Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
IV. TIẾN TRÌNH TIẾT HỌC
Câu hỏi1.Em hãy nêu một dạng phương trình đương thẳng mà em đã biết.
Câu hỏi2 . Cho đường thẳng y = ax + b .Hãy cho biết hệ số góc của đường thẳng này Câu hỏi 3. Đường thẳng này sau đây song song với đường thẳng y = 2x +3.
(a) y = -2x +1; (b) y = 1
2x+1; (c) x -2y -12 = 0 ; (d) y = 3.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh TG 1.Vectơ chỉ phương của đường thẳng
HĐ1. Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng ∆ là đồ thị của hàm soá
a) Tìm tung độ của hai điểm M0 và M nằm trên ∆, có hoành độ lần lượt là 2 và 6.
b) Cho vectô ur =( ; ).2 1
Hãy chứng tỏ M Muuuuuur0
cùng phương với ur . GV: Nêu vấn đề để HS thực hiện tốt các thao tác trong hoạt động này .GV treo hình 3.2 lên bảng để thực hiện các thao tác .
Mục đích của hoạt động 1 là nhằm xây dựng khái niệm vectơ chỉ phương và đường thẳng theo hai bước :
Bước 1 . Từ phương trình bậc nhất y = 1
2x quen thuộc HS xác định được toạ độ của hai điểm M0 và M trên đồ thị của hàm số y
= 1 2x.
Bước 2. Để chứng tỏ M Muuuuuur0
cùng phương với vectơ ur=( ; )2 1 có thể thực hiện như sau:
+ Tính toạ độ M Muuuuuur0 =( ; )4 2
; + Ta có M Muuuuuur0
= 2ur
vậy hai vectơ M Muuuuuur0 và ur
cuứng phửụng.
Câu hỏi 1
Để tìm tung độ của một điểm khi biết biết hoành độ của nó và phương trình của đường thẳng ta cần làm những gì?
Câu hỏi 2
Hãy tìm tung độ của M và M0 .
Câu hỏi 3
Hai vectơ cùng khi nào?
GV : Đường thẳng ∆và vectơ ur
như trên, ta nói ur
là vectơ chỉ phửụng cuỷa ∆.
Sau đó GV cho HS tự phát biểu định nghĩa, từ đó nêu định nghĩa trong SGK.
ẹũnh nghúa : Vectụ ur
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thaúng ∆ neáu ur r≠0
và giá của ur
song song hoặc trùng với ∆.
Hs theo dõi gv phân tích và ghi cheùp
Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Ta chỉ thay hoành độ voà phương trình của đường thẳng . Gợi ý trả lời câu hỏi 2
Tung độ M là : 1 2.2 1. y= = Tung độ M0là : 1
2.6 3 y= = Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Hai vectụ cuứng phửụng khi vectơ này bằng t lần vectơ kia . Gợi ý trả lời câu hỏi 4
Ta có
0 ( ; )4 2 2 2 1.( ; ) 2
M M = = = u
uuuuuur r
20’
Sau khi nêu ra định nghĩa , GV nêu ra nhận xét trong SGK:
Nhận xét - Neáu ur
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì kur 0
(k≠ ) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ .Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương .
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vetơ chỉ phương của đường thẳng đó.
GV : cho HS làm các câu hỏi trắc nghiệm sau, nhằm củng cố, khắc sâu khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng . Hãy chọn kết quả đúng trong các bài tập sau đây 1. cho đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là ur =( ; ).2 0
Veùctô nào trong các véctơ sau đây là vectơ chỉ phương của ∆.
(a) uuur' ( ; )= 0 0
; (b) hr=( ; );3 0 (c) vr=( ; );2 1
(d) vur' ( ; )= 0 1 Đáp chọn (b), vì 3
hr= 2ur .
2.Cho đường thẳng có phương trình : y = 3x – 2 và điểm M(1;1) .Các điểm N có toạ độ sau đây, điểm nào mà MNuuuur
là vectụ chổ phửụng cuỷa ∆'.
(a) N1( ; )0 0 ; (b) N2( ; );1 2 (c) N3( ; );2 4 (d) N4( ;− −1 2).
Đáp chọn (c) N3 thuộc ∆, các điểm còn lạikhông còn thuộc
∆.
2. Phương trình tham số của đường thẳng a) ẹũnh nghúa
Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y0( ; )0 0
và nhận ur=( ; )u u1 2
làm véctơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x;y) bất kì trong mặt phẳng, ta có M Muuuuuur0 = −(x x y y0; − 0).
Khi đó M∈ ⇔∆ M Muuuuuur0
cùng phương với ur⇔M Muuuuuur0 =tur
0 1
0 2
x x tu y y tu
− =
⇔ − =
0 1
0 2
1 x x tu ( ) y y tu
= +
⇔ = +
Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆, trong đó t là tham số .
Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thaúng ∆.
GV:có thể đưa ra những nhận xét sau :
- Khi biết hai điểm thuộc đường thẳng ta luôn có những phương trình tham số của đường thẳng đó , vì ta có thể xác định được véctơ chỉ phương chính là vectơ có hai điểm đầu và cuối là hai điểm trên, và đi qua một điểm trên.
- Ta có thể viết được phương trình tham số của đường thẳng khi biết nó đi qua một điểm và song song với một đường thẳng nào đó.
Sau đó chỉ HS thực hiện hđ 2
Hs theo dõi gv phân tích và ghi cheùp
20’
Hđ 2 . Hãy tìm một điểm có toạ độ xác định và một xectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số .
5 6 2 8
x t
y t
= −
= +
Mục đích của hoạt động này là tạo cho HS có kĩ năng xác định một điểm thuộc đường thẳng và véctơ chỉ phương của đường thẳng đó hki biết phương trình đường thẳng.
Câu hỏi 1:Hãy chọn một điểm thuộc đường thẳng trên.
Câu hỏi 2:Hãy chọn một điểm khác điểm trên và nêu lên cách chọn .
Câu hỏi 3:Hãy xác định một véctơ chỉ phương của đường thẳng treân
Câu hỏi 4:Hãy xác định một véctơ khác là véc tơ chỉ phương của đường thẳng trên .
b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số
0 1
0 2
x x tu y y tu
= +
= +
Nếu u1≠0 thì từ phương trình tham số của ∆ ta có
0 1
0 2
t x x u y y tu
= −
− =
suy ra 0 2 0
1
( ).
y y u x x
− = u −
Đặt k = 2
1
u
u ta được y y− 0 =k x x( − 0).
Gọi A là giao điểm của ∆ với trục hoành, Av là tia thuộc ∆ ở về mặt phẳng toạ độ chứa tia oy .Đặt α =xAvã , ta thấy k = tanα . Số k chính là hệ số gcó của đường thẳng ∆ mà ta đã biết ở lớp 9 Như vậy nếu đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương ur =( ; )u u1 2
với
1 0
u ≠ thì ∆ có hệ số góc k 2
1
u
= u .
Hđ 3 .Tính hệ số của đường thẳng d có vectơ chỉ phương là 1 3
( ; ) ur = −
Câu hỏi 1:Tính hệ số góc của đường thẳng d có véctơ chỉ phương là
1 3 ( ; ).
ur = −
Câu hỏi 2: Tính hệ số góc của đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
0 1 ( ; ) ur =
.
Câu hỏi 3:Tính hệ số góc của đường thẳng d có véctơ chỉ phương là
1 0 ( ; ) ur = −
Ví dụ . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(2;3) và B(3;1) .Tính hệ số gcó của d .
Giải
Gợi ý trả lời câu hỏi 1 : (5;2) Gợi ý trả lời câu hỏi 2: (-1;10) cho t =1
Gợi ý trả lời câu hỏi 3: (-6;8) Gợi ý trả lời câu hỏi 4: (-3:4).
Gợi ý trả lời câu hỏi 1:K = - 3.
Gợi ý trả lời câu hỏi 2:Không tồn tại
Gợi ý trả lời câu hỏi 3: K = 0 Hs theo dõi gv phân tích làm ví duù
Vì d đi qua A và B nên d có vectơ chỉ phương uuurAB= −( ;1 2) Phương trình tham số của d là 2
3 2
x t
y t
= +
= −
Hệ số góc của d là k = 2
1
2 2
1 u u
= − = −
3. véctơ pháp tuyến của đường thẳng
HĐ 4 :cho đường thẳng ∆ có phương trình 5 2 4 3
x t
y t
= − +
= +
và veùctô nr =( ;3 2− ).
.Hãy chứng tỏ nr
vuông gcó với véctơ chỉ phửụng cuỷa ∆.
Hoạt động 4 chuẩn bị cho việc đưa ra khái niệm véctơ pháp tuyến của đường thẳng dựa vào vectơ chỉ phương .
Câu hỏi :Hãy xác định vectơ chỉ phương của ∆ Câu hỏi 2:Hãy chứng minh nr
vuông góc với ur. Câu hỏi 3:Vectơ tnr
có vuông góc với ur
hay khoâng ?
Sau khi làm xong thao tác này, giáo viên có nhận xét véctơ nr như trên gọi là véc tơ pháp tuyến của phương trình đường thẳng
∆.
Giáo viên đưa ra định nghĩa sau đây:
ẹũnh nghúa: Veựctụ nr
được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thaúng ∆ neáu nr r≠0
và nr
vuông góc với véc tơ chỉ phương của ∆ Nhận xét:
+ Nếu ∆ có véctơ pháp tuyến nr
(a;b) thì nó có một véctơ chỉ phương là ur
((b;-a) hoặc ur (-b;a) + Neáu nr
là một VTPT của đường thẳng d thì k. nr
(k≠0) cũng là một VTPT của d
+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng ∆ đi qua điểm
0( ; )0 0
M x y và nhận n a br( ; )
làm vectơ pháp tuyến.
Với mỗi điểm M (x ; y ) bất kì thuộc mặt phẳng , ta có :
0 ( 0; 0).
M M = −x x y y− uuuuuur
Khi đó : M(x ; y ) ∈ ⇔ ⊥∆ nr M Muuuuuur0
0 0
0 0
0 0 0
( ) ( )
( )
a x x b y y ax by ax by ax by c
⇔ − + − =
⇔ + + − − =
⇔ + + = Với c= −ax0−by0. a) ẹũnh nghúa
Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét . Nếu đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì
∆ có vectơ pháp tuyến là nr
= (a;b) và có vectơ chỉ phương là
Gợi ý trả lời câu hỏi 1:ur( ; )2 3 Gợi ý trả lời câu hỏi 2:
2 3 3 2 0
. . .
n u= − = r r
Gợi ý trả lời câu hỏi 3:
Có vì t n u. .r r=0 .
Hs theo dõi và ghi chép
Hs theo dõi gv phân tích và ghi cheùp
Gợi ý trả lời câu hỏi 1
20’
20’
( ; ).
ur = −b a
HĐ 5 . Hãy chứng minh nhận xét trên . Câu hỏi 1:Để chứng minh n a br( ; )
là vectơ pháp tuyến của ∆, ta cần chứng minh như thế nào .
Câu hỏi 2: Hãy chọn hai điểm M và N thuộc ∆ và chứng minh nr vuông góc với MNuuuur
.
Câu hỏi 3: Để chứng minh u b ar( ; )−
là vectơ chỉ phương của ∆ ta chứng minh biểu thức nào?
Câu hỏi 4:Hãy chứng minh n ur r. =0
b) Ví dụ .Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(2;2) và B ( 4;3).
Giải : Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B nên có vectơ chỉ phương là uuurAB=( ; )2 1
.
Từ đó suy ra ∆ có vectơ pháp tuyến là nr = −( ; )1 2
.Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là :
(-1) . (x -2) + 2(y-2) = 0 hay x – 2y - +2 = 0.
* Các trường hợp đặc biệt
cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (1) + Nếu a = 0 phương trình (1) trở thành by +c = 0 hay y = c
−b . Khi đó đường thẳng ∆ vuông góc với trục Oy tại điểm 0; c
b
−
÷
. + Nếu b = 0 phương trình (1) trở thành ax + c = 0 hay c.
x= −a
Khi đó đường thẳng ∆ vuông góc với trục ox tại điểm c;0 a
−
÷
Nếu c = 0 phương trình (1) trở thành ax + by + c = 0 . Khi đó đường thẳng ∆ đi qua góc toạ độ O .
Nếu a,b,c đều khác o ta có thể đưa phương trình (1) về dạng
0 0
1 2( ) x y
a +b = với 0 c, 0 c
a b
a b
= − = −
PT (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này lần lượt cắt Ox, Oy tại M(a0;0) và N(0;b0) Ví dụ: Trong mp Oxy, hãy vẽ các đường thẳng có PT sau đây:d1: x-2y = 0; d2 : x = 2; d3 : y + 1 = 0; d4 :
8 4 1 x+ =y
Ta chứng minh ur
vuông góc với mọi MNuuuur
, Trong đó M và N bất kì thuộc ∆.
Gợi ý trả lời câu hỏi 2
0 0
( ; c); ( c; )
M N
b a
− − , ta có
; . MN c c
a b
= − ÷ uuuur
Ta thaáy ngay 0
. n MN = r uuuur
Gợi ý trả lời câu hỏi 3 0
. n u= r r
Gợi ý trả lời câu hỏi 4 HS tự làm .
Hs suy nghĩ làm ví dụ
Hs theo dõi và ghi chép
Hs theo dõi và ghi chép
20’
14’
20’
Hs suy nghĩ làm ví dụ theo gợi mở của gv
Hs theo dõi gv phân tích và ghi cheùp
20’
Củng cố :(3 phút) Củng cố các kiến thức đã học về phương trình đường thẳng .