Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH cắt đường tròn (O) ở D, kẻ đường kính AOE
a. Chứng minh rằng : DE song song với BC.
b. Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.
c. Tính bán kính của đường tròn (O) biết BC = 24 cm ; IM = 8cm Bài 2 :
Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi S là trung điểm của AO, vẽ đường tròn tâm S đi qua A.
a. Chứng minh rằng các đường tròn (O) và (S) tiếp xúc với nhau tại A
b. Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (S) tại M và đường tròn (O) tại P Chứng minh rằng : 1. SM // OP
2. M là trung điểm của AP và OM //BP
Bài 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B, vẽ một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) ở C cắt đường tròn (O’) ở D (A nằm giữa C và D), vẽ một đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) ở E, cắt đường tròn (O’) với F (B nằm giữa E, F). hai đường thẳng CD và EF không cắt nhau ở bên trong hai đường tròn. Chứng minh rằng CE // DE.
Bài 4 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn này kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh rằng
a. MN // AC
b. CD. MN= CM. BD
Bài 5 :Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) các đường phân giác trong của các góc B, C lần lượt cắt đường tròn tại E, F. Dây cung EF cắt AC, AB lần lượt tại H, I.
a) Chứng minh các tam giác FKB và EAK cân
b) Chứng minh tứ giác FIKN nội tiếp. Từ đó suy ra IK // AC c) Có nhận xét gì về tứ giác AIKH ?
Bài 6 : cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O;R) hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau ở T.
a. Chứng minh rằng OT// AB
b. Chứng minh rằng : ba điểm O,C,T thẳng hàng c. tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R
Bài 7: Trong đường tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc với nhau tại I. Chứng minh rằng :
a) Khoảng cách từ O tới AB bằng nửa độ dài CD.
b) Đường thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuông góc với AD.
Bài 8:
Cho đường tròn đường kính BC. Một điểm P ở ngoài đường tròn có hình chiếu trên BC là một điểm A ở ngoài đường tròn. Giao của PB, với PC với đường tròn lần lượt là M, N, giao của AN với đường tròn là E. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm A, B, N, P nằm trên một đường tròn b) EM vuông góc với BC.
Bài 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong một đường tròn (O), ngoài ra ACB = 450. Các đường cao AH, BH của tam giác cắt đường tròn lần lượt tại P, Q. Hai đường thẳng AQ và BP giao nhau tại S.
a) Chứng minh PQ là đường kính của đường tròn (O).
b) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là hình bình hành c) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là bằng nhau
Bài 10 : Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Các đường phân giác trong của các góc B,và C lần lượt cắt đường tròn tại E& F.Dây cung è cắt AC,AB lần lượt tại H; I .CMR:
a) MN//AC.
b) CD.MN = CM.BD
Bài 11:Trong đường tròn (O) cho 12 dây cung AC và BD vuông góc với nhau tại I .CMR a)Khoảng cách từ O tơí AB bằng nửa độ dài CD
b)Đường thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuong góc với AD.
Bài 12: Cho đường tròn đường kính BC.Một điểm P nằm ngoài đường tròn có hình chiếu trên BC là một điểm trên A ở ngoài đường tròn .Giao điểm của PB và PC với đường tròn lần lượt là M&N .Gọi giao điểm của AN với đường tròn là E .CMR:
a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm trên đường tròn.
b)EN vuông góc với BC.
Bài 13:Tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O),ngoài ra góc ACB =450. Các đường cao AH,BH của tam giác cắt đườn tròn lần lượt tại P,Q .Hai đường thẳng AQ ,BP giao nhau tại S. CMR:
a)PQ là đường kính của đường tròn(O).
b) ACBS là hình bình hành
c)Các ∆ ASH và APQ là bằng nhau:
II. chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài 1cho hai đường tròn tâm O và O’cắt nhau tại Avà B. từ B kẻ các đường kính BOC và BO’D
a. chứng minh rằng: ba điểm C,A,D thẳng hàng. suy ra CD = 2OO’
b. gọi M là trung điểm của dây cung chung AB. CMR ba điêmt O,M,O’ thẳng hàng c. biết OO’= 5cm ; O’B= 3cm ; OB= 4cm . tính AB,AC và diện tích OBO’
Bài 3:
Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O). Các điểm C, D di động trên đường tròn sao cho AD//BC và C, D ở về cùng một phía với dây AB ; M là giao điểm của AC, BD các tiếp tuyến với đường tròn tại A và D cắt nhau tại I. Chứng minh
a. Ba điểm I, O, M thẳng hàng
b. Chứng minh bốn điểm A, B, M, P cùng thuộc một đường tròn c. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC là hình số.
Bài 4: Cho M là một điểm di động trên nửa đường tròn đường kính AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại K.
Các tia AH, BM cắt nhau tại S.
a. Chứng minh tam giác ABS cân.Từ đó chứng minh S nằm trên một đường tròn cố định.
b. Chứng minh KS là tiếp tuyến của đường tròn (B, BA)
c. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt đường tròn (B, BA) tại N. Chứng minh rằng M, N, A thẳng hàng.
Bài 5 :
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đường tròn ở E. Kẻ đường kính AOF.
a. Chứng minh tam giác BCEF là hình thang cân b. Chứng minh BAE = CAF
c. Gọi I là trung điểm của BC. chứng minh H, I, F thẳng hàng.