Hình học, như đã nói trong bài 27, đã bị xiềng xích vào tiên đề của Euclid cho đến khi Lobachevsky và Bolyai, trong 1829 và 1832, đã giải phóng nó khỏi sự lệ thuộc bằng cách thiết lập một môn hình học mới trong đó tiên đề Euclid không được công nhận. Với sự thành tựu này, một xác quyết ăn sâu đến hàng chục thế kỷ cho rằng chỉ tồn tại một môn hình học đã bị lung lay, và con đường đã được mở cho sự sáng tạo ra những môn hình học mới khác lạ.
Một câu chuyện tương tự cũng có thể kể về đại số. Các nhà toán học ở đầu thế kỷ 19 không thể quan niệm rằng có thể tồn tại một môn đại số khác với môn đại số mang tính số học. Chẳng hạn, nếu gặp một môn đại số mà trong đó tính giao hoán của phép nhân bị vi phạm, chắc chắn không ai có thể chấp nhận điều này và sẽ cho đó là khôi hài và sẽ loại bỏ nó ngay. Cảm giác đó đã được William Rowan Hamilton gặp phải khi trong năm 1843, ông bắt buộc, do những nhận định vật lí, sáng tạo ra môn đại số trong đó tính giao hoán của phép nhân không còn đúng nữa. Bước cực đoan là chấp nhận loại bỏ tính giao hoán không đến dễ dàng với Hamilton; nó chỉ dần hé mở với ông sau nhiều năm suy tư về một vấn đề đặc biệt.
Hãy xem động lực vật lý nằm đàng sau sự sáng tạo của Hamilton. Cách tiếp cận tốt nhất có lẽ là xét cách định nghĩa số phức của ông, một định nghĩa đẹp đẽ, xem số phức là một cặp số thực mà ông trình bày lần đâu tiên trước Viện Hàn Lâm Hoàng Gia Ái Nhĩ Lan. Đối với những nhà toán học cùng thời, cũng như đối với các học sinh cấp 3 ngày nay, số phức được định nghĩa như những số có dạng a + bi trong đó a, b là các số thực và i là số mà i2 = - 1, và các phép tính cộng, nhân, lũy thừa những số này được thực hiện như đối với các đa thức, rồi thay i2 = - 1. Từ đó, ta được các kết quả sau:
(a + bi)(c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Còn Hamilton định nghĩa số phức là cặp (a , b) các số thực và định nghĩa phép cộng, phép nhân:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc) (a, b) = (c, d) <=> a = c và b = d.
Dễ dàng với các định nghĩa này ta có thể chứng minh tập hợp các số phức tạo thành một trường trong đó số (0, 0) là phần tử zero và số (1, 0) là phần tử đơn vị của phép nhân.
Hệ thống số phức là công cụ tiện lợi trong việc nghiên cứu vectơ và phép quay trong mặt phẳng . Hamilton thử chế tạo một hệ thống tương tự để nghiên cứu vectơ và phép quay trong không gian. Qua nghiên cứu, ông thấy cần định nghĩa một bộ tứ (a, b, c, d) chứa trong đó tập hợp R và C các số thực và phức, được định nghĩa như sau:
• (a, b, c, d) = (e, f, g, h) <=> a = e, b = f, c = g, d = h
• (a, b, c, d) + (e, f, g, h) = (a + e, b + f, c + g, d + h)
• (a, b, c, d) (e, f, g, h) = (ae – bf – cg – dh, af + be + ch – dg, ag + ce + df – bh, ah + bg + de – cf) Ta có thể chứng minh rằng với định nghĩa này, nếu coi số thực m là (m, 0, 0, 0) và số phức (a, b) là (a, b, 0, 0) thì các phép tính đối với số thực và số phức đều được bảo toàn trong tập hợp mới này. Ta cũng chứng minh được phép cộng các bộ tứ có tính giao hoán và kết hợp, phép nhân các bộ tứ kết hợp và có tính
www.hoctoancapba.com.vn Page 92 phân phối đối với phép cộng. Nhưng tính giao hoán của phép nhân thì không còn đúng nữa.
Ví dụ: (0, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 1) trong khi:
(0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, - 1).
Sau nhiều năm suy tư không có kết quả, cuối cùng Hamilton chịu chấp nhận tính không giao hoán của phép nhân trong một buổi đi dạo dọc theo con sông trong một chiều hoàng hôn cùng với vợ. Đây là MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TÓAN HỌC .
Trước khi khép lại bài này, chúng ta hãy tìm hiểu một đại số không giao hoán khác – đại số ma trận- sáng tạo bởi nhà toán học người Anh Arthur Cayley (1821-1895) vào năm 1857. Khái niệm ma trận đến với ông khi ông khảo sát các phép biên đổi tuyến tính thuộc dạng:
trong đó a, b, c, d là các số thực, (x ,y) là toạ độ của điểm M và (x’, y’) là toạ độ của M’, ảnh điểm M. Phép biến đổi trên được xác định bởi 4 hệ số a, b, c và d, do đó phép biến đổi coi như tượng trưng bởi bảng số:
gọi là ma trận cấp 2. Nếu ta thực hiện tiếp phép biến đổi cho điểm M’ để được ảnh M’’ cho bởi:
⎩⎨
⎧
+
= +
=
dy cx y
by ax x
' '
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ d c
b a
⎩⎨
⎧
hy' + gx'
= ' y'
fy' + ex'
= ' x'
thế thì ta có, bằng phép tính đại số :
⎩⎨
⎧
hd)y + (gb + hc)x + (ga
= ' y'
fd)y + (eb + fc)x + (ea
= ' x'
Từ đó ta có định nghĩa sau về tích của hai ma trận:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
+ +
+
= +
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎥⎡
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
hd gb hc ga
fd eb fc ea d
c b a h g
f e
Phép cộng được định nghĩa bởi:
Từ đó có thể chứng minh phép cộng có tính giao hoán, kết hợp và phép nhân có tính kết hợp và phân phối đối với phép cộng. Nhưng phép nhân không có tính giao hoán, như có thể thấy trong ví dụ sau:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
+ +
+
= +
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣ +⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
h d g c
f b e a h g
f e d c
b a
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎥⎡
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1
trong khi ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎥⎡
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
0 0
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0
www.hoctoancapba.com.vn Page 93 Người ta còn “chế tạo” thêm các đại số trong đó phép nhân không có tính kết hợp nhưng có tính giao hoán, và phép nhân không giao hoán lẫn không kết hợp.
Điều ngạc nhiên là bộ tứ của Hamilton một thời được chào đón như là một công cụ của các nhà vật lý tương lai, đã dần trở nên không gì khác hơn là một mẫu đồ cổ trong bảo tàng của toán sử, bởi vì nó đã được thay thế bởi một giải tích vectơ tinh tế hơn của nhà vật lý học và toán học Mỹ Josiah Willard Gibbs (1839-1903) của Đại học Yale. Trái lại, ma trận của Cayley đã phát triển và ngày nay trở thành một công cụ quan trọng và hữu dụng trong toán học. Tiếng tăm của bộ tứ nằm ở chỗ nó đã phá vỡ rào cản của đại số truyền thống, nghiễm nhiên khiến sự sáng tạo này là MỘT THỜI KHẮC TRỌNG ĐẠI CỦA TÓAN HỌC .