Hệ quả

Cho A là PI đại số. Khi đó: (ln(A))[d/2]  N(0) hay ln(A) = N(1).

3.2.2.4. Nhận xét

i/ Một vấn đề đặt ra là: khi A là PI-đại số thì ln(A) = N(0) hay không?. Câu trả lời ở đây là không thể xảy ra điều đó và được minh họa thoõng qua vớ duù sau:

Vớ duù

Cho A là đại số giao hoán có đơn vị sao cho A có một nil radical B không lũy linh. Khi đó, gọi đại số các ma trận vuông Mn(A) (cấp n) và có đồng nhất thức chuẩn sm2n cấp m. Gọi U là tập hợp con của Mn(A) bao gồm các ma trận có các phần tử trên đường chéo chính vàbên dưới đường chéo chính là những phần tử thuộc B và các phần tử bên trên đường chéo chính là những phần tử tùy ý thuộc A. Khi đó, chúng ta nhận thấy rằng:

* U là nil đại số (Vì mỗi phần tử của nó khi lũy thừa lên cấp n nào đó thì sẽ cho chúng ta một ma trận có các phần tử thuộc B, nghĩa là các phần tử của ma trận sẽ nil. Suy ra: Mỗi phần tử của U là nil). Khi đó:

Un(U) = U.

* U thỏa mãn một đồng nhất thức (vì U nằm trong Mn(A)).

Vấn đề sẽ được giải quyết nếu chúng ta chỉ ra được U chứa ideal ideal hữu hạn sinh và không lũy linh. Thật vậy:

- Lấy ideal trong U sinh bởi u = e12 + e23 + …..+ en-1 n với eij là ma trận cấp n có giá trị bằng 1 tại vị trí ( i,j) và bằng 0 tại các vị trí khác. Lúc này,

< u> là ideal sinh bởi u và chứa phần tử e11 = e21u hay <u> chứa tất cả các phần tử có dạng ze11, z thuộc B. Tập hợp các phần tử này tạo thành một đại số con đẳng cấu với B. Vì B không lũy linh nên tập hợp này cũng không lũy linh. Suy ra: <u> không lũy linh chứa trong U. (1)

Theo mệnh đề III.1.2.1 ta có: ln(U) =N(1)(Do U là nil PI- đại số ). (2) Mặt khác, U là nil đại số nên Un(U) = U. (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra: N(1)= ln(U) =Un(U)N(0). Vậy, nhìn chung lower nil radical chứa nghiêm ngặt N(0).

ii / Từ đây, ta nhận thấy rằng quá trình xây dựng lower nil radical bằng con đường quy nạp siêu hạn ở chương 2 đối với các PI đại số A sẽ dừng lại khi  =1. Tức là: ln(A) =N( ) = N( +1)= N(1) =N(2) =….

3.2.2.5. Mệnh đề

Nếu U là PI-đại số nửa nguyên tố thì J(U[])=<0>

hay: ln(U[]) =L(U[]) = Un(U[])= J(U[])= <0>

Chứng minh:

Do ln(U)=Un(U) và U là nửa nguyên tố nên ln(U)

=<0>Un(U)=<0> hay trong U không có nil ideal khác không nào cả. Khi đó theo định lý (Amitsur) ta có:Vì U là đại số không có nil ideal khác < 0>

nên U[]là đại số nửa nguyên thủy J(U[]) = <0> (1). Mặt khác U[] cũng là đại số nên ta có: ln(U[]) L(U[]) Un(U[])  J(U[]) (2).

Tứ (1)và (2) suy ra:ln(U[]) = L(U[]) = Un(U[]) = J(U[])= <0>.

3.2.3.3. Kết luận

Thông qua những kết quả đã chứng minh ở trên, chúng tôi đã có được một số kết luận chính sau:

- Khi A là đại số bất kì thì: ln(A) L(A)  Un(A)  J(A) - Khi A là PI- đại số thì: ln(A) = L(A) = Un(A)=N(1)  J(A)

- Xây dựng thí dụ về một PI đại số A, trong đó N(1) chứa nghiêm ngặt N(0).

- Khi A là PI- đại số phổ dụng thì: ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A)=N(1) - Khi A là đại số giao hoán thì:

{tập tất cả các phần tử lũy linh của A}=ln(A)= Un(A)=nil(A)  J(A

- Khi A là đại số Nguyên thủy, nửa nguyên thủy, nguyên tố, nửa nguyeân toá thì: ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A)= <0>

- Thông qua các ví dụ của chương 2, 3 cho chúng ta kết luận rằng: có những đại số A để cho:

+ nil radical, lower nil radical, Leâvitzki nil radical, Upper nil radical luôn chứa nghiêm ngặt trong Radical Jacobson.

+ N(0) luôn chứa nghiêm ngặt trong nil radical, lower nil radical, Lêvitzki nil radical, Upper nil radical và Radical Jacobson.

3.2.4. Bài Toán Mở

Như vậy, trong phạm vi các PI- đại số thì lower nil radical, Lêvitzki nil radical, Upper nil radical luôn trùng nhau. Bài toán xây dựng các thí dụ về các đại số không giao hoán mà 3 nil radical này tách biệt nhau, rõ ràng phải tìm trong các đại số không giao hoán mà không phải là PI- đại số. Đối với tôi thì đây là bài toán mở để tiếp tục nghiên cứu.