G là một nhóm Lie tùy ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động lên G bởi Ad: G GL(G) được định nghĩa như sau:
Ad(g) = L Rg. g1*: G G, g G.
Trong đó Lg (tương ứng 1
Rg ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của G theo phần tử g G (tương ứng, g1G). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn phụ hợp của G trong G.
Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó biểu diễn Ad cảm sinh ra tác động K=Ad*: G GL(G*) của G lên G* theo cách sau đây:
1 *,
K(g)f,X = f,Ad(g )X , X , f g G.
G G
Ở đây ta ký hiệu ,f,X , f G* X G là chỉ giá trị của dạng tuyến tính f G* tại trường vectơ (bất biến trái) X G. Tác động K được gọi là K–biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G*. Mỗi quỹ đạo ứng với K–biểu diễn được gọi là K–quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G*).
Mỗi K–quỹ đạo của G luôn là một G–đa tạp vi phân thuần nhất với số chiều chẵn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên tương thích với tác động của G.
Ký hiệu O(G) là tập hợp các K–quỹ đạo của G và trang bị trên đó tôpô thương của tôpô tự nhiên trong G*. Nói chung thì tôpô thu được khá “xấu”, nó có thể không tách, thậm chí không nửa tách.
1.4.2. Các MD–nhóm và MD–đại số
Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được. G là đại số Lie của G và G* là không gian đối ngẫu của G.
Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD–nhóm nếu các K–quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có số chiều cực đại. Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD hay còn gọi là MD–nhóm. Đại số Lie thực giải được G ứng với MD–nhóm (tương ứng, MD –nhóm) được gọi là MD–đại số (tương ứng, MD –đại số).
Thuật ngữ MD–nhóm, MD–đại số, MD –nhóm, MD –đại số được dùng đầu tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980. Ngay sau đó lớp các MD–đại số và MD – đại số đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982. Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp MD –đại số: các MD –đại số không giao hoán là và chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi affine của đường thẳng thực hoặc phức. Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại số Lie thực giải được là MD–đại số.
Mệnh đề 1.9
Giả sử G là một MD–đại số. Khi đó G2 = [[G, G], [G, G]] là một đại số con giao hoán trong G.
Như đã nói ở phần mở đầu, toàn bộ lớp các MD4–đại số đã được liệt kê đầy đủ vào năm 1984 bởi Đào Văn Trà, tuy nhiên tác giả mới chỉ dừng lại ở liệt kê thô mà không xét đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie. Phải đến năm 1990, Lê Anh Vũ mới phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4–
đại số đó. Nói một cách vắn tắt là bài toán liệt kê và phân loại các MD4–đại số
coi như đã giải quyết trọn vẹn. Hiện tại, lớp các MD5–đại số vẫn chưa được liệt kê và phân loại đầy đủ. Tuy nhiên, lớp con các MD5–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán đã được Lê Anh Vũ liệt kê và phân loại năm 2006. Trong chương sau, chúng ta sẽ giới thiệu các kết quả này đồng thời tính toán các bất biến của chúng.
Chương 2. THUẬT TOÁN TÍNH CÁC BẤT BIẾN CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE BẰNG PHƯƠNG PHÁP THAY ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một thuật toán được các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych nghiên cứu để tính toán các bất biến của các đại số Lie. Thuật toán này sử dụng phương pháp thay đổi hệ tọa độ Cartan và kiến thức về nhóm phép tự đẳng cấu trong của mỗi đại số Lie.
Đặc biệt, thuật toán này được ứng dụng để tính toán các bất biến của đại số Lie thực có số chiều thấp. Nhưng trước hết, chúng ta sẽ tìm hiểu thế nào là các bất biến của một đại số Lie?