3.4.1. Định lý - Định nghĩa. Cố định một thứ tự từ ≤ trên M và cho
F = {f1, f2, , f… s} ⊂ R = K[x1,..., xn]. Khi đó mọi đa thức f ∈ R có thể viết đợc dới dạng f = q1 f1 + + q… s fs + r . Trong đó qi , r ∈ R thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Hoặc r = 0 hoặc không có từ nào của r chia hết cho một trong các từ khởi
đầu in(f1), , in(f… s). Hơn nữa in(r) ≤ in(f).
(ii) NÕu qi ≠ 0 th× in(qi fi) ≤ in(f), i =1,s.
Đa thức r ở trên gọi là đa thức d (hoặc phần d ) của f khi chia cho F và ký hiệu là r =RemF(f).
* Biểu diễn trên của f gọi là biểu diễn chính tắc của f theo f1, ..., fs. 3.4.2. Chú ý: * Đa thức d RemF(f) không xác định duy nhất.
* Định lý đợc chứng minh nhờ vào thuật toán chia đa thức sau : T×m Phandu(f; f1, ..., fs) := r khi chia f cho f1, , f… s .
Input : f1, , f… s, f : đa thức trong K[x]
Output: q1, , q… s , r : các đa thức trong K[x]
q1 := 0, ..., qs := 0, r := 0 p := f
While p ≠ 0 do i :=1
Chiahet := false
While i≤ s and Chiahet = false do If in(fi)in(p) then
qi := qi + in(p)/in(fi) p := p - (in(p)/in(fi )).fi Chiahet := true
Else
i := i + 1
If Chiahet = false then r := r + in(p) p := p - in(p)
* Kết quả thuật toán chia đa thức phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp các phần tử của F={f1, , … fs}. Đa thức Phandu(f; F) xác định duy nhất và là một giá trị của RemF(f).
3.4.3. Tính chất. (i) F ={f1, , f… s} là một cơ sở Gro..bner đối với một thứ tự từ cho trớc. Khi đó với mỗi đa thức f ∈ R, đa thức d r của phép chia f cho hệ F (trong
Định lý chia đa thức 3.4.1) là xác định duy nhất .
(ii) F ={f1, , f… s} là một cơ sở Gro..bner của iđêan I đối với một thứ tự từ cho trớc và đa thức f ∈ I. Khi đó f ∈ I ⇔ đa thức d r của phép chia f cho hệ F bằng 0.
3.4.4. Định lý. Trong Định lý chia đa thức (Định lý - định nghĩa 3.4.1) thì
điều kiện in(r) ≤ in(f) đợc suy ra từ điều kiện (ii).
Chứng minh: Thật vậy, giả sử ngợc lại in(r) > in(f), mà f = q1 f1 +...+ qs fs + r cho nên in(r) phải bị khử bởi đa thức qi fi với i =1, , s, chắc chắn có đa thức q… k fk mà có từ của nó đồng dạng với in(r).
Khi đó, in(qk fk) ≥ in(r) > in(f)
⇒ in(qk fk) > in(f) : Điều này mâu thuẫn với (ii) .
3.4.5. Định lý. Trong Định lý chia đa thức, khi hệ đa thức chia chỉ gồm một đa thức thì đa thức d và do đó cả đa thức "thơng" đợc xác định duy nhất.
Chứng minh: Gọi g là đa thức chia (giả thiết cho hệ đa thức chia chỉ gồm một đa thức) và f là đa thức "bị chia".
Giả sử đa thức d không xác định duy nhất, tức là tồn tại các đa thức q1, q2, r1, r2 sao cho f = qi.g + ri với i = 1, 2 thoả mãn 2 điều kiện trong Định lý chia đa thức, r1 ≠ r2 .
Ta cã f = q1.g + r1 = q2.g + r2 ⇒ r1 - r2 = (q2 - q1)g . Do r1 ≠ r2 nên r1- r2 ≠ 0.
Theo TÝnh chÊt 3.1.2 th× in(r1- r2) = in(q2 - q1).in(g) . Do q1 ≠ q2 nên in(r1 - r2) chia hết cho in(g).
(Điều này là mâu thuẫn với đơn thức của in(r1 - r2) là đơn thức của r1 hoặc r2
nên nó không chia hết cho in(g)).
3.4.6. Định lý. Trên vành đa thức R = K[x1,…, x2] cho hệ các đa thức F ={f1, , … fn-1} sao cho f1= α1x1 + g1, f2 = α2x2 + g2,…, fn-1 = αn-1xn-1 + gn-1 trong đó g1, , … gn-1 là các đa thức dạng αxnan và αi ≠ 0, ∀i = 1, ..., n-1.
Khi đó mọi đa thức f ∈ R đều có thể viết dới dạng f = h1 f1 + + … hn-1 fn-1 + r trong đó r là đa thức chỉ phụ thuộc xn .
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh cho việc biểu diễn từng từ của f về dạng trên, khi đó f cũng có dạng đó. Do đó, không mất tính tổng quát ta giả sử f là một từ. Đồng thời do K là trờng và αi ≠ 0 nên ta có thể chứng minh cho αi= 1 là đủ. Tức là:
f1 = x1 + g1, , … fn-1= xn-1 + gn-1và f = αx1a1…xnan .
Đi từ f1 đến fn-1 : nếu a1 > 0 thì f = αx1a1−1.a2a2...xnan(x1 + g1) + k1.
Rõ ràng k1 = - αx1a1−1.a2a2...xnan.g1 ⇒ bậc của x1 trong các từ của k1 sẽ giảm
đi 1 đơn vị so với f ⇒ tiếp tục quá trình đó trên các từ của k1 nh ở f thì sau hữu hạn bớc ta có f = h1(x1 + g1) + k2 với k2 không có từ nào chứa x1. Tiếp tục tơng tự chia k2 cho f2 = x2 + g2 nh trên ta sẽ có
f = h1 f1 + h2 f2 + k3 với k3 không có từ nào chứa x1, x2.
...
Cuối cùng f = h1 f1 + + h… n-1 fn-1 + r với r không có từ nào chứa x1,x2, , x… n-1 ⇒ r chỉ phụ thuộc xn.
Một cách tổng quát hơn ta có kết quả nh sau:
3.4.7. Định lý. Trên vành R = K[x1, , x… 2] ta chia tập {1, 2, , n} thành… 2 tập con khác rỗng S1, S2 . Gọi F1 = {xi / i ∈ S1} và F2 = { xi / i ∈ S2}.
Gọi F = {fi / fi có dạng αixi + gi với i ∈ S1, αi ≠ 0 và các từ của gi không chứa xj với mọi j ∈ S1}. Khi đó với mọi đa thức f ∈ R luôn có thể biểu diễn đ- ợc dới dạng
f = f F hifi r
i
∑ +
∈ với r là đa thức chỉ phụ thuộc vào các biến xivới i ∈ S2 . 3.4.8. Định lý. Cho f, f1, , … fs ∈ R và trên R có một thứ tự nào đó. Khi đó f có thể viết duy nhất dới dạng
f = h1 f1 + + … hs fs + r ,
sao cho mỗi đơn thức của hi nằm trong tập các đơn thức m thoả mãn m.in(fi)∉(in(f1), , in(f… i -1))
và đơn thức của r không nằm trong (in(f1), , in(f… s)).
Chứng minh: Việc chỉ ra sự tồn tại, ta có thể chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo s hoặc truy hồi từ f1 đến fs thoả mãn điều kiện bài toán.
Chú ý là ta có thể thực hiện lên từng từ của f có dạng trên thì f cũng có dạng đó nên ta có thể giả thiết f là một từ.
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất. Thật vậy, giả sử có 2 cách phân tích khác nhau f = h1 f1 + + h… s fs + r1 =k1 f1 + ...+ ks fs + r2 thoả mãn yêu cầu bài toán
⇒ (h1 - k1) f1 + + (h… s - ks) fs = r2 - r1. +) NÕu r1 = r2 th× (h1 - k1) f1 + + (h… s - ks) fs = 0.
Gọi s' là chỉ số lớn nhất mà hs' ≠ ks' (nếu không thì ta có điều phải chứng minh)
⇒ (h1 - k1) f1 + + (h… s' - ks') fs' = 0
⇒ (hs' - ks') fs' = (k1 - h1) f1 + + (k… s'-1 - hs'-1) fs'-1.
Đơn thức của hs' - ks' là đơn thức của hs' hoặc ks'.
⇒ Tồn tại đơn thức m của hs' hoặc ks' sao cho
m.in(fs') ∈ (in(f1),…, in(fs'-1) : M©u thuÉn . +) Nếu r1 ≠ r2 thì ta có từ của r1 - r2 chia hết cho một trong các từ
{in(f1), , in(… fs)}. Mà đơn thức của r1 - r2 là đơn thức của r1 hoặc r2 : mâu thuÉn .
KÕt luËn
Khoá luận đã thu đợc những kết quả sau:
1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết cơ sở Grệbner. Đặc biệt là thứ tự từ – khái niệm mở đầu cho lý thuyết cơ sở Grệbner.
2. Nghiên cứu một số tính chất của thứ tự từ. Chẳng hạn nh Định lí 2.4.6 về
định nghĩa hình nón dơng và tính chất của nó, Định lí 2.4.7 và 2.4.8 về một
điều kiện để tích từ điển là thứ tự từ.
3. Nghiên cứu mở rộng thứ tự từ trên M lên giả thứ tự trên tập các từ và mở rộng giả thứ tự trên tập các từ lên vành đa thức R bởi Định lí 3.3.5.
4. Nghiên cứu tìm ra một số điều kiện để đa thức d trong Định lý chia đa thức là duy nhất (Định lý 3.4.5 và Định lý 3.4.8).
5. Khoá luận này còn đặt ra một số câu hỏi cần giải quyết, chẳng hạn nh những vấn đề tơng tự về thứ tự từ trong M khi sang giả thứ tự trên R theo Định lí 3.3.5 sẽ nh thế nào, hoặc có những điều kiện nào nữa để đa thức d trong định lý chia đa thức là duy nhất, hoặc có những điều kiện nào nữa để tích từ điển là thứ tự từ, đặc biệt là thứ tự theo trọng (liên hệ công cụ nghiên cứu phiếm hàm tuyến tính trong Giải tích vào lĩnh vực Đại số).