III- KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUYÊN QUA CÁC
2. Bài toán 2 (China South East Mathematical Olimpiad 2011)
Cho dóy thỏa món ủiều kiện: và
với mọi Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương số là một số chính phương.
Lời giải.
Hướng thứ nhất. Ta tớnh ủược
nên ta dự đốn , trong đĩ
Ta sẽ tìm tính chất của dãy . ðầu tiên ta thử dự đốn dãy là tuyến tính tức là
với mọi
Do ủú ta cú hệ sau:
⇔ ⇔ .
Từ ủú ta cú hướng giải như sau: Ta lập dóy ủược xỏc ủịnh như sau:
và với mọi Sau ủú ta sẽ chứng
minh với mọi
Cỏch 1. Từ dóy truy hồi của và ta ủược:
Khi ủú ta kiểm tra ủược ngay ủẳng thức với mọi Cỏch 2. Ta chứng minh bằng quy nạp ủẳng thức trờn. Thật vậy, từ cỏch xỏc ủịnh của dóy ta chỉ ra ủược:
(1) Theo công thức truy hồi của dãy và (1) ta có:
hay .
Do ủú với mọi
Hướng thứ hai. Từ cụng thức truy hồi của dóy ta tỡm ủược cụng thức tổng
quỏt: . Khi ủú ta chứng minh ủược:
Bài tập tương tự.
Bài 2.1 (Problem M1174, Kvant). Cho dóy số nguyờn ủược xỏc ủịnh bởi:
và với mọi
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , số là một số chính phương.
Bài 2.2. Cho dóy số ( )an xỏc ủịnh bởi a0 =0;a1=1 và
1 3 1
2 ( 1)
n an n n
a+ − +a−
= −
với mọi n nguyên dương. Chứng minh rằng an là số chính phương với mọi 0
n≥ .
3. Bài toán 3 (VMO 2011).
Cho dóy số nguyờn ( )an xỏc ủịnh bởi:
0 1, 1 1
a = a = − và an+2 =6an+1+5an với mọi n≥0. Chứng minh rằng a2012−2010 chia hết cho 2011.
Lời giải.
Hướng thứ nhất.
Xột phương trỡnh ủặc trưng của dóy số an+2 =6an+1+5an là:
2 6 5 0 3 14
x − x− = ⇔x= ± , ta thấy nghiệm này lẻ nên công thức của an sẽ phức tạp. Do bài toán chỉ yêu cầu chứng minh a2012 −2010 chia hết cho 2011 nên ta có thể thay dãy ( )an bởi dãy ( )bn sao cho an ≡bn(mod 2011 , n=0,1,2,...) ∀
Bây giờ ta sẽ chọn dãy ( )bn thỏa mãn: b0 =1,b1 = −1 và bn+2 =6bn+1+(5+k b) n với mọi n≥0 và k là số ta sẽ chọn sau. Khi ủú phương trỡnh ủặc trưng sẽ là:
2 6 5 0 ' 14
x − x− −k = ⇒ ∆ = +k, ủể ∆' là số chớnh phương ta sẽ chọn k =2011. Như vậy ta xõy dựng dóy ( )bn ủược xỏc ủịnh như sau: b0 =1,b1 = −1 và
2 6 1 2016
n n n
b+ = b+ + b với mọi n≥0.
Phương trỡnh ủặc trưng x2 −6x−2016 0= ⇔x=48;x= −42, khi ủú ( )
148n 2 42 n
bn =c +c − và kết hợp với b0 =1,b1 = −1 suy ra 4148 49( 42) 90 41.48 49. 42( )
90 90
n n
n n
n n
b = + − ⇔ b = + − (1) suy ra 90b2012 =41.482012+49.422012.
Do 2011 là số nguyờn tố nờn theo ủịnh lớ Fecma nhỏ ta cú:
( )
482011≡48 mod 2011 ,422011≡42 mod 2011( ) do vậy ta thu ủược:
( 2012 ) 2 2 ( ) ( ) 2012 ( )
90 b +1 ≡41.48 +49.42 +90 mod 2011 ≡0 mod 2011 ⇒b + ≡1 0 mod 2011
hay b2012−2010 chi hết cho 2011.
Từ cỏch xỏc ủịnh của dóy ( )an và ( )bn ta cú: an ≡bn(mod 2011 , n=0,1,2,...) ∀ Do ủú
2012 2010
a − chi hết cho 2011.
Hướng thứ hai.
Từ dãy truy hồi an+2 =6an+1+5an ta sẽ tìm công thức tổng quát cho an.
+) Phương trỡnh ủặc trưng của dóy trờn là: .
Khi ủú , sử dụng giả thiết
ta ủược:
(2) +) ðặt ta ủược:
Chú ý: ,
trong ủú: (3)
Và (4)
Dễ dàng chứng minh ủược: (5)
Ta có suy ra
với mọi . Do ủú theo (3) và (4) ta ủược:
và , từ ủõy
kết hợp với (5) ta thu ủược: (6)
Ta cú nờn theo ủịnh lớ Fecma nhỏ và (6) ta ủược:
hay ta ủược chia hết cho .
Nhận xột 2. Trong (1) nếu ta thay n=2011 ta ủược:
( )2011 ( ) ( )
2011
90b2011 =41.48 +49. 42− ≡41.48 49.42 mod 2011− ≡ −90 mod 2011 , suy ra b2011+1 2011M ⇒a2011+1 2011M . Từ ủú ta cú bài toỏn sau:
Bài 3.1 Cho dóy số nguyờn ( )an xỏc ủịnh bởi:
0 1, 1 1
a = a = − và an+2 =6an+1+5an với mọi n≥0. Chứng minh rằng a2011−2010 chia hết cho 2011.
Nhận xột 3. Nếu trong (1) thay n bởi số nguyờn tố p>5 ta ủược:
( ) ( ) ( )
90bp =41.48p+49. 42− p ≡41.48 49.42 mod− p ≡ −90 modp ⇒bp +1Mp. Từ ủú ta có bài toán sau:
Bài 3.2 Cho dóy số nguyờn ( )an xỏc ủịnh bởi:
0 1, 1 1
a = a = − và an+2 =6an+1+2016an với mọi n≥0.
Chứng minh ap +1 chia hết cho p, trong ủú p là một số nguyờn tố lớn hơn 5.
Nhận xột 4. Nếu trong (1) thay n bởi số p+1, trong ủú plà số nguyờn tố lớn hơn 5 ta ủược:
( ) ( ) ( )
( )
1 1 2 2
1
1 1
90 41.48 49. 42 41.48 49.42 mod 180900 mod
90 2010 2010
p p p
p p
b p p
b p b p
+ + +
+ +
= + − ≡ + ≡
⇒ − M ⇒ − M
Bài 3.3 Cho dóy số nguyờn ( )an xỏc ủịnh bởi:
0 1, 1 1
a = a = − và an+2 =6an+1+2016an với mọi n≥0.
Chứng minh rằng ap+1−2010 chia hết cho p, trong ủú p là một số nguyờn tố lớn hơn 5.
Nhận xột 5. Bõy giờ ta sẽ ủưa ra bài toỏn tổng quỏt cho bài toỏn 3. Trong cỏch chứng minh theo hướng thứ nhất bài toán 3 ta thấy số nguyên tố thỏa mãn
hay là số chính phương .
Do vậy trong bài toán 3 ta có thể thay số nguyên tố bằng số nguyên tố thỏa món là số chớnh phương . Khi ủú ta cú bài toỏn sau:
Bài 3.4 Cho dóy số nguyờn ( )an xỏc ủịnh bởi:
0 1, 1 1
a = a = − và an+2 =6an+1+5an với mọi n≥0.
Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho là số chính phương và chia hết cho .
Lời giải. Trước hết ta tìm tất cả các số nguyên tố sao cho là số chính
phương .
là số chính phương khi và chỉ khi hoặc .
TH1. . Khi ủú ta cú: từ
ủú xảy ra hai khả năng sau:
+) Nếu ( ) thì
hay ta ủược .
+) Nếu ( ) thì
hay ta ủược .
TH2. . Khi ủú ta cú: từ
ủú xảy ra hai khả năng sau:
+) Nếu ( ) thì
hay ta ủược .
+) Nếu ( ) thì
hay ta ủược , do nguyên tố nên ta loại trường hợp .
Vậy tất cả các số nguyên tố cần tìm có dạng:
.
Chỳ ý cỏc số nguyờn tố cú dạng trờn là tồn tại vỡ theo ủịnh lớ Dirichlet với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì tồn tại vô hạn các số nguyên tố
dạng .
Ta trở lại chứng minh bài 3.4.
Ta sẽ dựa theo hướng giải thứ nhất của bài toán 3. Do là số chính phương nên tồn tại số nguyên dương sao cho . Xét dãy số
( )bn ủược xỏc ủịnh như sau: b0 =1,b1 = −1 và bn+2 =6bn+1+(m2 −9)bn với mọi n≥0, dễ thấy là số thỏa món . Khi ủú phương trỡnh ủặc trưng của dóy là: x2−6x−m2+ =9 0⇔x= −3 m x; = +3 m suy ra bn =c1(3+m)2+c2(3−m)2 và kết hợp với b0 =1,b1 = −1 ta ủược:
( )( ) ( )( )
( )( ) 1 ( )( ) 1 ( )( )2 ( )( ) (2 )
1
2 4 3 4 3
2 4 3 4 3 4 3 4 3 mod
n n
n
p p
p
mb m m m m
mb+ m m + m m + m m m m p
= + + + − −
⇒ = + + + − − ≡ + + + − −
⇒ (1)
Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh ủược:
với mọi (2)
Mặt khác ta có: suy ra
Từ (1) và (2) ta ủược: .
Vậy tất cả các số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
. Nhận xét 6. Theo hướng chứng minh thứ hai của bài toán 3 ta có:
nờn theo ủịnh lớ nhỏ Fecma ta cú:
Do ủú số nguyờn tố thỏa món chia hết cho khi và chỉ khi chia hết cho hay là số chớnh phương . Do ủú ta thu ủược bài toán sau:
Bài 3.5 Cho dóy số nguyờn ( )an xỏc ủịnh bởi:
0 1, 1 1
a = a = − và an+2 =6an+1+5an với mọi n≥0. Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho chia hết cho . Lời giải.
Theo nhận xét 6 thì tất cả số nguyên tố sao cho chia hết cho là số nguyên tố thỏa mãn là số chính phương .
Ta có là số chính phương khi và chỉ khi hoặc .
TH1. . Khi ủú ta cú:
từ ủú xảy ra hai khả năng sau:
+) Nếu ( ) thì
hay ta ủược .
+) Nếu ( ) thì
hay ta ủược .
TH2. . Khi ủú ta cú:
từ ủú xảy ra hai khả năng sau:
+) Nếu ( ) thì
hay ta ủược .
+) Nếu ( ) thì
hay ta ủược , do nguyên tố nên ta loại trường hợp .
Vậy tất cả các số nguyên tố cần tìm có dạng:
Nhận xét 7. Theo hướng chứng minh thứ hai của bài toán 3 ta có
(1)
Và (2)
Ta có với mọi ta có nên từ (1) và (2) ta
ủược: và . Mặt khỏc ta cú
suy ra
Do ủú số nguyờn tố thỏa món chia hết cho khi và chỉ khi chia hết cho hay là số chớnh phương . Do ủú ta thu ủược bài toán sau:
Bài 3.6 Cho dóy số nguyờn ( )an xỏc ủịnh bởi:
0 1, 1 1
a = a = − và an+2 =6an+1+5an với mọi n≥0. Tìm tất cả các số nguyên tố p>5 sao cho chia hết cho .
Từ cách giải bài 3.5 ta suy ra lời giải của các bài toán sau:
Bài 3.7 Cho dóy số nguyờn ( )an xỏc ủịnh bởi:
0 1, 1 1
a = a = − và an+2 =6an+1+5an với mọi n≥0.
Tìm tất cả các số nguyên tố p>5 sao cho chia hết cho . Bài 3.8 Cho dóy số nguyờn ( )an xỏc ủịnh bởi:
0 1, 1 1
a = a = − và an+2 =6an+1+5an với mọi n≥0. Tìm tất cả các số nguyên tố p>5 sao cho chia hết cho .
Bây giờ ta tiếp tục suy nghĩ bài toán 3 xem nó phục thuộc vào giá trị ban ủầu như thế nào? Tại sao người ta lại lấy và ta cú thể tỡm ủược ủiều kiện của ủể kết quả bài toỏn khụng thay ủổi khụng? Sau khi nghiờn cứu vấn ủề này tụi ủó thu ủược bài toỏn sau:
Bài 3.9 Cho là cỏc số nguyờn cho trước. Dóy số nguyờn ủược xỏc ủịnh
và với mọi số tự nhiên .
Tìm tất cả các số nguyên sao cho chia hết cho . Lời giải.
Ta xõy dựng dóy ( )bn ủược xỏc ủịnh như sau: b0 =1,b1= −1 và
2 6 1 2016
n n n
b+ = b+ + b với mọi n≥0.
Phương trỡnh ủặc trưng x2 −6x−2016 0= ⇔ x=48;x = −42, khi ủú ( )
148n 2 42 n
bn =c +c − và kết hợp với b0 =a b, 1=b suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
42 48
48 42 90 42 .48 48 . 42
90 90
n n
n n
n n
a b a b
b + − b a b a b
= + − ⇔ = + + − − (1)
suy ra 90b2012=(42a b+ ).482012+(48a b− ).422012.
Do 2011 là số nguyờn tố nờn theo ủịnh lớ Fecma nhỏ ta cú:
( )
482011≡48 mod 2011 ,422011 ≡42 mod 2011( ) do vậy ta thu ủược:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 2
2012 2012
90 1 42 .48 48 .42 90 mod 2011 0 mod 2011
90 1 90 5 6 1 mod 2011
b a b a b
b a b
+ ≡ + + − + ≡
⇒ + ≡ + +
hay b2012−2010 chi hết cho 2011 khi và chỉ khi . Từ cỏch xỏc ủịnh của dóy ( )an và ( )bn ta cú: an ≡bn(mod 2011 , n=0,1,2,...) ∀ Do ủú
2012 2010
a − chi hết cho 2011 khi và chỉ khi . Từ
phương trỡnh ủồng dư này ta tỡm ủược ,
trong ủú là cỏc số nguyờn tựy ý.
Tương tự lời giải của cỏc bài toỏn trờn ta cú thể ủưa ra cỏc bài tập sau:
Bài 3.10 Cho là cỏc số nguyờn cho trước. Dóy số nguyờn ủược xỏc ủịnh như sau:
và với mọi số tự nhiên .
Tìm tất cả các số nguyên sao cho chia hết cho .
Bài 3.11 Cho là cỏc số nguyờn cho trước. Dóy số nguyờn ủược xỏc ủịnh như sau:
và với mọi số tự nhiên .
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn sao cho chia hết cho , trong ủú là một số nguyên tố sao cho là số chính phương .
Bài 3.12 Cho là cỏc số nguyờn cho trước. Dóy số nguyờn ủược xỏc ủịnh như sau:
và với mọi số tự nhiên .
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn sao cho chia hết cho , trong ủú là một số nguyên tố sao cho là số chính phương .
Bây giờ ta nghiên cứu bài toán theo hướng sau: thay giả thiết
với mọi số tự nhiên bởi với mọi
số tự nhiờn và , trong ủú là cỏc số nguyờn. Khi ủú ta sẽ tỡm ủiều kiện cho cỏc số sao cho chia hết cho hay tổng quỏt hơn ta tỡm ủiều kiện cho , trong ủú là số nguyờn tố lớn hơn 5 sao cho chia hết cho . Ta sẽ suy nghĩ theo hướng giải thứ nhất của bài toỏn 3 . Khi ủú ta cú bài toỏn sau:
Bài 3.13 Cho dóy số nguyờn ủược xỏc ủịnh như sau:
và với mọi số tự nhiờn ; trong ủú là các số nguyên cho trước.
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn sao cho chia hết cho ; trong ủú là số nguyên tố lớn hơn 5, thỏa mãn là số chính phương và không chia hết cho .
Lời giải.
Do là số chính phương nên tồn tại số nguyên dương sao cho . Xột dóy số ( )bn ủược xỏc ủịnh như sau:
và với mọi , dễ thấy là
số thỏa món . Khi ủú phương trỡnh ủặc trưng của dóy là:
, nờn ta ủược:
, kết hợp với ta thu ủược:
.
Do nên chia hết cho khi và chỉ khi
. Mặt khác bằng quy nạp dễ thấy , với mọi số tự nhiên . Vậy chia hết cho khi và chỉ khi
.
Bài 3.14 Cho dóy số ủược xỏc ủịnh như sau:
và với mọi
Chứng minh rằng chia hết cho .
Lời giải. Ta thấy phương trỡnh ủặc trưng vụ nghiệm nờn việc thực hiện theo hướng giải thứ 2 của bài toán 3 là rất phức tạp. Bây ta viết công
thức truy hồi của dãy dưới dạng nên ta xét
dóy xỏc ủịnh bởi . Từ ủú dễ thấy
nên .
Tương tự như cỏch suy luận của cỏc bài toỏn trờn ta hoàn toàn cú thể ủưa ra các bài toán tổng quát cho bài 3.14
ðể kết thỳc việc nghiờn cứu dạng bài toỏn 3, bạn ủọc cú thể dựa vào hướng giải thứ nhất của bài toỏn 3 ủể giải cỏc bài tập sau:
Bài 3.15 Dóy số nguyờn ủược xỏc ủịnh như sau:
và với mọi số tự
nhiên .
Chứng minh rằng chia hết cho .
Bài 3.16 Dóy số nguyờn ủược xỏc ủịnh như sau:
và với mọi số
tự nhiên .
Chứng minh rằng chia hết cho .
4. BÀI TOÁN 4 (IMO 2010). Tìm tất cả các dãy số nguyên dương thỏa mãn tính chất là số chính phương với mọi số nguyên dương
.
Lời giải. Trước hết ta chứng minh bổ ủề sau:
Bổ ủề. Nếu là một số nguyờn tố thỏa món thỡ . Chứng minh. Ta xét hai trường hợp sau:
TH1. suy ra , trong ủú là một số nguyờn. Chọn số ủủ lớn sao cho và khụng chia hết cho .
Lấy ta ủược
và không chia hết cho
Mặt khác và là các số chính phương nên:
suy ra .
TH2. và không chia hết cho .
Chọn sao cho và khụng chia hết cho . Khi ủú ta ủược:
và không chia hết cho .
Mặt khác và là các số chính phương nên:
suy ra .
Vậy bổ ủề ủược chứng minh.
Trở lại bài toỏn ta thấy nếu thỡ với số nguyờn tố ủủ lớn theo bổ ủề ta ủược , ủiều này chỉ xảy ra khi .
Cũng theo bổ ủề trờn dễ thấy với mọi số nguyờn dương . Từ
ủõy ta ủược hoặc .
+) Nếu hay . Do
(ta thấy
không xảy ra trường hợp vô lí).
Do ủú bằng quy nạp ta suy ra với mọi số nguyờn dương . Thử lại ta thấy thỏa mãn.
+) Nếu hay . Do
(ta thấy
không xảy ra trường hợp vô lí).
Do ủú bằng quy nạp ta suy ra với mọi số nguyờn dương . ðiều này khụng xảy ra vỡ với ủủ lớn thỡ vụ lớ. Vậy trường hợp này không xảy ra.
Vậy , với mọi nguyên dương và là một hằng số nguyên không âm.
Dựa theo bài toỏn 4 ta thu ủược bài toỏn sau:
Bài 4.1 Tìm tất cả các dãy số nguyên dương thỏa mãn tính chất là lập phương của một số nguyên dương với mọi số nguyên dương .
Lời giải.
Trước hết ta chứng minh bổ ủề sau:
Bổ ủề. Nếu là một số nguyờn tố thỏa món thỡ . Chứng minh. Ta xét hai trường hợp sau:
TH1. suy ra , trong ủú là một số nguyờn. Chọn cỏc
số ủủ lớn sao cho và khụng chia hết cho .
Lấy ta ủược
và không chia hết cho và không chia hết cho .
Do là lập phương của một số nguyên dương nên
. (1)
Mặt khác và không chia hết cho .
Theo giả thiết ta có là lập phương của một số
nguyên dương nên . (2)
Từ (1) và (2) ta ủược .
TH2. và khụng chia hết cho . ðặt , trong ủú
là số nguyên không chia hết cho .
Chọn cỏc số ủủ lớn sao cho và khụng chia
hết cho . Khi ủú lấy và . Khi ủú ta ủược:
và không chia hết cho . và không chia hết cho .
Do là lập phương của một số nguyên dương nên
. (3)
Mặt khác và không chia hết cho .
Theo giả thiết ta có là lập phương của một số nguyên
dương nên . (4)
Từ (3) và (4) ta ủược . Vậy bổ ủề ủược chứng minh.
Trở lại bài toỏn ta thấy nếu thỡ với số nguyờn tố ủủ lớn
Cũng theo bổ ủề trờn dễ thấy với mọi số nguyờn dương . Từ
ủõy ta ủược hoặc .
+) Nếu hay . Do
(ta thấy
không xảy ra trường hợp (vô lí).
Do ủú bằng quy nạp ta suy ra với mọi số nguyờn dương . Thử lại ta thấy thỏa mãn.
+) Nếu hay . Do
(ta thấy
không xảy ra trường hợp vô lí).
Do ủú bằng quy nạp ta suy ra với mọi số nguyờn dương . ðiều này khụng xảy ra vỡ với ủủ lớn thỡ vụ lớ. Vậy trường hợp này không xảy ra.
Vậy , với mọi nguyên dương và là một hằng số nguyên không âm.
Bài 4.2 (tổng quát của bài toán 4.1) . Tìm tất cả các dãy số nguyên dương
thỏa mãn tính chất là lũy thừa
bậc của một số nguyên dương với mọi số nguyên dương , trong ủú là số nguyờn dương lớn hơn cho trước.
Bây giờ ta sẽ tổng quát bài toán 4 (IMO 2010) theo hướng khác. Trong bài toán 4 ta thay giả thiết bằng là số chính phương với mọi số nguyờn dương ; trong ủú là một số nguyờn dương cho trước. Khi ủú ta phỏt biểu bài toỏn như sau:
Bài toán A. Cho là một số nguyên dương cho trước. Tìm tất cả các dãy số nguyên dương thỏa mãn tính chất là số chính phương với mọi số nguyên dương .
Trong quá trình tìm lời giải bài toán A, tôi nhận thấy là bài toán rất khó và cú thể khụng giải ủược trong trường hợp là số nguyờn dương bất kỡ. Tuy nhiờn khi ta xột trong một số trường hợp ủặt biệt ta sẽ giải ủược bài toỏn. Cỏc bài toỏn trong trường hợp là cỏc số ủặc biệt sẽ lần lượt xột ở dưới ủõy và chúng cũng là những bài toán rất khó.
Trước hết ta chứng minh cỏc bổ ủề sau:
Bổ ủề 1. Cho là hai số nguyờn tố khỏc nhau và là một số nguyờn dương cho trước. Khi ủú luụn tồn tại số nguyờn dương sao cho chia hết cho nhưng không chia hết cho .
Chứng minh.
Chọn suy ra tồn tại số nguyên
dương sao cho (1)
Chọn sao cho không chia hết cho . Lấy và kết hợp
với (1) ta ủược:
. Do ủú chia hết cho nhưng khụng chia hết cho . Từ ủú ta chọn ta ủược kết luận của bổ ủề.
Bổ ủề 2. Cho là hai số nguyờn tố khỏc nhau và là một số nguyờn dương cho trước. Khi ủú luụn tồn tại số nguyờn dương sao cho chia hết cho
nhưng không chia hết cho . Chứng minh. Theo ủịnh lớ Euler ta cú
Chọn suy ra tồn tại số
nguyên dương sao cho (2)
Chọn sao cho không chia hết cho . Lấy và kết hợp
với (2) ta ủược:
. Do ủú chia hết cho nhưng khụng chia hết cho . Từ ủú ta chọn ta ủược kết luận của bổ ủề.
Bổ ủề 3. Cho là hai số nguyờn tố khỏc nhau và là cỏc số nguyờn dương cho trước. Khi ủú luụn tồn tại số nguyờn dương sao cho chia hết cho
nhưng không chia hết cho . Chứng minh. Theo ủịnh lớ Euler ta cú
Chọn suy ra tồn tại số
nguyên dương sao cho (3)
Chọn sao cho không chia hết cho . Lấy và kết hợp
với (3) ta ủược:
. Do ủú chia hết cho nhưng khụng chia hết cho . Từ ủú ta chọn ta ủược kết luận của bổ ủề.
Bổ ủề 4. Cho và là một số nguyờn tố. Chứng minh rằng tồn tại hai số
nguyên dương sao cho không là số chính
phương.
Chứng minh.
Chọn sao cho khụng chia hết cho , trong ủú . ðặt và dễ thấy khụng chia hết cho . Từ ủú suy ra
. ðặt ta
ủược: .
Bõy giờ ta chọn . Khi ủú