Chương 2. Môđun đối đồng điều địa phương giá cực đại 18 2.1. Vành catenary và catenary phổ dụng
2.2. Tính bão hòa nguyên tố và tập giả giá
Từ đây đến hết chương ta luôn giả thiết(R,m) là vành địa phương Noether với m là iđêan tối đại duy nhất, A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh. Trước hết ta xét một tính chất cơ sở của các R- môđun hữu hạn sinh M như sau: Giả sử p ∈ Spec(R) và p chứaAnnRM suy ra p ∈ SuppRM. Khi đó Mp 6= 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra
(M/pM)p ∼= Mp/pRpMp 6= 0.
Vì thế p ∈ SuppR(M/pM), tức là p ⊇ AnnR(M/pM). Hiển nhiên ta có p ⊆ AnnR(M/pM), vì vậy
AnnR(M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnRM.
Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cường và L. T. Nhàn ( xem [10]) đã xét tính chất sau đối với các môđun Artin A:
AnnR(0 :A p) =p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇AnnRA. (∗) Nhận xét 2.2.1. Giả sử R là đầy đủ theo tôpô m-adic. Khi đó đối ngẫu Matlis D(A) là R-môđun hữu hạn sinh. Mà AnnRA = AnnRD(A). Vì thế áp dụng tính chất linh hóa tử cho môđun D(A) ta có
AnnR(0 :A p) = AnnR(D(0 :A p)) = AnnR(D(A)/pD(A)) = p
với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnRA = AnnRD(A). Do vậy tính chất (*) luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phương đầy đủ.
Tuy nhiên, tính chất (*) không còn đúng khi vành R không đầy đủ. Ví dụ sau chỉ ra điều đó.
Ví dụ 2.2.2 (xem [10], Ví dụ 4.4). Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether địa phương không thỏa mãn tính chất (*).
Chứng minh. Gọi (R,m) là miền Noether địa phương chiều 2 được xây dựng bởi D. Ferrand và M. Raynaud (xem [11]) thỏa mãn tính chất tồn tại một iđêan nguyên tố nhúng Q ∈ AssRb với dimR/Qb = 1. Khi đó Hm1(R)là môđun Artin và ta có đẳng cấu cácR-môđunb Hm1(R) ∼= H1
mb(R).b Theo Hệ quả 1.1.13 ta suy ra Q ∈ Att
Rb H1
mb(R)b . Suy ra Q ∩ R ∈ AttR Hm1(R). Chú ý rằng AssR = {P ∩ R : P ∈ AssR}.b Vì thế ta có Q ∩ R ∈ AssR. Do R là miền nguyên nên AssR = {0}. Do đó 0 = Q∩R ∈ AttR(Hm1(R)). Vì thế
Rad(AnnR(Hm1(R))) = \
p∈AttR(Hm1(R))
p ⊆Q∩R = 0.
Mặt khác vì0∈ AttR(Hm1(R))vàmin AttR(Hm1(R)) = min AnnR(Hm1(R)) nên 0 ⊇ AnnR(Hm1(R)). Vậy AnnR(Hm1(R)) = 0. Chọn A = Hm1(R). Khi đó A là R-môđun Artin. Lấy tùy ý một iđêan nguyên tố p của R sao cho p 6= 0 và p 6= m. Ta đã chứng minh ở trên rằng AnnRA = 0, do đó
p ⊃ AnnRA. Lấy 06= x ∈ p, xét dãy khớp
0 →R →x R → R/xR →0.
Dãy này cảm sinh dãy khớp các môđun đối đồng điều địa phương 0→ Hm0(R/xR) → Hm1(R) →x Hm1(R).
Suy ra Hm0(R/xR) ∼= (0 :Hm1(R) x) = (0 :A x). Vì Hm0(R/xR) là R- môđun có độ dài hữu hạn nên (0 :A x) có độ dài hữu hạn. Do x ∈ p nên (0 :A p) ⊆ (0 :A x) và do đó (0 :A p) có độ dài hữu hạn. Vì thế AnnR 0 :A p
là iđêan m-nguyên sơ, điều này chứng tỏ Ann(0 :A p) 6= p. Vậy A không thỏa mãn tính chất (*).
Định nghĩa 2.2.3. Ta nói R-môđun Artin A là bão hòa nguyên tố nếu AnnR(0 :A p) =p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇AnnRA.
Mục đích chính của tiết này là đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin Hmi(M). Trước hết chúng ta tìm hiểu tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin. Ta có
SuppRM = {P ∩R :P ∈ Supp
RbMc}.
Vì M là hữu hạn sinh nên SuppRM = Var(AnnRM). Tương tự, vì Mc là R-môđun hữu hạn sinh nênb Supp
RbMc = Var(Ann
RbMc). Do đó theo bổ đề trên ta có
Var(AnnRM) ={P ∩R :P ∈ Var(Ann
RbMc)}.
Hơn nữa, mỗi R-môđun Artin đều có cấu trúc tự nhiên là R-môđunb Artin. Vì thế rất tự nhiên chúng ta hỏi rằng liệu đẳng thức
Var(AnnRA) ={P ∩R :P ∈ Var(Ann
RbA)}
có xảy ra cho môđun Artin A. Dưới đây chúng ta chỉ ra rằng đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi A bão hòa nguyên tố.
Mệnh đề 2.2.4. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) A bão hòa nguyên tố.
(ii) Var(AnnRA) = {P ∩R : P ∈ Var(Ann
RbA)}.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Cho P ∈ Var(Ann
RbA). Khi đó tồn tại một iđêan nguyên tố Q ∈ min Var(Ann
RbA) sao cho P ⊇ Q. Theo Bổ đề 1.1.9, mỗi iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Ann
RbA đều là một iđêan nguyên tố gắn kết của R-môđun Artinb A, do đó Q ∈ Att
RbA. Theo Bổ đề 1.1.11,
AttRA = {P ∩R :P ∈ Att
RbA}.
Vì thế Q∩ R ∈ AttRA. Suy ra Q∩R ∈ Var(AnnRA) và vì thế ta suy ra P ∩R ∈ Var(AnnRA). Do đó
Var(AnnRA) ⊇ {P ∩ R : P ∈ Var(Ann
RbA)}.
Ngược lại, chop ∈ Var(AnnRA). Theo giả thiết(i),Abão hòa nguyên tố nên AnnR(0 :A p) = p. Rõ ràng mọi iđêan nguyên tố chứa AnnR(0 :A p) đều phải chứa p, do đó p là iđêan bé nhất chứa AnnR(0 :A p). Theo Bổ đề 1.1.9 ta suy ra p ∈ AttR(0 :A p). Lại vì
AttR(0 :A p) ={P ∩R :P ∈ Att
Rb(0 :A p)}
nên tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Att
Rb(0 :A p) sao cho P ∩ R = p. Vì P ∈ Att
Rb(0 :A p) nên P ⊇ Ann
Rb(0 :A p). Vì thế P ∈ Var(Ann
RbA) và P ∩R = p, tức là
Var(AnnRA) ⊆ {P ∩ R : P ∈ Var(Ann
RbA)}.
(ii) ⇒ (i). Cho p ∈ Var(AnnRA). Theo giả thiết (ii), tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ Var(Ann
RbA) sao cho P∩R = p. Do tính bão hòa nguyên tố luôn thỏa mãn đối với mọi môđun Artin trên vành đầy đủ Rb nên ta có Ann
Rb(0 :A P) = P. Lại do pRb ⊆P nên ta có p ⊆AnnR(0 :A p) = AnnR(0 :A pR)b ⊆ Ann
Rb(0 :A P)∩R = P ∩R = p Suy ra AnnR(0 :A p) = p.
Tiếp theo chúng ta xét mối quan hệ giữa tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin với chiều Noether của nó.
Định nghĩa 2.2.5. Chiều Noether của A, kí hiệu là N-dimRA được định nghĩa quy nạp như sau: Khi A = 0, ta đặt N-dimRA = −1. Cho d > 0, d ∈ N. Đặt N-dimRA = d nếu N-dimRA < d là sai và với mỗi dãy tăng các môđun con A0 ⊆A1 ⊆... của A, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR(An/An−1) < d với mọi n > n0.
Từ định nghĩa của chiều Noether ta thấy ngay rằng N-dimRA = 0 nếu và chỉ nếu A 6= 0 và `R(A) < ∞. Hơn nữa, nếu
0−→ A0 −→A −→ A00 −→0 là một dãy khớp các R-môđun Artin thì
N-dimRA= max{N-dimRA0,N-dimRA00}.
Kí hiệu dimRA = dim(R/AnnRA). Khi đó N-dimRA = 0 nếu và chỉ nếu dimRA = 0, nếu và chỉ nếu A 6= 0 và có độ dài hữu hạn, nếu và chỉ nếu R/AnnRA là vành Artin. Trường hợp tổng quát ta chỉ có N-dimRA ≤ dimRA. Hơn nữa, với môđun Artin A = Hm1(R) như trong Ví dụ 2.2.2 ta có dimRA = 2 > 1 = N-dimRA. Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng tính bão hòa nguyên tố là đủ để đẳng thức về chiều ở trên xảy ra.
Mệnh đề 2.2.6 (xem [10]). Các phát biểu sau là đúng.
(i) N-dimRA ≤dimRA.
(ii) Nếu A bão hòa nguyên tố thì N-dimRA = dimRA.
Nhắc lại rằng Acó cấu trúc tự nhiên như là R-môđun Artin và cácb dãy môđun con của A xét như R-môđun và xét như R-môđun là nhưb nhau. Vì thế từ định nghĩa chiều Noether ta có N-dimRA = N-dim
RbA.
Ta đã biết tính bão hòa nguyên tố luôn đúng cho R-môđun nên theob Mệnh đề 2.2.6 ta có N-dim
RbA = dim(R/b Ann
RbA). Vì thế theo Bổ đề 1.1.9 ta có
dim(R/b Ann
RbA) = max{dim(R/Pb ) : P ∈ Att
RbA}.
Tương tự ta cũng có dimRA = max{dim(R/p) : p ∈ AttRA}. Do đó ta có quan hệ sau đây:
Hệ quả 2.2.7. Chiều Noether của A được xác định bởi N-dimRA = N-dim
RbA = dim(R/b Ann
RbA)
= max{dim(R/Pb ) : P ∈ Att
RbA}
≤dim(R/AnnRA) = max{dim(R/p) : p ∈ AttRA}.
Khái niệm giả giá được giới thiệu bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp đưa ra trong [6] là công cụ hữu hiệu trong việc nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương.
Định nghĩa 2.2.8. Cho i ≥ 0 là số nguyên. Giả giá thứ i (pseudo- support) của M, kí hiệu là PsuppiRM, được cho bởi công thức
PsuppiR(M) = {p ∈ SpecR :HpRi−dimR/p
p (Mp) 6= 0}.
Trước hết ta có mối liên hệ giữa tập giả giá PsuppiRM và tập Var AnnR(Hmi(M)).
Bổ đề 2.2.9. Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó PsuppiRM ⊆ Var AnnR(Hmi (M)). Chứng minh. Lấy p ∈ PsuppiRM. Khi đó HpRi−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Điều này kéo theo tồn tại iđêan nguyên tố gắn kết qRp ∈ AttRp HpRi−dim(R/p)
p (Mp)
với iđêan nguyên tố q ⊆ p. Theo Định lý 1.1.12 ta có q ∈ AttR(Hmi (M)).
Do đó ta có
p ⊇q ⊇AnnR(Hmi(M)).
Vì vậy PsuppiRM ⊆Var AnnR(Hmi(M)).
Định lý 2.2.10 (xem [15]). Giả sử i ≥0 là một số nguyên. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) Hmi(M) là bão hòa nguyên tố;
(ii) PsuppiR(M) = Var(AnnR(Hmi(M))).
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử Hmi(M) bão hòa nguyên tố, lấy iđêan p ∈ Var(AnnR(Hmi (M))). Khi đó AnnR(0 :Hmi(M) p) = p, điều này kéo theo min Var(AnnR(0 :Hmi(M) p)) = {p}. Cho q ⊇ AnnR(0 :Hmi(M) p). Khi đó q ⊇ p. Vì Hmi(M) bão hòa nguyên tố, nên ta có
AnnR(0 :(0:
Him(M)p) q) = AnnR((0 :Hmi(M) q) =q.
Do đó (0 :Hmi(M) p) bão hòa nguyên tố. Vì vậy theo Mệnh đề 2.2.6 và Hệ quả 2.2.7 ta có
dim(R/p) = dim(R/AnnR(0 :Hmi(M) p))
= N-dimR(0 :Hmi(M) p)
= dim(R/b Ann
Rb(0 :Hmi(M) p))
= Max{dim(R/Pb ) : P ∈ Att
Rb(0 :Hmi(M) p)}.
Vì thế tồn tại P ∈ Att
Rb(0 :Hmi(M) p) sao cho dim(R/Pb ) = dim(R/p). Mà P ∈ Var(Ann
Rb(Hmi (M))) và P ∩ R ⊇ p. Lại vì dim(R/Pb ) = dim(R/p), nên P là iđêan nguyên tố tối thiểu của pR. Lấy iđêanb P1 ∈ SpecRb sao cho P1 ⊇ Ann
Rb(Hi
mRb(Mc)). Khi đó tồn tạiQ ∈ min Var(Ann
Rb(Hi
mRb(Mc))) để P1 ⊇ Q. Do đó Q ∈ Att
Rb(Hi
mRb(Mc)). Theo Định lý 1.1.12, ta suy ra QRP1 ∈ Att
RbP1
(HPi−dim(R/Pb 1)
1RP1 (McP1)), từ đó Att
RbP1
(HPi−dim(R/Pb 1)
1RP1 (McP1)) 6= ∅, do đó HPi−dim(R/Pb 1)
1RP1 (McP1) 6= 0, nên P1 ∈ Psuppi
Rb(Mc). Vì thế Psuppi
Rb(Mc) = Var(Ann
Rb(Hmi
Rb(Mc))).
Vì Hmi(M) ∼= Hi
mRb(Mc) coi như R-môđun, nên ta cób Psuppi
Rb(Mc) = Var(Ann
Rb(Hmi(M))).
Do P ∈ Psuppi
Rb(Mc) nên Hi−dim(R/P)b
PRbP
(McP) 6= 0. Vì P là một iđêan tối thiểu của pRb và dim(R/Pb ) = dim(R/p), theo Định lí 1.1.4 ta có
HpRi−dim(R/p)
p (Mp)⊗RbP ∼= Hi−dim(R/Pb )
pRbP
(Mp ⊗RbP) ∼= Hi−dim(R/Pb )
PRbP
(McP) 6= 0.
Suy ra HpRi−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0 nên p ∈ PsuppiR(M). Vì thế Var(AnnR(Hmi(M)))⊆ PsuppiR(M).
(ii) ⇒ (i) Giả sử PsuppiR(M) = Var(AnnR(Hmi(M))). Lấy iđêan nguyên tố p sao cho p ⊇ AnnR(Hmi (M)). Khi đó ta có p ∈ PsuppiR(M), suy ra HpRi−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Hơn nữa vì dim(R/p) = dim(R/b pR)b nên tồn tại một iđêan P ∈ Ass
Rb(R/b pR)b sao cho dim(R/Pb ) = dim(R/p). Do đó P ∩R = p và P là một iđêan nguyên tố tối thiểu của pR. Chú ý rằngb ánh xạ cảm sinh Rp −→ RbP là hoàn toàn phẳng nên theo Định lí 1.1.4 ta có
Hi−dim(R/Pb )
PRbP
(McP) ∼= HpRi−dim(R/p)
p (Mp)⊗RbP 6= 0.
Do đó P ∈ Psuppi
Rb(Mc) = Var(Ann
Rb(Hmi(M))). Chú ý rằng Hmi(M) xét như là R-môđun Artin nên nó bão hòa nguyên tố. Do đób Ann
Rb(0 :Hmi(M) P) = P. Vì thế
p ⊆ AnnR(0 :Hmi(M) p) ⊆Ann
Rb(0 :Hmi(M) P)∩R = P ∩R = p. Suy ra AnnR(0 :Hmi(M) p) = p. Vậy Hmi(M) là bão hòa nguyên tố.
Mệnh đề 2.2.11 ([6], Mệnh đề 2.5). Giả sử (R,m) là vành địa phương.
Nếu R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức của R là Cohen- Macaulay thì Hmi(M) là bão hòa nguyên tố với mọi i.
Chứng minh. Theo [6], Mệnh đề 2.5 ta có
PsuppiR(M) = Var(AnnRHmi(M)).
Do đó theo Định lý 2.2.10 ta có điều phải chứng minh.