Mô hình hóa hệ khí nén

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ KHOA HỌC

2.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1.1 Mô hình hóa hệ khí nén

 Giới thiệu

Hệ thống làm việc bao gồm các thành phần chính như sau: hệ thống cung cấp khí, thiết bị dẫn khí, van tỉ lệ 5/3 (5 cổng, 3 vị trí), xy lanh không trục tác động 2 chiều có giảm chấn điều chỉnh được. Nguồn khí áp suất cao từ hệ thống cung cấp khí vào cổng nạp của van ở áp suất không đổi 500KPa.Trong quá trình hoạt động, khi được kích từ van 5/3 sẽ làm cho một cổng mở cho khí đi vào xy lanh và một ngõ đi ra ngoài khí quyển chống quá áp. Chính sự dịch lưu lượng khí vào trong xylanh làm xuất hiện chênh lệch áp suất. Giúp cho xy lanh di chuyển một vị trí x.

Hình 2.1: Sơ đồ hệ thống làm việc [13]

Động lực van lưu lượng

Để điều khiển được vị trí xy lanh của bộ truyền động khí nén chúng ta có thể thực hiện bằng cách đọc tín hiệu cảm biến trả về được xem như là một hệ thống vòng kín. Để thực hiện được điều đó chúng ra cần khảo sát các thiết bị. Để điều khiển đến đúng vị trí mong muốn thì van đóng ngắt phải đóng ngắt liên tục. Hình 2.2 cho thấy được quá trình di chuyển dòng khí, nó quyết định quá trình điều khiển thông qua điện áp điều khiển, điện áp làm việc từ 0 đến 10V. Hình 2.3 cho thấy ở đây van có thể chia

ra làm hai chế độ làm việc. Tín hiệu điện điều khiển từ 0V - 5V sẽ đưa khí từ cửa số 1 sang cửa số 2, tín hiệu điện từ 5V -10V sẽ đưa khí từ cửa số 1 đến cửa số 4. Lưu lượng khí qua van được xem như tỉ lệ với tín hiệu điện điều khiển.

Hình 2.2: Sơ đồ van 5 cửa 3 vị trí của FESTO [9]

Hình 2.3: Giản đồ lưu lượng theo điện áp của van FESTO [9]

Trong quá trình xác định mô hình của hệ thống các thiết bị có tham gia vào điều khiển điều có ảnh hưởng đến việc xác định mô hình. Mối liên hệ điều khiển tín hiệu đặt (setpoint) u và vị trí di chuyển van, x, được gọi là độ khuếch đại kv. Tuy nhiên, các tài liệu liên quan của nhà sản suất động lực học ống quan được mô tả đầy đủ hơn bằng một hàm trễ bậc nhất [9]:

 ,



u k

xv xv  v (2.1)

trong đó,  thể hiện cho hằng số thời gian của ống van bậc nhất.

Phụ thuộc vào việc thiết kế van, việc tồn tại một lưu lượng bất đối xứng tại vùng chết. Vùng chết là quan hệ đầu vào - ra ổn định tại một phạm vi nào đó giá trị ngõ vào sẽ cho ra giá trị ngõ ra là không. Mặc dù tồn tại một tín hiệu điều khiển khác không trong phạm vi vùng chết nhưng lưu lượng qua van là không. Điều này cho thấy các ống van có thể được coi như luôn luôn ở vị trí trung gian trong khi tín hiệu điều khiển trong phạm vi vùng chết. Mô hình của lưu lượng ở vùng chết được thực hiện bằng cách xem xét không có tín hiệu điều khiển bên trong vùng chết. Thông thường mối quan hệ giữa tiết diện cửa biến đổi 𝐴𝑣 của cửa van và độ dịch chuyển của van xv trong van được mô hình hóa theo loại được sử dụng. Do đó, việc xác định các mối quan hệ là cần thiết trước khi mô hình hóa.

Mối quan hệ tuyến tính giữ tiết diện cửa biến đổi 𝐴𝑣 và độ dịch chuyển ống van 𝑥𝑣 thích hợp trong nghiên cứu này là:

𝐴𝑣 = 𝑤𝑥𝑣, (2.2)

trong đó 𝜔 là độ chênh lệch tiết diện cửa của cổng điều khiển tương ứng. Để thực hiện chuyển của thiết bị truyền động với tải trọng, áp suất của buồng 𝑃𝑖 (trong đó chỉ số dưới 𝑖 = 1.2 chỉ số buồng 1 và buồng 2, tương ứng) thay đổi bằng việc nạp và xả lượng thích hợp điều khiển thể tích của không khí. Việc điều khiển thể tích của không khí quyết định bởi lưu lượng 𝑚̇𝑖 của không khí thông qua tiết diện biến đổi của cửa van 𝐴𝑣. Lưu lượng theo khối lượng 𝑚̇𝑖 là một hàm phức tạp của nhiều biến, ví dụ như áp suất dòng lên 𝑃𝑢, áp suất dòng xuống 𝑃𝑑, tiết diện biến đổi của cửa van 𝐴𝑣, … Mô hình toán cho lưu lượng theo khối lượng định mức 𝜓(𝑃𝑢,𝑃𝑑) của cửa tiếc diện cố định của cửa van. Áp suất dòng xuống 𝑃𝑑 bằng áp suất buồng 𝑃𝑖 khi nạp và bằng áp suất khí quyển 𝑃𝑎𝑡𝑚 khi xả. Tương tự, áp suất nguồn cấp 𝑃𝑠 khi nạp và bằng áp suất buồng 𝑃𝑖 khi xả. Trạng thái của lưu lượng theo khối lượng định mức 𝜓(𝑃𝑢, 𝑃𝑑) có thể được trình bày bỏi quy luật đổi bên dưới:

𝜓(𝑃𝑢, 𝑃𝑑) = {𝜓(𝑃𝑥, 𝑃𝑖) 𝐴𝑣 ≥ 0,

𝜓(𝑃𝑖, 𝑃𝑎𝑡𝑚) 𝐴𝑣 ≤ 0 (2.3) trong đó dấu của tiết diện biến đổi của van 𝐴𝑣 để chuyển đổi giữa nạp (𝐴𝑣 ≥ 0) và xả 𝐴𝑣 ≤ 0, tương ứng.

Lưu lượng theo khối lượng định mức 𝜓(𝑃𝑢, 𝑃𝑑), trình bày một hệ phi tuyến cố định nhờ sự bão hòa của lưu lượng khối qua tiết diện cố định của cửa van. Một áp suất giới hạn lên 𝑃𝑢,𝑃𝑑

𝑃𝑢 quyết định bậc của lưu lượng bão hòa. Áp suất giới hạn 𝑃𝑒𝑟 được tính toán sử dụng hệ số giản nở 𝛼 được tính bởi mối quan hệ 𝑐:

𝛼𝑎𝑙𝑖𝑏𝑎𝑡𝑖𝑐 = 𝑐 =𝑐𝑝

𝑐𝑣, (2.4)

trong đó 𝑐𝑝 là một nhiệt dung riêng đẳng áp. Với mối quan hệ (2.4), áp suất giới hạn của lưu lượng không khí cho quá trình đoạn nhiệt được xác định:

𝑃𝑐𝑟 = ( 2

𝑐+1)

𝑐

𝑐−1. (2.5)

Khi hệ số áp suất 𝑃𝑑/𝑃𝑢 thấp hơn áp suất giới hạn 𝑃𝑐𝑟, lưu lượng qua cửa là không bị giới hạn và lưu lượng chỉ phụ thuộc vào áp suất dòng lên. Khi hệ số áp suất 𝑃𝑑/𝑃𝑢 bằng áp suất giới hạn 𝑃𝑐𝑟, lưu lượng qua cửa bị giới hạn. Lưu lượng theo khối lượng định mức 𝜓(𝑃𝑢, 𝑃𝑢) được [12] xác định là:

𝜓(𝑃𝑢, 𝑃𝑑) = { 𝐶𝑑𝑃𝑢

√𝑇

√𝑐 𝑅( 2

𝑐 + 1)

(𝑐+1)/(𝑐−1)

𝑃𝑑

𝑃𝑢 ≤ 𝑃𝑐𝑟, 𝐶𝑑𝑃𝑢

√𝑇 √( 2𝑐

𝑅(𝑐 + 1)) ((𝑃𝑢 𝑃𝑑)

2/𝑐

− (𝑃𝑢 𝑃𝑑)

(𝑐+1)/𝑐

) 𝑃𝑑

𝑃𝑢 > 𝑃𝑐𝑟,

(2.6)

trong đó, 𝑇 là nhiệt độ tuyệt đối của không khí và Cd là hệ số xả của của van, thường cũng là đặc trưng của từng nhà sản suất. Tham số Cd phản ánh sự co lại của đường dẫn lưu lượng dòng xuống của cửa van làm giảm hiệu số lưu lượng qua tiết diện cửa và lưu lượng theo khối lượng của không khí được suy ra bởi giả thiết lưu lượng qua van là một khí lý tưởng chịu một quá trình đẳng Entropi (quá trình đoạn nhiệt thuận nghịch), điều này dẫn đến biến đổi lưu lượng theo khối lượng được biểu diễn:

𝑚̇1= 𝐴𝑣𝜓(𝑃𝑢, 𝑃𝑑), (2.7)

𝑚̇2 = −𝐴𝑣𝜓2(𝑃𝑢, 𝑃𝑑), (2.8) Khảo sát quá trình nạp xả đồng thời qua một thể tích biến đổi

Trong quá trình hoạt động của xy lanh còn ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường và các loại rò rỉ khí có thể xảy ra. Giả định rằng, mặc dù có hiện tượng rò rỉ khí và xả khí nhưng áp suất 𝑝 trong khoang làm việc 𝑉 vẫn tiếp tục tăng lên và piston của cơ cấu chấp hành khí nén chuyển động, thắng lực tải và thực hiện một công ngoại sai.

Sử dụng khái niệm về lượng nhiệt của khối lượng trên cơ sở định luật I nhiệt động kỹ thuật, ta viết phương trình cân bằng nhiệt cho khoang làm việc dưới dạng:

𝑑𝑄𝑛+ 𝑑𝑄𝑐𝑣 − 𝑑𝑄𝑎 − 𝑑𝑄𝑐𝑟 − 𝑑𝑄 = 𝑑𝑈 + 𝐴. 𝑑𝐿 (2.9) ở đây: 𝑑𝑄𝑛, 𝑑𝑄𝑎, 𝑑𝑄𝑐𝑣, 𝑑𝑄𝑐𝑟 𝑣à 𝑑𝑄 tương ứng là các lượng nhiệt của khí nạp từ nguồn, từ khoang có thể tích hữu hạn vào thể tích V, từ thể tích V xả ra khí quyển, vào thể tích hữu hạn có áp suất nhỏ hơn và lượng nhiệt trao đổi với môi trường ngoài.

dU: nội năng của khối khí trong thể tích V;

dL: công ngoại sai, thực hiện được do dãn nở khí trong thể tích V;

A: dương lượng công của nhiệt.

Động lực học xy lanh [28]

Trong nghiên cứu này, xy lanh nhiệt động lực học chuyển từ năng lượng nhiệt sang cơ năng. Các vấn đề sự nén dãn nở không khí, thay đổi áp suất, xì khí.

Định luật khí lý tưởng viết như sau:

𝑃𝑉 = 𝑚𝑇𝑅, (2.10)

trong đó 𝑃 là áp suất buồng, 𝑉 là thể tích của buồng, 𝑚 là khối lượng của lưu chất trong buồng, và 𝑅 là hằng số khí lý tưởng, với 𝑅 được xác định như sau:

𝑅 = 𝑐𝑝 − 𝑐𝑣. (2.11)

Ngoài ra, định luật khí lý tưởng (2.10) có thể diễn tả trong điều kiện của khối lượng riêng của không khí 𝜌:

𝑃 𝑅 =𝑚

𝑉 𝑇 = 𝜌𝑇, (2.12)

Bỏ qua thế năng và động năng, khi đó phương trình bảo toàn khối là và năng lượng là:

𝑑

𝑑𝑡𝑐𝑉𝑉𝜌𝑇 = 𝑐𝑝𝑚𝑇 − 𝑃𝑉̇ + 𝑄̇̇ (2.13) Trong đó 𝑑

𝑑𝑡𝑐𝑉𝑉𝜌𝑇 biễu diễn cho tỷ lệ thay đổi nội năng của không khí trong buồng, 𝑐𝑝𝑚̇𝑇 là nội năng lưu lượng của không khí đi vào hoặc ra khỏi buồng, 𝑃𝑉̇ là hệ số tại nơi mà công việc được thực hiện dựa trên sự chuyển động của piston, và 𝑄̇ là hệ số nhiệt qua xy lanh. Quá trình nạp và xả giả định là đoạn nhiệt; vì vậy, 𝑄̇ có thể bỏ qua.

Khi đó, phương trình (2.13) trở thành:

𝑑

𝑑𝑡𝑐𝑉𝑉𝜌𝑇 = 𝑐𝑝𝑚̇𝑇 − 𝑃𝑉̇̇ (2.14) Thay thế phương trình (2.12) vào phương trình (2.14)

𝑑 𝑑𝑡(𝑐𝑉

𝑅 𝑃𝑉) = 𝑐𝑃𝑚̇𝑇 − 𝑃𝑉̇ (2.15)

Phần bên trái của phương trình (2.15) có thể sắp xếp lại thành 𝑑

𝑑𝑡(𝑐𝑉

𝑅 𝑃𝑉) = 𝑐𝑉 𝑅

𝑑

𝑑𝑡(𝑃𝑉) = 𝑐𝑉

𝑅 (𝑃̇𝑉 + 𝑃𝑉̇). (2.16) Thay thế phương trình (2.16) vào phương trình (2.15),

𝑐𝑉

𝑅 (𝑃̇𝑉 + 𝑃𝑉̇) = 𝑐𝑃𝑚̇𝑇 − 𝑃𝑉̇ (2.17) Sắp xếp lại phương trình (2.17), các động lực học áp suất không khí trong buồng được tìm thấy là:

𝑃̇ =𝑐𝑝𝑅𝑇

𝑐𝑣𝑉 𝑚̇ − 𝑅

𝑐𝑣(1 +𝑐𝑉 𝑅)𝑃

𝑉𝑉̇ (2.18)

Với các mối quan hệ trong phương trình (2.4) và (2.11), phương trình (2.18) trong quá trình đoạn nhiệt có thể đơn giản hóa như:

𝑃̇ =𝑐𝑅𝑇

𝑉 𝑚̇ −𝑐𝑃

𝑉 𝑉̇ (2.19)

Lựa chọn đầu hành trình của bộ truyền động như mốc của khoảng dịch chuyển piston x, thể tích của buồng bộ truyền động có thể được biểu diễn như sau:

𝑉1 = 𝑉01+ 𝐴𝑥,

𝑉2 = 𝑉02+ 𝐴(𝐿 + 𝑥), (2.20)

trong đó L là chiều dài hành trình, A là diện tích mặt cắt của piston, V01 và V02 biểu thị một thể tích cố định ở cuối buồng 1 và 2, tương ứng.

Thay thế phương trình (2.19) vào phương trình (2.20), phương trình vi phân để xác định các động lực học áp suất của buồng 1 và buồng 2 được đưa ra lần lượt là:

𝑃̇1 = 𝑐𝑅𝑇

𝑉01+ 𝐴𝑥𝑚̇1− 𝑐𝑃1

𝑉01+ 𝐴𝑥𝑉̇1, (2.21)

𝑃̇2 = 𝑐𝑅𝑇

𝑉02+ 𝐴(𝐿 − 𝑥)𝑚̇2− 𝑐𝑃2

𝑉02+ 𝐴(𝐿 − 𝑥)𝑉̇2, (2.22) Liên quan đến phương trình (2.20), lưu lượng theo thể tích V̇1, V̇2 có thể lấy đạo hàm theo thời gian của phương trình (2.20):

𝑉̇1 = 𝐴𝑥,̇

𝑉̇2 = −𝐴𝑥,̇ (2.23)

Trong đó ẋ là vận tốc của piston. Thay thế phương trình (2.23) vào phương trình (2.21- 2.22):

𝑃̇1 = 𝑐𝑅𝑇

𝑉01+ 𝐴𝑥𝑚̇1− 𝑐𝑃1𝐴

𝑉01+ 𝐴𝑥𝑥̇1, 𝑃̇2 = 𝑐𝑅𝑇

𝑉02+ 𝐴(𝐿 − 𝑥)𝑚̇2− 𝑐𝑃2𝐴

𝑉02+ 𝐴(𝐿 − 𝑥)𝑥̇ (2.24) Theo phương trình (2.24) van điều khiển việc lưu lượng theo khối lượng ṁ của không khí cho buồng bộ truyền động tương ứng, và do đó điều khiển tiến triển theo thời gian của động lực học sự chênh lệnh áp suất, Ṗ1 và Ṗ2. Tuy nhiên, Ṗ1 và Ṗ2 không thể điều khiển độ lọc do đặc tính riêng của van.

Hệ khí nén sử dụng trong nghiên cứu này là một xy lanh không trục tác động kép (Hình 2.1). Theo định luật II Newton thì mô hình toán học của piston là:

∑ 𝐹 = 𝑀𝑥̈, (2.25)

𝑃∆𝐴 = ℎ𝑥̇ = 𝑀𝑥̈, (2.26)

trong đó ẍ là gia tốc của piston, M là khối lượng của piston khí nén, P∆ = P1− P2 là sự chênh lệch áp suất tuyệt đối qua piston, và h là hệ số suy giảm không khí.

Tóm lại, các phương trình phi tuyến biểu diễn truyền động khí nén được đưa ra như sau:

 ,



u k

xv  xv  v (2.27)

𝐴𝑣 = 𝑤𝑥𝑣. (2.28)

𝜓(𝑃𝑢, 𝑃𝑑) = {𝜓(𝑃𝑥, 𝑃𝑖 𝐴𝑣 ≥ 0,

𝜓(𝑃𝑖, 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝐴𝑣 ≤ 0 (2.29)

𝜓(𝑃𝑢, 𝑃𝑑) = { 𝐶𝑑𝑃𝑢

√𝑇

√𝑐 𝑅( 2

𝑐 + 1)

(𝑐+1)/(𝑐−1)

𝑃𝑑

𝑃𝑢 ≤ 𝑃𝑐𝑟, 𝐶𝑑𝑃𝑢

√𝑇 √( 2𝑐

𝑅(𝑐 + 1)) ((𝑃𝑢 𝑃𝑑)

2/𝑐

− (𝑃𝑢 𝑃𝑑)

(𝑐+1)/𝑐

) 𝑃𝑑

𝑃𝑢 > 𝑃𝑐𝑟,

(2.30)

𝑚̇1 = 𝐴𝑣𝜓(𝑃𝑢, 𝑃𝑑), (2.31)

𝑚̇2 = −𝐴𝑣𝜓2(𝑃𝑢, 𝑃𝑑), (2.32) 𝑃̇1 = 𝑐𝑅𝑇

𝑉01+ 𝐴𝑥𝑚̇1− 𝑐𝑃1𝐴

𝑉01+ 𝐴𝑥𝑥̇1, (2.33)

𝑃̇2 = 𝑐𝑅𝑇

𝑉02+ 𝐴(𝐿 − 𝑥)𝑚̇2− 𝑐𝑃2𝐴

𝑉02+ 𝐴(𝐿 − 𝑥)𝑥̇, (2.34)

𝑥̈ = 1

𝑀(𝑃∆𝐴 − ℎ𝑥̇) (2.35)

Mô hình toán học

Mô hình toán học được [13] xác định như sau:

𝐺(𝑠) =𝑈(𝑠) 𝑉(𝑠) = 2𝐾

𝑐𝑅𝑇𝐴𝑥 𝑚𝑉 𝑠 (𝑠2+ 𝑓

𝑚𝑠 +2𝑐(𝐴𝑥)2𝑝𝑖

𝑚𝑉 )

(2.36) Đặt 𝐾 = 𝑐𝑅𝑇𝐴𝑥

𝑚𝑉 , 𝑎1 = 𝑓

𝑚, 𝑎0 =2𝑐(𝐴𝑥)2𝑝𝑖

𝑚𝑉 . Suy ra:

𝐺(𝑠) = 𝐾

𝑠(𝑠2+𝑎1𝑠+𝑎0). (2.37)

Nhưng do thiết bị còn hạn chế, không thể xác định các thông số cần thiết của hệ thống.

Mô hình toán học là hệ thống truyền động hệ phi tuyến cao. Để đơn giản hóa vấn dề, phương pháp xác định mô hình từ tín hiệu ngõ vào và ngõ ra được trình bày ở Chương 3 (mục 3.11).