ÁNH XẠ TRỰC GIAO VÀ KHÔNG GIAN UNITA
2.3. Một số bài tập minh họa
Bài 1. Chứng tỏ rằng không gian vectơ ¡ ` với
(9) =I, aa $Y + SL Ye tH + X7) +00) +5), + X/,] 1 Là không gian Ơclit. Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của nó.
Giải.
Nhận thấy cỏc điều kiện (Ă) và (ù) đối với tớch vụ hướng trờn. Ta lại cú:
(X,x) =X $x $4, +4 ,Xy +X, +X,X,
1 ơ —
= aL Outs +x,) +x +x + xy | 20
Dau bang xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
Vậy đây là tích vô hướng.
Để xây dựng một cơ sở trực chuẩn, ta sử dụng phương pháp Gram- Schmidt xuất phát từ cơ sở tự nhiên: e,„e,,e,.
Ta cú 0, =e,„u, = ở, — ứe,, trong đú a=(e,,u,)/(u,,u,)=1.
Do đó
u, =e, —e, =(-1,1,0) ; Ju,|=1
Tuong tu
u, =e, — Bu, — yu, trong do
8 =(e,,u,)/ (uu) =L y =(e,,u,)/ (1,0) =0.
Suy ra
u, =e, —e, =(-1,0,1); |u,| =1 Vay (1,0,0),(—1,1,0),(—1,0,1) 1a một cơ sở trực chuẩn.
Bài 2. Tìm điều kiện cần và đủ để không gian vec tơ £° với
(x,y) = ax, y, + Bx,y, +y,X,y, + „XU, + YX), là không gian Unita.
Giải.
Cho x= y=e,,e, ta cú œ,/ỉ là những số thực đương. Từ điều
kiện (x, y) =(y,x) ta suy ra y, =7,. Bay gid ta giả sử x =(w, + iw,,v, + iv, )
va y,=¢, +ic,.
Khi đó
(x,x) =a(u, +u,’)+ BW? +v,)+2¢,(uy, +u,v,) + 2c,(u,v, — u,v) Điều kiện cần và đủ để (x,x) > Okhi x #0 la dang toan phuong thực trên phải xỏc định dương và ứỉ —7,;, > 0.
Bài 3. Chứng mình rằng trong không gian Unita ta có l(x.>)| = |x| + |y| khi và chỉ khi x,y phụ thuộc tuyến tính.
Giải.
Điều kiện đủ dễ thấy. Ta chứng minh điều kiện cần . Với mọi ứ,€Ê ta cú:
0< (ax+ By,ax + By)
= (ax,ox) + (By, By) + (ax, By) + (By, ox)
= à(x,x) + Baly,x)+ ap (x,y) + BBly.y).
Bây giờ ta thay
ứ=(w.y)=|yẽeĂ, #==@„3)
Ta được
= 2|yf'(xy)Ooy)+ [yf (x)Qoy)2 0
x
iy y
2 x
(xy)(ay)= (ny) Sly (ar) s/f
Khi y =0bài toán được chứng minh. Khi y z0 ta suy ra bat đẳng thức
(œ.ằ)|<|xlli
Dau bang xay ra khi ax + By =0 Từ đó suy ra x, y phụ thuộc tuyến tính.
Bai 4. Cho hệ vectơ e,,e,...e, độc lập tyến tính trong không gian Oclit (hay Unita) E va hai hé vecto trực giao ƒ,. ƒ,... ƒ,;S,.8.›....8, không chứa vectơ 0, sao cho cac vecto f,,8, biéu dién tuyến tính qua @,,€,,...,€, 3k = 1,s.Chứng
minh rang f, =0,2,,4, #0, k=1,...,5
Giải. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo s.
Với s =1 hiển nhiên.
Giả sử bài toán đã cho đúng với s. Ta chứng minh đúng voi s+1.
Kí hiệu ƒ, là không gian con sinh bởi e,,e;....,e,.
Do /, /,... /, độc lập
tuyến tính và đều thuộc V, , nên nó cũng là cơ sở của V,.
Do đó e, biểu diễn tuyến tính được qua //../,... ƒ, SUy ra
. , x
đc = Fy E41 + ~ + ae, = FE + af, + wee + af, ? a, 4 0
Tương tự,
Bou = Bue, stl s4+1 +b f +...+ bf, b,,, #0 bi Trong đó b/ /b,,, xac dinh duy nhất. Từ đó suy ra Foy =o Sous
Bài 5. Không gian con V của ¡ ` được cho bởi hệ phương trình 2x,+x,+3x,—x,=0
3x,+2x, —2x,=0 3x, +x, +9x, —x,=0 Tìm hệ phương trình xác định V*.
Giải. Theo bài ra, nếu ta tìm được một cơ sở của không gian nghiệm, thì các vectơ của cơ sở đó sẽ là các vectơ hệ số của hệ phương trình cần tìm.
Chắng hạn ta được hệ:
* —9x,-—x,=0 x, +x,=0
Bài 6. Cho e,e,,....e, là một hệ trực chuẩn của không gian Oclit (hay unita) E. Chứng mình bắt đăng thức Bessel: với mọi ve E ta có.
|(o,e, ƒ +...+|(v,e, )
Giải.Xét không gian con hữu han chiều /£ sinh bởi e,.c;,...,c„ n Và v. Ta ˆ<|p 2
mở rộng hệ đã cho thành một cơ sở trực chuẩn e,.e;,..,c„ cua V, trong do m m=n hoặc m=n+l. Khi đó, nếu v=z,e+..+z„e„, thì về trái bằng
|z,Ÿ +...+|œ,|`, còn về phải là la,|Ÿ +...+|œ„|.
Bài 7. Hai cơ sở e,,e,....e, và ƒ,,ƒ,....ƒ, của một không gian Oclit (hay unita) được gọi là liên hợp với nhau, nếu.
1 néui=/
&.⁄)=b nếu ¿ # j
Chứng mình rằng với mỗi cơ sở cho trước có thể tìm được một và chỉ một cơ sở liên họp.
Giải. Với mỗi ¡, kí hiệu E,là không gian con sinh bởi e,,....e, ¡„€;,...€, - Khi đó dim E¿ =1. Do đó E; =K/,(K=¡ hoặc £ ), trong đó ƒ›; #0. Hơn nữa (fe) #0. Bay gid chi viéc chon f, =f'i(fie;)
Bai 8. Chitng minh rang trong khéng gian Oclit cdc ham lién tục C|_- z.z]
các hàm số.
1 1 1. 1 1.
——,—cos x,— sin x,...,—cosnx,—sin X,...
2a 1 z a a
lập thành hệ trực chuẩn.
Giải. Tính tích phân, ta được:
T . sin” nx 2
Joos mxsin nxdx = „=0
<n 2n
tk .
Joos nx sin nxdx = ; J[sin@ +m)x—sin(m—n)x]dx = 0,n # m,
-" —
fsin nx sin mxdx = Jlsos(n— m)x —cos(m+n)x]dx =0,n #m,
x “a
1 2
Joos nx cos mxdx = 7 Jlsos(n— m)x + cos(m + n)x]dk = 0,n # m,
- —
z
Jain * nxdx =
-_ -
[l—cos2nx]dx = z,
Rie NI ằ—Aa àa—`
z
Joos” nxdx =
—z =A
[1+ cos 2nx]dx = z,
a
Bài 9. Chứng mình rằng trong không gian Iˆ[01] các hàm khả tích bình
1
phương (tức là gồm cdc ham f(x) voi jŒG)4 hội tụ ) với tích vô hướng
0
1
(ƒ.g)= Í70)s0)4r,các hàm s6 Rademacher r„(x) = sign(sin”""" a)'n = 0.1...
0
lập thành hệ trực chuẩn.
Giải. Vỡ (r„(x))? =1 với mọi ứ nờn z„ là cỏc vectơ định chuẩn. Kớ hiệu a =( k k Je n..2" 1
2n+1 2n+l Khi do:
1, néuxedA’, m=0,1,...,2"-1 2m r(x)=4 -1, néuxeA’,.,m=0,1,...,2”-1
2m+1?
x k an
0, néu 4 = Sark = 041,...2 -1
Với m>n trong mỗi khoảng A”, độ đài 1/2"''chứa một số chẵn 2”” đoạn n+l
A", độ đài 1/2”". Điều đó có nghĩa là trên khoảng đó, khi z„(x) không thay đổi, thì z„(x) nhận giá trị 7 tại số khoảng đúng bằng số khoảng nó nhận giá m tri -/. Do do.
fru or, dr =0.
0