Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa toán học mạnh mẽ của công ti Warterloo Maple Inc. (http://www.maplesoft.com), ra đời năm 1991 đến nay đã phát triển đến phiên bản 10. Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy trên tất cả các hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để sử dụng tối ưu cấu hình máy và đặc biệt có chương trình trợ giúp (Help) rất dễ sử dụng. Từ phiên bản 7 trở đi, Maple cung cấp ngày càng nhiều các công dụng trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thông và đại học. Ưu điểm đó làm cho nhiều nước trên thế giới lựa chọn sử dụng Maple cùng các phần mềm khác trong dạy và học Toán. Việc sử dụng Maple cũng như công nghệ thông tin trong dạy và học Toán là một xu hướng ngày càng phổ biến trên thế giới và tỏ ra là một phương tiện hỗ trợ đắc lực nhằm làm cho việc dạy và học toán trở nên thực tiễn hơn, đáp ứng nhu cầu phát triển của giáo dục hiện đại.
Phần này cung cấp những một số nội dung sơ lược về Maple để có thể khai thác sử dụng nó trong việc học tập và giảng dạy môn học Lí thuyết trường và Lý thuyết Galois.
3.1. Sử dụng Maple 6
Trong Maple 6, ta tính được biệt thức của một đa thức tuỳ ý với lệnh:
[ > discrim (f,x);
Ví dụ, biệt thức của f =x4+ax3+bx cx d2 + có thể tính trực tiếp bằng lệnh:
[ > discrim (x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d,x)};
2 2 2 2 2 2 2 2 3 2
3 2 4 2 2 2
3 4 2 3 3 3 3 3 4
6 144 4 144
18 192 16 128 80
18 27 256 4 4 27
a c d b a c a bd a b d bdc
abc acd b d b d b acd
a bcd a d d a c b c c
− + + − +
+ − + − −
+ − + − − −
Trường nghiệm của giải thức h X( ) chứa trong trường nghiệm của f . Do đó nhóm Galois của hlà nhóm thương của G. Ta có các trường hợp như sau:
- Nếu h bất khả quy và Df không chính phương trong F. Khi đó G không chứa trong A4và nhóm Galois của h đẳng cấu với S3. Do đó cấp của G chia hết cho 6. Suy ra G S= 4.
- Nếu h bất khả quy và Df chính phương trong F. Khi đó G⊂A4 và nhóm Galois của h đẳng cấu vớiA3 . Suy ra G có cấp chia hết cho 3. Suy ra G=A4..
- Nếu h khả quy và phân rã thành ba nhân tử tuyến tính trong F X[ ]. Khi đó θ θ1, 2 và θ3 thuộc F. Do đó mọi phần tử G phải cố định chúng. Suy ra G V⊂ . Vì g bất khả quy nên G V= .
- Nếu h phân tích thành một đa thức bậc 2 và một đa thức bậc 1 trong
[ ]
F X . Khi đó có đúng một phần tử trong { ,θ θ θ1 2 3, } thuộc F. Ta có thể giả thiết
1 F
θ ∈ . Như thế mọi phần tử của G cố định θ1 nhưng không có cố định θ2 và θ3. Suy ra G⊂D8 và G⊆/V. Như thế G D= 8 hay G C= 4. Chú ý rằng F( Df) là trường cố định bởi G∩A4. Ta có D8∩A4 =V và C4∩A4 ={1,(13)(24)}. Chú ý rằng
G∩A4 là nhóm Galois của g trên F( Df ). Do đó nếu g bất khả quy trên F( Df )
thì G∩A4có cấp không nhỏ hơn 4, do đó G D= 8. Ngược lại, nếu g khả quy trên
( f )
F D thì G C= 4.
Ví dụ 1. Cho đa thức f =x4+5x2+5x−5. Rõ ràng f bất khả quy trên ¤ . Giải thức của f là h x= −3 10x2+45x+25 bất khả quy trên ¤ . Hơn thế biệt thức của f là -281375 không chính phương. Do đó nhóm Galois của f là S4.
Ví dụ 2. Cho đa thức f =x4−5x2− ∈4 ¤ [ ]x . Kiểm tra f bất khả quy trên¤ . Giải thức của f là
( )
3 2 2
( ) 10 41 10 41
h x = +x x + x x x= + x+
khả quy trên ¤ . Mặt khác, biệt thức của f là – 107584 = - 3282 không chính phương. Có thể tích trực tiếp nghiệm của f và thấy rằng f không khả quy trên
( )i
¤ . Do đó nhóm Galois của f đẳng cấu với D8.
3.2. Sử dụng Maple 7
Trong Maple 7, ta có thể tính trực tiếp nhóm Galois của một đa thức bất khả quy có bậc không quá 9 trên ¤ . Xét cú pháp ở ví dụ sau đây:
> restart;
> f : =x^4-5*x^2-4;
4 2
: 5 4
f =x − x −
> galois (f) ;
“4T3”,{“D(4)”}, “-”,8, {“(13)”, “(1234)”}
Kết quả tính toán của Maple cho thấy nhóm Galois của x4−5x2−4 đẳng cấu với nhóm D8, có 8 phần tử và sinh bởi các phép thế (1 3) và (1 2 3 4) như nhóm con của nhóm S4( trong Maple kí hiệu Dn cho nhóm đối xứng của n – giác đều ).
3.3. Sử dụng Maple 8
Maple 8 cho chúng ta nghiệm căn thức của một đa thức bậc 3 tuỳ ý bằng lệnh [ > solve (f); với f là một đa thức bậc 3.
Xét với đa thức tổng quát bậc 4:
Cho g t= 4−s t13+s t2 2−s t s3 + 4. Nhóm Galois S4 của g có dãy các nhóm con chuẩn tắc
4 4
1< <V A <S với V ={1, 12 34 , 13 24 , 14 23( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }
Đặt
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 3 4 ;
2 1 3 2 4 ;
3 1 4 2 3 .
y t t t t
y t t t t
y t t t t
= + +
= + +
= + +
Vì các đa thức đối xứng sơ cấp của y y y1, ,2 3 thuộc F s s s s( , , , )1 2 3 4 nên
1, ,2 3
y y y là nghiệm của một đa thức bậc 3 trên F s s s s( , , ,1 2 3 4), gọi là giải thức bậc 3 của g.
Khi đã giải được y y y1, ,2 3,cùng với t1+ + + =t2 t3 t4 s1, suy ra các cặp
(t1+t t2 3, +t4) (; t1+t t3 2, +t4) (; t1+t t4 2, +t3) là nghiệm của các đa thức bậc 2 có hệ tử trong F s s s s y y y( , , , , ,1 2 3 4 1 2 3, ). Từ đó giải được t t t t1 2 3 4, , , .
Trong thực hành, ta đặt 1 1
u t= −4s thì ta có một đa thức bậc 4 theo u:
4 2
f =u + pu +qu r+ Từ đó tính được:
1 2 3 2 ; y +y +y = p
y y1 2 +y y1 3+ y y2 3 = p2 4 ;− r y y y1 2 3 = −q2.
Suy ra giải thức của f u( )là
( )
3 2 2 2 4 2.
X − pX + p − r X q+
Các nghiệm của f cho bởi:
( )
( )
( )
( )
1
1 2 1 2 3
1
2 2 1 2 3
1
3 2 1 2 3
4 12 1 2 3
u y y y
u y y y
u y y y
u y y y
= − + − + −
= − − − + −
= − − + − + −
= − − − − + −
với các căn thức được chọn sao cho −y1. −y2. −y3 = −q.