Trong mục trước (mục 2.2) luận văn đã giới thiệu phương pháp đánh giá chất lƣợng hệ thống trong kênh có nhiễu cộng Gauss sử dụng điều chế số MQAM. Tuy vậy khi kênh có fading thì ngoài tác động của nhiễu cộng Gauss, còn có fading tác dụng làm cho xác suất lỗi tăng lên ứng với một giá trị tỷ số tín hiệu trên nhiễu cho trước và lúc đó cách tính xác suất lỗi cũng có nhiều điểm khác biệt.
Sau đây luận văn sẽ giới thiệu cách tính xác suất lỗi thông dụng đã đƣợc nhiều tác giả sử dụng [3].
Ký hiệu A là một mẫu tín hiệu lớn hơn một mức nào đó. Lúc đó xác suất thu sai ký hiệu sẽ là:
P(symbol error) = P(symbol error | A) P(A) + P(symbol error| 𝐴 ) P(𝐴 ) (2.33) Giả sử xác suất nhiễu của mẫu ký hiệu trong khoảng thời gian T là và khoảng thời gian dành cho mẫu ký hiệu là ngắn hơn so với khoảng ký hiệu OFDM.
Phổ của tín hiệu OFDM có dạng gần giống hình chữ nhật nếu tăng số sóng mang.
Người ta [4] cũng chỉ ra rằng có phân bố Poisson:
= 𝑓0
3𝑒−
2
2 (2.34)
ở đây f0 = Nf đối với tín hiệu băng gốc.
Vậy giá trị trung bình độ rộng mẫu tín hiệu là:
𝜏 = 2 1
𝜋𝑚2 =21𝑓
0 3
𝜋 (2.35)
Chúng ta sử dụng mô hình tuyến tính để chỉ ra ảnh hưởng của méo mẫu tín hiệu đã phát đi. Giả sử tín hiệu có dạng x(t) + CM(t), trong đó thành phần CM(t) là thành phần tín hiệu trên mức . Trong mức đó, theo [8] thì CM(t) tương quan với x(t). Sử dụng phương pháp Gram-Schmidt để tách sự tương quan giữa tín hiệu và thành phần méo và thành phần méo mới bây giờ là
𝐶𝑀(𝑡) −𝐸 𝐶𝑀𝑥 𝑡 𝐸 𝑥 𝑡 2 𝑥(𝑡)
Như vậy tín hiệu và các thành phần méo mới bây giờ sẽ không tương quan. Tuy vậy, công suất của thành phần thứ hai có thể bỏ qua so với thành phần thứ nhất. Giả sử một hệ thống không nhớ thực hiện một ánh xạ f(.) giữa đầu vào x(t) và đầu ra y(t),
x(t) y(t) và đƣợc biểu diễn bằng quan hệ:
y(t) = hx(t) + CM(t) (2.36) Đối với tín hiệu OFDM, thì biến đổi Fourier của các mẫu tín hiệu sẽ là:
g() = 2𝜋 2𝑚22 𝜏
𝜔2 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝜔𝜏
2 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝜏
2 (2.37)
Hình 2.21 biểu thị g().
Toàn phân bố xác suất của là
f() = (2m2)2 exp − 2𝜋𝑚2𝜏 2
8 (2.38)
Ảnh hưởng của thành phần nhiễu đối với mỗi mẫu là:
𝑔−∞∞ 𝜏 𝜔 2𝑠𝑖𝑛𝑐2 𝜔 − 𝜔𝑘 𝑑𝜔 (2.39)
Hình 2.21 – Đáp ứng tần số của mẫu tín hiệu[3]
f(.)
Giả thiết << T – độ rộng ký hiệu OFDM; << T/N; N là số sóng mang con trong OFDM.
Để tính xác suất lỗi của một mẫu ký hiệu, trước hết chúng ta tính ảnh hưởng của một mẫu đến mỗi kênh con.
Ảnh hưởng của một mẫu ký hiệu trong khoảng xuất hiện tại thời điểm t0 đối với kênh con thứ k là:
Fk = 1
𝑁 𝑁−1𝑛=0𝑓𝑛𝑒−𝑗2𝜋𝑛𝑘 /𝑁 (2.40) ở đây fn là các mẫu của một xung P(t), 1
𝑁 hệ số bảo tồn năng lƣợng [4]
P(t) = (-22m2t2 + 22m2t +1) (2.41a) fn = P(n𝑁𝑇 − 𝑡0) (2.41b) Thay biến đổi Fourier rời rạc bằng đánh giá:
xn = 1∆ (2.42) ở đây = 𝑁1 và
Fk = 𝑁𝑇 1
𝑁 𝑡𝑡0− 𝜏/2𝑃 𝑡 − 𝑡0
0− 𝜏/2 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡 /𝑇𝑑𝑡 (2.43) Thay biến u = t – t0 thì (2.43) có dạng:
Fk = 𝑁𝑇 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡0/𝑇 − 𝜏/2 𝜏/2 𝑃 𝑢 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑢 /𝑇𝑑𝑢 (2.44) Fk = 𝑁𝑇 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡0/𝑇𝑔𝜏 2𝜋𝑘𝑇 (2.45) ở đây g() là phổ của xung cho bởi (2.37). Vậy:
Fk = 𝑁𝑇𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡0/𝑇𝑚2 𝜏
𝑘2 𝑠𝑖𝑛𝑐𝜋𝑘𝜏
𝑇 − 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑘𝜏
𝑇 (2.46) Lấy xấp xỉ:
sinc(x) – cos(x) 𝑥32 cho x << 1 (2.47) Với k bé, đáp ứng của một mẫu ký hiệu trong khoảng , trong mỗi sóng mang con sẽ là:
Fk = 3𝑇𝜋2 𝑁𝑚2𝜏3𝑒𝑗𝜃 (2.48a) ở đây có phân bố đều trong [0, 2], ta có phân bố Rayleigh:
P() = 2(m2)2𝑒− 𝜋𝑚 2 2𝜏2 (2.48b) Như vậy ta có thể viết (2.48a) dưới dạng:
Fk = r ej (2.49)
Tìm hàm phân bố xác suất của r:
Pr[r > R] = Pr 𝜏 > 𝜋23𝑅𝑇
𝑁𝑚2
1/3 (2.50) Sử dụng phân bố ở (2.48b).
Pr[r > R] = exp − 3𝑅𝑇
𝜋2 𝑁𝑚2
2/3𝜋22𝑚2
= exp − 𝑁9𝑅2𝑇2𝜋24𝑚2 1/3 (2.51) Thay:
m2 = 3𝑇𝑁22 , (2.52) Pr[r > R] = exp{-[3R2 2 N 4]1/3 } (2.53)
Nếu biến đổi mặt phẳng phức bằng ánh xạ aej a1/3ej, thì công thức (2.53) là phân bố Rayleigh trong mặt phẳng biến đổi đó. Do đó phần thực hoặc ảo của Fk có phân bố chuẩn:
Pr[r cos > x] = Q 𝑥1/3
𝜎 (2.54) Ở đây
Q(x) = 1
2𝜋 𝑒𝑥∞ −𝑢2/2𝑑𝑢 và 𝜎 = 24𝑁𝜋2 −1/3 (2.55)
Chúng ta giả thiết các sóng mang con mang một chùm sao không có M2 điểm.
Mỗi thành phần có M mức, có khoảng cách nhƣ nhau và cách nhau 2d. Công suất của một thành phần là 2𝑁1. Để dễ tính, chúng ta chuẩn hóa tổng công suất bằng 1. Vậy:
d = 2𝑁(𝑀32− 1) (2.56) Vậy xác suất của một sóng mang:
𝑃𝑏′ =2(𝑀 − 1)
𝑀 𝑄 𝑑1/3 𝜎
= 2(𝑀−1)𝑀 𝑄 𝑀6𝜋2−12 1/3 (2.57) Xác suất lỗi bit gắn với xác suất xuất hiện bit. Nếu xác suất xuất hiện bit là:
Pb = 2T = 2 𝑚2𝑇𝑒−2/2 (2.58) Thì xác suất lỗi bit là:
𝑃𝑏 =4 3(𝑀−1)
𝑀 𝑁𝑒−𝛾2/2𝑄 6𝜋𝛾2
𝑀2−1
1/3 (2.59)
Hình 2.22 – Kết quả tính xác suất lỗi[3]
Nhận xét:
1- Phương pháp nói ở trên [3] là phương pháp đã sử dụng khá thông dụng trong các tài liệu khi tính toán hiệu năng của các hệ thống OFDM với dạng điều chế MQAM, còn tính riêng cho hệ thống DPSK [5].
2- Nhược điểm của phương pháp trên là phải đặt nhiều giả thiết phụ, khá phức tạp trong tính toán.
3- Việc mở rộng phương pháp tính xác suất lỗi này cho các trường hợp fading khác là không khả thi vì đã ràng buộc bởi phân bố Rayliegh (2.48b).
4- Hạn chế cho trường hợp MQAM
Để góp phần giải quyết một số khó khăn trên, dưới đây luận văn đưa ra giải pháp tính toán khác mà tư tưởng của nó là:
- Chấp thuận cách tính và kết quả tính xác suất lỗi thu được đối với các trường hợp điều chế khác nhau trong môi trường nhiễu cộng Gauss. Vì bản chất của thu sai là vectơ tín hiệu đƣợc tổng gồm tín hiệu có ích và nhiễu làm cho nó vƣợt ra ngoài vùng quyết định. Ở đây luận văn sẽ coi nhiễu không chỉ có nhiễu cộng mà còn có can nhiễu giữa các kí hiệu do fading gây ra. Các loại nhiễu đó tổng cộng dưới dạng vectơ và nếu cộng với vectơ tín hiệu hữu ích làm cho chúng vƣợt ra khỏi vùng quyết định thì đều là gây lỗi. Xét dưới dạng công suất thì sự biến dạng của fading làm cho tỷ số tín hiệu trên nhiễu ở đầu thu sẽ biến đổi ngẫu nhiên theo quy luật của fading tác dụng vào tín hiệu.
Xác suất lỗi
M = 2
- Với quan niệm đó thì xác suất lỗi sẽ có dạng nhƣ xác suất lỗi trong kênh nhiễu cộng Gauss là hàm của , nhƣng lại là biến ngẫu nhiên có phân bố bất kỳ.
- Với là biến ngẫu nhiên nên ta sẽ tính đƣợc xác suất lỗi trung bình nếu biết hàm phân bố xác suất của , nghĩa là có phân bố xác suất của fading và không bị giới hạn chỉ đúng với một dạng điều chế MQAM nhƣ[ 4] hoặc đúng với DPSK, QPSK[5].
Sau đây luận văn xin trình bày giải pháp đó.