Lời giải tham khảo
Ta có R = IA = 5→SABC= AB.AC.BC
4R = 40√ 2.BC 4.5 = 2√
2.BC = 1
2 AH.BC→AH = 4√ 2 Lấy điểmH(−1;h)∈(d)→AH2 = 16 + (h + 4)2= 32→(h + 4)2= 16→h= 0→H(−1; 0) Phương trình (C) : (x + 1)2+ (y + 1)2 = 25, phương trình BC : x + y + 1 = 0
B là giao điểm của BC và (C)→B(3;−4)→C(−4; 3).
Nguy ễn
Minh
Tiến
- maths287
Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độOxy cho hình vuông ABCD có tâm I và đỉnh B(−8; 3).
Gọi M là trung điểm của cạnh AB, trên hai cạnh BC và CD lấy hai điểm E và F thỏa mãn [EIF = 45o, phương trình đường thẳng ME là 5x−4y + 27 = 0 và điểm F(−6;−7). Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc đường thẳng (d) :x+ 2y−8 = 0
mathlinks - 39/50
Lời giải tham khảo
Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độOxy cho hình vuông ABCD có (C) là đường tròn tâm A và bán kính AB. Lấy điểm K thuộc đường tròn (C), gọiE(1; 4) là hình chiếu của D lên đường thẳng AK và F
32 5 ; 11
5
là hình chiếu của K lên đường thẳng CD. Viết phương trình cạnh AB của hình vuông ABCD biết đỉnh D thuộc đường thẳng (d) :x−y= 0.
Lời giải tham khảo Gọi H là hình chiếu vuông góc của K xuống cạnh AB
Ta có KHDF là hình chữ nhật → KH = DF (1)
∆AKD cân tại A→ KH = DE (2 đường cao từ đáy) (2) Từ (1) và (2)→DE = DF, lấy điểm D(d;d)∈(d)
→(d−1)2+(d−4)2 =
d−32 5
2
+
d−11 5
2
→d= 4→D(4; 4) Phương trình AE : x−1 = 0 và AD : 4x−3y−4 = 0→A (1; 0) Phương trình AB đi qua A song song với DF→AB : 3x + 4y−3 = 0
Tam giác : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn có đỉnhA(2; 9). Trung điểm của cạnh BC là điểmG
3 2 ; 5
2
, đường thẳng BC vuông góc với đường thẳng (d) : 3x−y+ 2013 = 0. M là một điểm tùy ý thuộc cung nhỏ BC, gọi P và Q lần lượt đối xứng với M qua AB và AC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình cạnh PQ là y= 6 và đỉnh B có hoành độ dương.
Lời giải tham khảo
Gọi H là trực tâm tam giác ABC và D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C của tam giác ABC Tứ giác BEHD nội tiếp →ABC +[ EHD = 180[ o→ABC +[ AHC = 180[ o
Ta có\AMC = ABC[ (cùng chắn cung AC) đồng thời AMC =\ AQC[ (tính chất đối xứng)
Nguy ễn
Minh
Tiến
- maths287
→AQC =[ ABC[ →AHC +[ AQC = 180[ o → AHCQ nội tiếp→AHQ =[ ACQ[ (cùng chắn cung AQ) Mặt khác ACQ =[ \ACM (tính chất đối xứng) →AHQ =[ \ACM (1)
Chứng minh một cách tương tự ta cũng có AHP =[ \ABM (2)
Đồng thời\ABM +\ACM = 180o kết hợp với (1) và (2)→AHP +[ AHQ = 180[ o hay H∈PQ Phương trình BC đi qua G và vuông góc với (d)→BC : x + 3y−9 = 0
Phương trình AH đi qua H và vuông góc với BC→AH : 3x−y + 3 = 0→H (1; 6) Lấy điểm B (9−3b; b)∈BC→C (3b−6; 5−b), ta có CH ⊥AB→−−→
CH.−−→ AB= 0
⇒(3b−7) (7−3b) + (−b−1) (b−9) = 0⇔b2−5b + 4 = 0⇔
"
b= 1
b= 4 ⇒B(6; 1)⇒C(−3; 4)
Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độOxy cho tam giác ABC có trọng tâmG 8
3 ; 0
và nội tiếp đường tròn (C) tâm I. Gọi M(0; 1) vàN(4; 1) lần lượt đối xứng với I qua các đường thẳng AB và AC, đường thẳng BC đi qua điểm K(2;−1). Viết phương trình đường tròn (C).
Chuyên Vinh lần 3 - 2015
Lời giải tham khảo Gọi P và Q là trung điểm của IM và IN
Do tính chất đối xứng ta có CI = CN và AI = AN
Mặt khác IA = IC ⇒IA = IC = CN = AN→AICN là hình thoi
⇒ Q là trung điểm của AC, tương tự có Q là trung điểm của AB PQ là đường trung bình của ∆ABC→ PQ // BC
Đồng thời PQ cũng là đường trung bình của ∆MIN → PQ // MN
Do đó BC // MN (cùng // PQ)→ phương trình BC qua K và // MN→BC : y + 1 = 0
Nguy ễn
Minh
Tiến
- maths287
Ta có AM = AN = AI → A thuộc trung trực (d) :x−2 = 0 của MN→A(2;a)∈(d) Gọi T là trung điểm của BC →AG = 2GT→−→
AG= 2−→
GT →T
3;−a 2
T∈BC→ −a
2 + 1 = 0→a = 2→A (2; 2) và T(3;−1)
Phương trình IT qua T và vuông góc với BC →IT : x−3 = 0→I (3; b)∈IT Ta có AI = AN→AI2 = 1 + (b−2)2 = 5⇔(b−2)2 = 4⇔
"
b= 0
b= 4 →I (3; 0) Phương trình đường tròn (C) : (x−3)2+y2 = 5.
Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao và phương trình đường thẳng AC là x−2y−2 = 0. Gọi (C) là đường tròn tâm A đường kính HD, tiếp tuyến của (C) tại D cắt đường thẳng CA tại điểm E, đường thẳng EB đi qua điểm P(2; 5).
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnhD 16
5 ;− 9 10
.
Nguyễn Minh Tiến - maths287
Lời giải tham khảo
Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểmM 5
2 ; 1 2
là trung điểm của cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm N sao cho AN = 2ND sao cho phương trình đường thẳng CN là :x+ 2y−11 = 0. Xác định tọa độ đỉnh C của hình vuông ABCD.
Lời giải tham khảo
Đặt cạnh hình vuông AB = AD = 6d→AM = BM = 3d và AN = 4a; DN = 2a
∆AMN vuông tại A →MN2= AN2+ AM2= 16d2+ 9d2 = 25d2→MN = 5d
∆BCM vuông tại B→CM2 = BC2+ BM2 = 36d2+ 9d2 = 45d2→CM = 3√ 5d
∆CDN vuông tại D→CN2= CD2+ DN2 = 36d2+ 4d2= 40d2 →CN = 2√ 10d Xét tam giác CMN có cos\MCN = CM2+ CN2−MN2
2CM.CN = 1
√2
Gọi−→n = (a;b)là vtpt của đường thẳng CM; góc tạo bởi CM và CN là góc \MCN
⇒cos\MCN = |a + 2b|
√5.√
a2+ b2 = 1
√
2 ⇔3a2−8ab−3b2 ⇔
"
a= 3b b=−3a
• Vớia= 3b→ phương trình CM : 3x + y−8 = 0⇒C (1; 5)
• Vớib=−3a→ phương trình CM : x−3y−1 = 0⇒C (7; 2)
Nguy ễn
Minh
Tiến
- maths287
Hình vuông : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD đường tròn (I) đường kính AB và đường tròn tâm D bán kính CD cắt nhau tại điểm E
24 5 ;−13
5
. Điểm M
9;−7 2
là trung điểm của CD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết đỉnh A có hoành độ dương.
Lời giải tham khảo Ta có IA = IE và DA = DE → ID là trung trực của AE
⇒ ID ⊥AE mà BE⊥AE ⇒ BE // ID (cùng⊥ AE) (1) Ta có DIBM là hình bình hành→ BM // ID (2)
Từ (1) và (2)→B, M, E thẳng hàng hay AE ⊥BM
Phương trình AE qua E và⊥ ME→AE : 14x−3y−75 = 0
Đặt cạnh hình vuông là AB = AD = 2a→AM = a→DI2 = 5a2 →DI = BM = a√
5 (3)
Dễ thấy BAE =[ [ADI =[IDE→ hai tam giác BAE và DIA đồng dạng→ AE
BE = AD
AM = 2→AE = 2BE Tam giác ABE vuông tại E →AB2 = AE2+ BE2→5BE2 = 4a2 →BE = 2a
√
5 (4)
Từ (3) và (4)⇒5BE = 2BM⇒5−−→
BE= 2−−→
BM →B (2;−2)→BM =
√205
2 →AB =√ 41 Lấy điểm A (3a; 14a−25)→AB2= (3a−2)2+ (14a−23)2= 41→a = 2→A (6; 3)
⇒ Trung điểm I của AB làI
4; 1 2
→ phương trình ID qua I và // BM →ID : 3x + 14y−19 = 0 Phương trình AD qua A và ⊥AB→AD : 4x + 5y−39 = 0→D = ID∩AD→D (11;−1)→C (7;−6).
Tam giác : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC với BC có phương trình x−y+ 1 = 0. GọiD(0; 1) là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC. GọiI(0; 3) và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC có bán kính R =√