Chúng ta đã làm quen với khái niệm compact trên trục số thực. Khái niệm này hoàn toàn có thể mở rộng cho không gian metric, tương tự như ta đã làm với tập mở, tập đóng,... Để tiện tra cứu, chúng ta nhắc lại:
Một họ các tập mở (trong một không gian metric) được gọi là phủ mở của một tập S nếu như hợp của chúng chứa toàn bộ S. Nếu có một họ con (trong họ các tập mở này) là phủ mở của S thì ta gọi nó là phủ con.
Trong giáo trình này ta chỉ xét phủ lập thành từ họ các tập mở, nên đôi khi ta nói gọn phủ thay cho phủ mở. Nếu họ gồm một số hữu hạn tập mở thì phủ được gọi là phủ hữu hạn.
Một tập S (trong không gian metric E) được gọi là compact nếu trong mỗi phủ của nó ta tìm được một phủ con hữu hạn.
Bản thân không gian E cũng được xem như một tập, nên khái niệm compact cũng có thể được áp dụng cho nó. Khi ấy, không gian metric E là compact nếu như từ mọi họ tập mở hợp thành nó ta tìm được một số hữu hạn các tập mở hợp thành nó.
Nhận xét. Trong thực tế việc kiểm tra tính compact bằng phủ mở như nêu trong định nghĩa là một công việc hết sức khó khăn. Thay vào đó người ta thường khai thác những đặc điểm cơ bản của tính compact và xem đó như các tiêu chuẩn để nhận biết nó.
1. Nguyên lý giao hữu hạn
Trong giáo trình Giải tích một biến chúng ta đã có nguyên lý giao của tập compact trong R. Bây giờ chúng ta sẽ mở rộng nguyên lý này trong không gian metric. Cho {Aα:α∈I} là họ bất kỳ những tập khác rỗng trong không gian metric E. Ta nói họ này có tính chất giao hữu hạn nếu với mọi bộ hữu hạn chỉ số α1,...,αk∈I ta có
=1
i ≠ ∅
k
i
Aα
∩ .
Bổ đề. Mỗi tập đóng trong một không gian metric compact là một tập compact.
Chứng minh. Lấy tập đóng S trong không gian compact E. Giả sử có một phủ của S là họ các tập mở{Vα,α∈K}, nghĩa là
K
S Vα
α∈
⊆ ∪ . Do C(S) (phần bù của S ) là một tập mở và rõ ràng họ {Vα,α∈K} kết hợp với tập C(S) sẽ lập thành một phủ của cả không gian E. Do tính compact của E nên ta tìm được một phủ con hữu hạn từ phủ này, nghĩa là tìm được một tập hữu hạn I⊂K sao cho ( )
∈
= i
i I
E ∪ ∪V C S . Từ đây ta suy ra
∈
⊂ i
i I
S ∪V , có nghĩa { ,V i Ii ∈ } là một phủ (hữu hạn) của S. Mệnh đề đã được chứng minh xong.
Định lý. Giả sử E là không gian metric compact và {Aα:α∈I} là họ những tập con đóng khác rỗng trong E có tính chất giao hữu hạn. Khi ấy họ này có điểm chung, tức là
∈
≠ ∅
I
Aα
α∩ .
Chứng minh. Đặt \Uα=E Aα. Vì Aα đóng nên Uα mở. Giả thiết phản chứng là
∈
=∅
I
Aα
α∩ . Khi ấy {Uα:α∈I} tạo thành phủ của E. Vì E là compact nên tồn tại phủ con hữu hạn Uα1,...,Uαk, tức là
=1
= k i
i
E ∪Uα , hay
=1
=∅
i k
i
Aα
∩ .
Đây là điều vô lý vì họ {Aα:α∈I} có tính chất giao hữu hạn. Định lý được chứng minh đầy đủ.
Hệ quả. Cho trước họ các tập compact khác rỗng lồng nhau S1⊇S2⊇.... Khi ấy
1
∞
= i≠ ∅
i
∩S .
Chứng minh. Hiển nhiên họ {S ii: =1,2,...} là một họ những tập đóng khác rỗng có tính chất giao hữu hạn trong không gian compact S1. Vì thế, theo định lý trên, giao của chúng khác rỗng. Đây chính là điều cần chứng minh.
2. Các tính chất cơ bản
Để khảo sát các tập compact ta cần một số khái niệm sau đây:
Điểm p trong không gian metric E được gọi là điểm tụ của tập S⊂Enếu mọi quả cầu có tâm tại p đều chứa vô hạn các phần tử của S.
Với ε > 0 và A là một tập con trong E, ta nói A là ε-lưới của E nếu với mọi x trong E tồn tại a∈A để d(a,x) < ε.
Tương tự như vậy ta định nghĩa được ε-lưới của một tập bất kỳ B⊆E. Tập B ⊆ E được gọi là hoàn toàn giới nội nếu B có ε-lưới hữu hạn với mỗi số dương ε.
Thí dụ. Trong R2 quả cầu tâm 0, bán kính 1 là tập hoàn toàn giới nội. Thật vậy, với ε > 0 bất kỳ, chọn số nguyênN 2
>ε. Dễ thấy tập hữu hạn
( )
{x yi, j : xi =Ni , yj =Nj , xi2+y2j≤1, ,i j=0,...,N}
tạo thành ε-lưới của quả cầu nói trên.
Chú ý. Nếu như tập B ⊆ E là hoàn toàn giới nội thì nó cũng là giới nội. Thật vậy, giả sử {x1,...,xn}⊆B là một ε-lưới (với ε > 0) của B. Lấy x0∈B và đặt
{ }
0 max ( , ) :0 i 1,...,
r = d x x i= n .
Vì B là hoàn toàn giới nội, với mọi x ∈ B tìm được chỉ số i để ( , )d x xi <ε. Do đó
0 0 0
( , ) ( , )i ( , )i
d x x ≤d x x +d x x ≤r +ε.
Như vậy B nằm trong quả cầu tâm x0 bán kính r0+ε, tức là B giới nội.
Thí dụ sau cho ta biết điều ngược lại của điều trong chú ý trên là không đúng.
Thí dụ. Xét không gian E các dãy số { }xn với tính chất 2
1 n n
x
∞
=
<∞
∑ . Khoảng cách
giữa hai dãy là
{ } { }
( ) ( )2
1
n , n n n
n
d x y x y
∞
=
= ∑ − .
Dễ kiểm tra rằng không gian E với khoảng cách trên là một không gian metric.
Chúng ta khẳng định rằng quả cầu đơn vị B trong không gian này không phải là hoàn toàn giới nội. Thật vậy, nhận xét rằng B chứa các điểm ak có các thành phần bằng 0 trừ thành phần thứ k bằng 1, k=1,2,... và ( , )d a ak l = 2 nếu k ≠ l. Vì thế, nếu lấy ε= 2 4 thì mọi ε-lưới của B phải là vô hạn (một điểm bất kỳ đã cách ak một khoảng nhỏ hơn ε thì không thể cách ,al với l≠k một khoảng nhỏ hơn ε được). Chứng tỏ B không có ε-lưới hữu hạn và do đó nó không phải là tập hoàn toàn giới nội.
Định lý. Cho E là một không gian metric. Những khẳng định sau là tương đương:
(i) E là compact ;
(ii) Mọi tập con vô hạn trong E có điểm tụ trong E;
(iii) Mọi dãy con trong E có dãy con hội tụ trong E;
(iv) E là đầy đủ và hoàn toàn giới nội.
Chứng minh.
(i)⇒(ii) Cho S là tập con vô hạn của E. Nếu S không có điểm tụ thì với mọi p E∈ tồn tại quả cầu tâm p chỉ chứa hữu hạn điểm của S. Những quả cầu này phủ E và theo tính compact, ta có thể trích một phủ con hữu hạn. Phủ con này chỉ chứa hữu hạn phần tử của S và do đó S chỉ có hữu hạn phần tử, điều này vô lý.
(ii)⇒ (iii) Giả sử { }pn là dãy trong E. Nếu tập {p nn: =1,2,...} chỉ có hữu hạn phần tử thì có ít nhất một điểm được lặp lại vô số lần. Chính những “phần tử lặp”
này tạo thành dãy con hội tụ (tới chính điểm ấy). Nếu tập trên vô hạn, theo ii), có điểm tụ p E∈ thì, theo định nghĩa điểm tụ, với mỗi k bất kỳ tìm được n(k) đểpn k( ) B p( , )1
∈ k . Cho k=1,2,... ta thu được dãy con {pn k( )} với tính chất
( ) 1
( , n k ) d p p
≤k. Vậy {pn k( )} hội tụ tới p và (iii) đúng.
(iii)⇒(iv) Trước hết ta chỉ ra rằng E là đầy đủ. Thật vậy cho trước dãy Cauchy bất kỳ. Theo (iii) tồn tại dãy con hội tụ. Theo tính chất dãy Cauchy bản thân dãy ban đầu hội tụ. Chứng tỏ E là đầy đủ. Hơn nữa, E là hoàn toàn giới nội, vì nếu ngược lại thì tồn tại ε>0 để không tìm được một ε−lưới hữu hạn trong E , tức là tồn tại vô hạn điểm x x1, ,...2 ∈E sao cho ( , )d x xi j ≥ε với mọi . i≠ j Dãy { }xn không thể có dãy con hội tụ, trái với tính chất iii).
(iv)⇒ (i) Bằng phản chứng, giả sử tồn tại phủ V={Vα:α∈I} mà không có phủ con hữu hạn. Khi ấy với mỗi số k≥1 ta tìm được ( )1k -lưới hữu hạn trongE x: 1k,...,xn kk( ). Với 1k= , tồn tại số n1 để quả cầu đóng B1 tâm x1n1 bán kính 1 không thể phủ bởi hữu hạn phần tử của phủ V. Vì B1 là compact ta tìm được quả cầu đóng B2⊆B1 tâm xn22 bán kính 1/2 mà không thể phủ bởi hữu hạn phần tử của V. Tiếp tục quá trình này ta có họ quả cầu compact Bk lồng nhau, bán kính dần tới 0. Theo nguyên lý giao hữu hạn, chúng có giao khác rỗng. Do bán kính dần tới 0 nên giao này chỉ gồm một điểm, thí dụp E∈ . Khi ấy tìm được chỉ số α0∈I đểp V∈ α0. Với k đủ lớn, rõ ràngBk⊆Vα0. Điều này mâu thuẫn với tính chất của
Bk là không thể phủ bởi hữu hạn phần tử của V. Định lý được chứng minh xong.
Áp dụng định lý trên ta có một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra tính compact trong không gian Rn.
Hệ quả. Một tập trong Rn là compact khi và chỉ khi tập đó là đóng và giới nội.
Chứng minh. Nếu E⊆Rn là compact thì theo định lý trên nó hoàn toàn giới nội, do đó E là giới nội. Ngoài ra, giả sử { }pk ⊆E hội tụ tới p∈Rn thì theo phần iii) của định lý, { }pk có giới hạnp E∈ . Sử dụng định lý về tính đóng ta kết luận E là tập đóng.
Ngược lại, giả thiết E⊆Rn là tập đóng, giới nội và { }pk là một dãy bất kỳ trong E. Gọi x1k,...,xnk là các tọa độ củapk. Khi ấy xik ≤ pk với mọi k, mọi i=1,...,n. Chứng tỏ { } { }x1k ,..., xnk là những dãy số giới nội, vì { pk } giới nội do E giới nội. Theo kết quả đã biết trong trường hợp không gian 1 chiều, ta trích dãy con
hội tụ { }x1k(1) của dãy{ }x1k , hội tụ tới x10 chẳng hạn. Tiếp theo, ta trích dãy con
{x1k(2)} của dãy con { } { }x2k(1) ⊆ x2k , hội tụ tới x20 chẳng hạn. Tiếp tục quá trình này cho tới n chúng ta thu được dãy con { } { }xik i( ) ⊆ xik hội tụ tớixi0, i=1,2,...,n. Khi ấy pk n( )=(x1k n( ),...,xnk n( )) tạo thành dãy con của { }pk hội tụ tới(x10,...,x0n).
Vì E đóng nên giới hạn này nằm trong E. Chứng tỏ { }pk có dãy con hội tụ trong E. Theo định lý, E là tập compact.
Thí dụ. Từ hệ quả trên ta nhận thấy ngay rằng quả cầu đóng và mặt cầu trong Rn là những tập compact.
Nếu Rn được trang bị metric tầm thường (khoảng cách giữa hai điểm khác nhau bất kỳ đều bằng 1) thì một tập là compact khi và chỉ khi nó hoặc là rỗng, hoặc gồm hữu hạn điểm.