Trong mục này, dựa vào khái niệm của hàm điều hòa dưới ta định nghĩa hàm đa điều hòa d−ới và trình bày một số tính chất của nó.
Trong mục này, ta giả thiết Ω là tập mở trong Cn.
2.2.1. Định nghĩa. Hàm u : Ω → [−∞,+∞) đ−ợc gọi là đa điều hòa d−íi trong Ω nÕu
1) u nửa liên tục trên,
2) Với mỗi a ∈ Ω, b ∈ Cn là hàm hợpuol là điều hòa d−ới trong tập mở {λ ∈ C : l(λ) ∈ Ω}, trong đó l :C →Cn với l(λ) = a+bλ, λ ∈ C. Ta kí hiệu tập tất cả các hàm đa điều d−ới trong Ω là P SH(Ω).
2.2.2. Ví dụ. Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình thì u(z) = ln|f(z)|, z ∈ Ω là hàm đa điều hòa d−ới trong Ω.
Chứng minh. Hiển nhiên u là hàm nửa liên tục trên trên Ω. Giả sử a = (a1, . . . , an) ∈ Ω, b = (b1, . . . , bn) ∈ Cn và l(λ) = a+λb, λ ∈ C.
Khi đó, l = (l1, . . . , ln), trong đó lj : C→ C với lj(λ) = aj +λbj, λ∈ C. Vì các lj là hàm chỉnh hình trên C nên l chỉnh hình trên C. Đặc biệt l là hàm chỉnh hình từ U = {λ ∈ C : l(λ) ∈ Ω} vào l(U) ⊂ Ω. Mặt khác, vì
f chỉnh hình trên Ω nên fol chỉnh hình trên U. Do đó theo Hệ quả 2.1.15 ln|fol| điều hòa d−ới trong U, tức là uol điều hòa d−ới trong U.
VËy u ∈ P SH(Ω).
2.2.3. Định lí (Nguyên lí cực đại của hàm đa điều hòa dưới). Nếu Ω là một miền trong Cn còn u ∈ P SH(Ω) và u đạt cực đại tại a ∈ Ω thì u là hàm hằng.
Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh tồn tại hình cầu mở B(a, r) sao cho
u(z) =u(a) ∀z ∈ B(a, r).
Thật vậy, lấy r > 0 sao cho B(a, r) ⊂ Ω. Với mỗi z ∈ B(a, r), z 6= a, Đặt b = z −a
kz−ak. Xét ánh xạ l : C → Cn với l(λ) = a+ λb, λ ∈ C, với mỗi λ ∈ V = {λ ∈ C :|λ| < r} ta cã
kl(λ)−ak = kλbk= |λ| < r, tức là l(λ) ∈ B(a, r) ⊂Ω. Do đó
V ⊂ U = {λ ∈ C: l(λ) ∈ Ω}.
Theo Định nghĩa 2.2.1 hàm uol ∈ SH(U), do đó uol ∈ SH(V). Mặt khác với mỗi λ ∈ V ta có
uol(λ) = u(a+λb) ≤u(a) = uol(0).
Nh− vậy uol đạt cực đại tại λ = 0 ∈ V. Theo nguyên lí cực đại của hàm
điều hòa d−ới (Định lí 2.1.10) thì
u(a+ λb) = u(a) ∀λ ∈ V.
Đặc biệt với λ = kz−ak< r ta có
u(a) = u(a+λb) =u(z).
Nh− vËy
u(z) =u(a) ∀z ∈ B(a, r).
Bây giờ, đặt
E = {z ∈ Ω : u(z) = u(a)}.
Từ chứng minh đầu tiên suy ra E là tập mở. Hơn nữa E 6= ∅ vì a ∈ E. Giả sử {zm} là dãy trong E và zn →z ∈ Ω. Khi đó, vì u nửa liên tục trên trên Ω nên lim
t→zu(t) = u(z). Do đó ta có u(a) = lim
n→∞u(zn) ≤ lim
t→zu(t) = u(z) ≤ u(a).
Nh− vậy u(z) = u(a), tức là z ∈ E. Do đó E là tập đóng trong Ω. Từ tính liên thông của Ω ta kết luận đ−ợc E = Ω. Vậy u là hàm hằng.
Trong mục trước, Định lí 2.1.12 cho ta đặc trưng của hàm điều hòa dưới thuộc lớp C2. Định lí sau đây cho ta đặc trưng tương tự của hàm đa điều hòa d−íi thuéc líp C2.
2.2.4. Định lí. Giả sử u ∈ C2(Ω). Khi đó u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi L(a, ω) =
n
X
k,j=1
∂2u
∂zk∂zj
(a)ωkωj ≥ 0,∀a ∈ Ω ∀ω ∈ Cn.
Chứng minh. Với mỗi a ∈ Ω, ω ∈ Cn ta xác định hàm l : C → Cn với l(λ) = a+λω := z, λ ∈ Cn. Đặt U = {λ ∈ C: l(λ) ∈ Ω} và ϕ = uol. Khi
đó, theo Định nghĩa 2.2.1, u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi ϕ ∈ SH(U). Kết hợp với Định lí 2.1.12, u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi ∆ϕ≥ 0 trong U. Với mỗi λ ∈ U đặt λ = x+iy ; x và y ∈ R. Ta có
∂ϕ
∂λ = 1 2
∂ϕ
∂x −i∂ϕ
∂y
, ∂ϕ
∂λ = 1 2
∂ϕ
∂x +i∂ϕ
∂y
. Do đó
∂2ϕ
∂z∂z = ∂
∂z ∂
∂z
= 1 4
∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2
= 1 4∆ϕ.
Mặt khác theo công thức vi phân hàm hợp ta có
∆ϕ
4 = ∂2ϕ
∂λ∂λ =
n
X
k,j=1
∂2u
∂zk∂zj
ωkωj.
Từ đó suy ra u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi L(a, ω) =
n
X
k,j=1
∂2u
∂zk∂zj
(a)ωkωj ≥0,∀a ∈ Ω , ∀ω ∈ Cn.
2.2.5. Định lí ([4]). (xấp xỉ hàm đa điều hòa d−ới bởi các hàm khả vi vô hạn). Giả sử Ω là một miền trong Cn và u ∈ P SH(Ω). Khi đó tồn tại dãy tăng các tập mở {Gm} sao cho Gm ⊂ Gm+1 ,
∞
S
m=1
Gm = Ω và dãy giảm các hàm{um} sao cho um ∈ P SH(Gm)∩C∞(Gm) và um(z) → u(z) với mọi z ∈ Ω, trong đó C∞(Gm) là tập các hàm nhận giá trị thực khả vi vô hạn trên Gm ; m = 1,2, . . . (2)
2.2.6. Định nghĩa. Hàm u : Ω → R đ−ợc gọi là đa điều hòa trong Ω nếu u ∈ C2(Ω) và
∂2u
∂zj∂zk
(z) = 0 ∀z ∈ Ω ; j = 1, n , k = 1, n.
Ta kí hiệu P H(Ω) là tập tất cả các hàm đa điều hòa trong Ω.
2.2.7. Nhận xét. Khi n = 1, tức Ω là tập mở trong R2 thì định nghĩa hàm đa điều hòa trùng với định nghĩa hàm điều hòa. Khi n > 1, ta để ý rằng Cn ∼= R2n. Khi đó, ta có P H(Ω) ⊂H(Ω).
Định lí sau đây cho ta mối quan hệ giữa các hàm đa điều hòa, điều hòa d−ới và đa điều hòa d−ới.
2.2.8. Định lí. Nếu Ω là tập mở trong Cn thì
P H(Ω) ⊂ P SH(Ω) ⊂ SH(Ω).
2Chúng ta có thể xem chứng minh của định lí này trong [4] hoặc [5].
Chứng minh. Giả sử u ∈ P H(Ω). Khi đó u∈ C2(Ω) và
∂2u
∂zj∂zk
(z) = 0 ∀z ∈ Ω.
Do đó với mọi a ∈ Ω, mọi ω ∈ Cn ta có
∂2u
∂zj∂zk
(a)ωjωk = 0.
Theo Định lí 2.2.4 ta có u ∈ P SH(Ω). Do đó P H(Ω) ⊂ P SH(Ω).
Để chứng minh bao hàm thức thứ hai trong Định lí, đầu tiên, ta giả sử u ∈ P SH(Ω)∩C2(Ω). Khi đó, theo Định lí 2.2.4 ta có
0 ≤4L(a, ω) = ∆(uol)|λ=0 ∀a ∈ Ω , w ∈ Cn.
Trong đó l(λ) = a + λω, λ ∈ {λ ∈ C : a + λω ∈ Ω}. Từ đó ta có
∆u(a) ≥ 0 với mọi a ∈ Ω. Theo Định lí 2.1.12, u∈ SH(Ω).
Bây giờ giả sử u ∈ P SH(Ω). Khi đó, theo Định lí 2.2.5 tồn tại dãy các tập mở {Gm} và dãy giảm các hàm {um} (xem Định lí 2.2.5) sao cho um ∈ P SH(Gm)∩ C∞(Gm) với mọi m và {um} hội tụ tới u tại mỗi z ∈ Ω. Theo kết quả vừa chứng minh thì um ∈ SH(Gm) với mọi m. Từ Gm ⊂ Gm+1 với mọi m và S∞
m=1
Gm = Ω kết hợp với Định lí 2.1.17 1) suy ra u ∈ SH(Ω).
VËy P SH(Ω)⊂ SH(Ω).
T−ơng tự nh− Định lí 2.1.11 ta có Hệ quả sau.
2.2.9. Hệ quả. Nếu Ω là tập mở trong Cn thì u ∈ P H(Ω) khi và chỉ khi u và −u ∈ P SH(Ω).
Chứng minh. Giả sử u ∈ P H(Ω). Khi đó theo Định nghĩa 2.2.6 thì
−u ∈ P H(Ω). Do đó theo Định lí 2.2.8 ta có u và −u ∈ P SH(Ω).
Ng−ợc lại, giả sử u và −u ∈ P SH(Ω). Khi đó, theo Định lí 2.2.8 ta có u và −u∈ SH(Ω). Theo Định lí 2.1.11 thì u và −u ∈ H(Ω).
Do đó u và −u ∈ C2(Ω), áp dụng Định lí 2.2.4 ta có
n
X
j,k=1
∂2u
∂zj∂zk
(a)ωjωk =
n
X
j,k=1
∂2(−u)
∂zj∂zk
(a)ωjωk = 0 ∀a ∈ Ω , ∀ω ∈ Cn. Từ đó suy ra
n
X
j,k=1
∂2u
∂zj∂zk
(a)ωjωk = 0 ∀a ∈ Ω, ∀j, k = 1, . . . , n.
Theo Định nghĩa 2.2.6 thì u∈ P H(Ω). 2.2.10. Định lí.
1) P SH(Ω) là một nón lồi, tức là với α, β là hai số thực d−ơng và u, v ∈ P SH(Ω) ta cã αu+ βv ∈ P SH(Ω).
2) Nếu Ω là một miền và {um} là dãy giảm trong P SH(Ω) sao cho um → u th× u ∈ P SH(Ω).
3) Nếu u : Ω → R và {um} là dãy trong P SH(Ω) hội tụ đều tới u trên mọi tập compact của Ω thì u ∈ P SH(Ω).
4) Nếu{uα}α∈I là họ trong P SH(Ω), sao cho hàm u= sup{uα : α ∈ I} bị chặn trên địa phương trên Ω thì u∗ ∈ P SH(Ω).
Chứng minh. 1) Với mọi u, v ∈ P SH(Ω) và α, β là 2 số d−ơng thì
αu+βv nửa liên tục trên trên Ω (theo Mệnh đề 1.2.2 và Mệnh đề 1.2.7).
Với mỗi a ∈ Ω và b ∈ Cn, các hàm uol và vol là điều hòa d−ới trong
tập U = {λ ∈ C : l(λ) = a + λb ∈ Ω}. Do đó theo Mệnh đề 2.1.16 thì
α(uol) +β(vol) ∈ SH(Ω), tức là (αu+βv)ol ∈ SH(Ω). VËy αu+βv ∈ P SH(Ω).
2) Vì các hàm um giảm tới u trên Ω nên t−ơng tự nh− chứng minh Định lí 2.1.17 1) ta chứng minh đ−ợc u nửa liên tục trên trên Ω. Với mỗi a ∈ Ω và b ∈ Cn, các hàm Umol ∈ SH(U) với
U = {λ ∈ C: l(λ) = a+λb ∈ Ω}.
Vì {umol} giảm tới nol trên U nên theo Định lí 2.1.17 nol ∈ SH(U). Do
đó u ∈ P SH(Ω).
3) Theo Mệnh đề 1.2.8 u là hàm nửa liên tục trên trên Ω. Tương tự như
trong 2) theo Định lí 2.1.17 uol ∈ SH(Ω). Do đó u ∈ P SH(Ω).
4) Với mỗi a ∈ Ω, với mỗi b ∈ Cn, vì uα ∈ P SH(Ω) với mỗi α ∈ I nên uαol ∈ SH(U) với mỗi α ∈ I, trong đó l và U là các kí hiệu nh− trong 2).
Với mỗi λ ∈ U ta có
uol(λ) = u(l(λ)) = sup{uαol(λ) : α ∈ I} Do đó, theo Địnhlí 2.1.17 3) thì (uol)∗ ∈ SH(U).
Mặt khác ta có
(uol)∗(λ) = lim
t→λ t∈U
uol(t) = lim
t→λ t∈U
sup{uα(l(t)) : α ∈ I}
= lim
t→λ t∈U
u(l(t)) = lim
l(t)→l(λ) t∈U
u(l(t))
= u∗ol(λ) ∀λ ∈ U.
Do đó u∗ol = (uol)∗ ∈ SH(U).
VËy u∗ ∈ P SH(Ω).
kÕt luËn
Luận văn đã đạt đ−ợc các kết quả chính sau đây
- Dựa vào các tài liệu tham khảo, trình bày chi tiết các khái niệm và tính chất về các hàm nửa liên tục, điều hòa d−ới và đa điều hòa d−ới.
- Dựa vào các kết quả về hàm nửa liên tục trên không gian mêtric để trình bày khái niệm hàm nửa liên tục trên không gian tôpô và chứng minh một số kết quả t−ơng tự nh− hàm nửa liên tục trên không gian mêtric vẫn đúng trong trường hợp không gian tôpô.
- Chứng minh chi tiết một số kết quả mà trong các tài liệu tham khảo không chứng minh nh− Mệnh đề 2.1.9, Định lí 2.1.12, Định lí 2.1.17 và Định lí 2.2.3.
- Đ−a ra và chứng minh Mệnh đề 1.2.8, Định lí 2.2.8 và Hệ quả 2.2.9.