2.3.1.1. Định nghĩa. Cho R là vành kết hợp với phần tử đơn vị 1, ử là tự đẳng cấu của vành R. Khi đó:
i. Mot iđờan trỏi(hoặc phải, hai phớa) I của Rđược gọi là ử- iđờan (hoặc phải, hai phía) nếu ở () = I.
ii. Một iđờan P của R được gọi là ử- iđờan nguyờn tố nếu Pz # với hai ở - iđờan
I, J cua R sao cho cP thi IcP hoac JcP.
iii. Mot idộan Q cua R được gọi là ử- iđờan nửa nguyờn tố nếu voi 6 - idộan I của R sao cho cP thì I<Q.
Ăv. Vành R được gọi là ử- nguyờn tố(hoặc ử- nửa nguyờn tố) nếu (0) là ử- idéan nguyén t6( 6 -iđêan nửa nguyên tố).
Chú ý. Mọi 5- iđêan nguyên tố của R là 5- iđêan nửa nguyên tố và mọi vành nguyờn tố(hoặc nửa nguyờn tố) là ử- nguyờn tố(hoặc ở - nửa nguyờn tố).
£ NAY , c ZZ), a ở
Vi du. (1). Cho Z là vành các số nguyên, R = ( 7) tập tất cả các ma trận tam
giỏc vuụng cấp hai trờn Zvà ổ:R->đ cho bởi of ằ -(Â a Cc
—b , V6i moi ae :
€
(Â 2) eR thi ổ là tự đẳng cấu của R và I= ( 9] là ứ- iđờan của R.
(2). Cho F là trường và R = F[x] là tập tất cả các đa thức trên trường F, ở:R—›R xác định bởi ở (f(x)) = f(-x), với mọi f(x) eR thì ở là tự đẳng cấu của R va xR 1a ở - nguyên tố của R.
(3). Cho Z.là vành các số nguyên và đặt R = ZXZ, 6:R—R xác định bởi 5 ((a; b)) = (b; a), với mọi (a; b) eR thì đlà tự đẳng cấu của R và I= Zx{0) khong 146 - iđêan của R vì 6 (I) = {0}xz #1
2.3.1.2. Định nghĩa. Cho R là vành với ở là tự đẳng cấu, I là ổ - iđêan của R và tự đồng cấu ở: R/I -› R/I được xác định bởi đ(a+ I) = ổ(a) + I, với mọi a + IeR/I. Khi đú, ứ được gọi là tự đẳng cấu của R/I.
2.3.1.3. Mệnh dộ. Gid sit R là vành với tự đẳng cấu ử và K, ù là cỏc iđờan của R
sao cho RơK S1. Khi đú, K là ử - iđờan của R khi và chỉ khi KII là ử -iđờan của
RII.
2.3.1.4. Mệnh đề. Giả sử R là vành với tự đẳng cấu 5va I la cdc idéan cia R.
Khi đú, I là ử -iđờan nửa nguyờn tố khi và chỉ khi RỊI là ử - nửa nguyờn tố.
Chứng minh: Điều kiờn cần. Giả sử T là ứ - iđờan nửa nguyờn tố của R. Nếu K/Ilà ổ- iđêan của R/I sao cho (K/I)’ = (0) là iđêan không của R/I thì K? = I.
Theo mệnh đề 2.3.1.3, K là ứ -iđờan của R. Vỡ I là đ- iđờan nửa nguyờn tố, K=l vỡ thế K/I = (0). Vậy R/I là ử vành nửa nguyờn tố.
Điều kiện đủ. Giả sử R/I là ứ vành nửa nguyờn tố. Nếu Q là ứ -iđờan của R sao cho Q’cI thi (0)= Q?/1 = (Q/DỶ. Vỡ R/I là ứ vành nửa nguyờn tố, Q/I = (0) nờn Q =1. Như vậy I là ở - iđêan nửa nguyên tố của R. Oo
2.3.2. Vành chuỗi luỹ thừa Laurent lệch
2.3.2.1. Định nghĩa. Vành chuỗi luỹ thừa lệch R[x; ở ] là tập tất cả các chuỗi luỹ thừa hình thức có dạng >_z„x' ẩn x, hệ tử trong R sao cho xa = ổ(a)x với mọi a
¡=0
thuộc R.
2.3.2.2. Định nghĩa. Vành chuỗi Laurent lệch là tập hợp tất cả các chuỗi luỹ thừa hình thức có dạng > a,x', với hữu hạn phần tử khác không và ký hiệu
R[x, x!; 6].
Vành thương nói trong định nghĩa (2.3.1.2) ta có: vành chuỗi Laurent léch (R/D[x, x”; ổ ] với phần tử giao hoán thoả man: xa = 6(a)x, V6i Va=a+/e R/I.
2.3.2.3. Mệnh đề. Giả sử R là vành với tự đẳng cấu ð và I là các iđêan của R.
Khi đó, với tự đẳng cấu & cua RII ta cé:
R[x, x'; 6 ]/I[x, x'; 6] =(RID[ x, x36]
Chứng mỡnh: Ta định nghĩa ứ: R[x, x'; ứ] —> (R/Đ[ x, x”;ð ]
fox) a ỉŒ@))= S'ứ(a)x với V f&x)= Yaxe RỊ[x,x”; ở].
Ta chứng minh 2 là đồng cấu vành.
Thật vậy, với V f(x) = Nay e R[x, x'; 6], g(x) => hy! e R[x, x's 6].
i=m j=m
Tacó: 6(f(x) + g(x)) = Yo(a +h) = Yaa +e),
= Yo(a)x'+Yo(b)x = of) + 2(g)) i=m i=m 8 (fx)g(x)) = O(Yex'), Vic = D ad, i=m i=k+j n
= Sela)e = (Sela)y Sela i=l n
= 0())0(g())
Vậy ứ đồng cấu vành.
Với y =ằứ(a)z =ọ3fx)= Ya,’ < k[+x,x, | sao cho ỉ(f(x)) = y, suy ra ỉ là toàn
i=m el
cau va Kero = {f(x) e RỊx, x"; ứ]/ >'2(a}x =(ứ))
i=m
= (fx) = Yar’ e RIx,x”; ð]/ Lola} =(0)}
ism
=I[x, x1; 5].
Vay R[x, x; 6 J/ILx, x's 6 ]=(R/DL x, x';6], theo định lý đồng cấu vành. 0 2.3.2.4. Mệnh dé. Cho vành R là vành với tự đẳng cấu . Khi đó, R là & nia nguyên tố khi và chỉ khi A = RỊ x,x'; 6] nửa nguyên tố.
Chứng minh: Điều kiện cần. Giả sử R là ứ- nửa nguyờn tố. Gọi J là iđiờn của A sao cho J? = (9) xét iđêan của R, J; là tập tất cả các hệ tử đầu tiên của f(x)
c J thỡ Jạ là ứ iđờan của R. Khi đú với nửa f e J, Đặt f(x) = a,x" +{terms of lower depreer } với a,e J và xétg =xfe J (hoặc h =x'fe J ). Ta có: g=
ử(a,)x"?" +{terms of lower degreer } hoặc h = ứ '(a,)x”! + {terms of lower degreer } và vỡ vậy đ(a,) e J (hoặc ứơ'(a,) e J) vỡ J” = (0) vỡ thế J, = (0), theo
giả thiết. Tiếp tục điều này, mọi hệ tử của f(x) bằng 0 với mọi f(x) e J. Do đó J=
(0) vậy nên A là nửa nguyên tố.
Điều kiện đủ. Giả sử A là nửa nguyờn tố. Cho I là ứ -iđờan khỏc khụng của R thỡ IA là ứ -iđờan khỏc khụng của A. Vỡ A nửa nguyờn tố, (A)” = A z (0) thỡ
Ứ z (0) vậy R là ứ- nửa nguyờn tố. Oo
2.3.3. Can nguyên tố của chuỗi Laurent lệch
2.3.3.1. Định nghĩa. ử -căn nguyờn tố(ở -nil căn) của R là giao của tất cảử- iđêan nguyên tố của R và ký hiệu Pở (R).
Chúng ta chỉ ra rằng căn nguyên tố của chuỗi Laurent lệch RỊx, x'; đ]
bằng Pứ(R) [x, x"; ứ].
2.3.3.2. Định lý. Giả sử R là vành với tự đẳng cấuử.. Khi đú, căn nguyờn tố của
R[x, x'; 5] bang P{R)[x, x'; 6] hay P(R[x,x'; 5]) = PAR)[x, x'; 6].
Chứng minh: Giả sử I= Pứ (R) thỡ [là 6 - iđờan nửa nguyờn tố nhỏ nhất của R và R/Ilà ứ- nửa nguyờn tố. Theo mệnh đề (2.3.2.3): do đú (R/D[x, x'; 6] 1a
ở -nửa nguyờn tố của R[x, x"; ứ ] theo mệnh đề (2.3.2.4), do đú ta cú I[x, x'; 6] > PRIX, x; 6)).
Ngược lại, ta chứng minh P(RỊx, x'; ứ]) c I[x, x"; 6]
Giả sử P là iđờan nguyờn tố của RỊx, x'; ứ] thỡ RơP làứ -iđờan nguyờn tố của Rvi RoP là ứ-iđờan nguyờn tố của R, I c RAP c P kộo theo I[x, x'; ứ]c P.
Vậy I[x, x!; ứ]c P(RỊx, x1; ứ]). oO
2.3.3.3. Nhận xét. Chúng ta sẽ có câu hỏi: với một vành tự đẳng cấu ở của nguyên tố của vành chuỗi luỹ thừa lệnh RỊx, ở ] là cái gì?
Chúng ta có thể có câu trả lời cho câu hỏi này. Chú ý rằng mệnh đề (2.3.2.3)
đỳng với vành chuỗi luỹ thừa lệnh R[x, ứ]và RỊx, 6] /I[x, 6] = (R/D[x, 6].
Nam 1974, AW Goodle và G.O. Michder đã chỉ ra vành Noether R; I- ở
idộan của R khi và chỉ khi ử[I] c I theo kết quả này, chỳng ta chỳ ý với vành Noether R thì mệnh đề(2.3.2.4) cũng đúng với vành chuỗi luỹ thừa lệnh RỊx, ở ] và R - ở nửa nguyên tốc A = R[x,ở ] nửa nguyên tố. Điều này dễ dàng suy ra từ
định lý (2.3.3.2). Ta có vành Noether R với tự đẳng cấu ở thì P(R[x : đ]) =
Ps(R)[x; đ].