BIÊN NGẪU NHIÊN NHIÊU CHIÊU
4.2. Các định lý giới hạn
1. Các định lý giới hạn Moa-vrơ - Láp-la-xơ
Sử dụng kết quả (4.3) dễ dàng suy ra định lý giới hạn địa phuVíng Moa-vrơ - Láp-la-xơ (xem (3.13) chương I)
Pn[k) ) k - np
npq \ ẹ { x ) = 2 .
72 (4.4)
và định lý giới hạn tích phân (xem (3.14) chương I, (4.18) chưđng II)
Pn h ) - > i = 1^2, (4.5)
^npq
^ X X
1 r — r
ệ { x ) - .e dt = ( pụ) dt.
^2^ 0 0
Công thức xấp xỉ (4.5) sẽ khá tốt khi np > ỗ hoặc nq > 5. Nếu p càng gần 0,5 đồ thị của phân phốỉ nhị thức càng rất gần chuẩn.
2. Định lý giới hạn trung tâm
Lin-đơ-bớc - Lê-vi đã mở rộng định lý giới hạn Moa-vrơ - Láp-la-xơ từ nảm 1922 và kết quả đó mang tên định lý giới
hạn trung tăm: giả sử {X,,} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với EX^ = m và vx„ = Vn, khi đó
ơ n
Ý nghĩa của định lý giới hạn trung tâm là khi có nhiều nhân tô" ngẫu nhiên tác động (sao cho không có nhân tô" nào vượt trội lấn át các nhân tố khác) thì kết quả của chúng có dạng phân phối tiệm cận chuẩn.
Thí dụ 4.1. Một quả đậu có trọng lượng trung bình là 15 gam với độ lệch chuẩn là 3 gam. Một túi gồm 100 quả đậu cùng loại đưỢc gọi là đạt loại A nếu trọng lưỢng ít nhất phải đạt 1,5 kg.
a) Lấy ra ngẫu nhiên một túi, tìm xác suất để túi đó đạt loại A.
b) Chọn ngẫu nhiên ra 40 túi đậu, tìm xác suất để sô" túi loại A không vượt quá 15.
Giải. Gọi Xị - trọng lượng quả đậu thứ i trong túi (ỉ = 1,100), rõ ràng trọng lượng của túi là Sioo = + X2 + ... + Xioo và theo định lý giới hạn trung tâm (4.6) >
oVịES^,ơ^ Ị.Dễ thấy ỏ đây ESioo = 100.15 gam = 1,5 kg, VSioo = ơ ị = 100.3^ = 900gam^ Từ đó có thể coi Sioo có phân phối xấp xỉ chuẩn.
Sioo ~ ^ ( 1 . 5 ; 0,9).
a) Rõ ràng do Sioo có phân phối chuẩn nên P(Sioo ^ ESiũo - 1.5 kg) = 0,5.
b) Chọn hú họa ra 40 túi và gọi p = 0,5 là xác suất để một túi đạt loại A, suy ra số túi loại A trong loạt túi 40 túi đó, ký hiệu là X, tuân theo luật nhị thức ^ (4 0 ; 0,5). Từ đó ta cần phải tính P{X < 15) = P4o(0; 15). ở đây np = 40.0,5 = 20 > 5, ta áp dụng công thức (4.5)
P , o { 0 ; i 5 ) ^ ệ
= ệ
15 ~ np yỊrm
- ệ
vVÕj 1>/ĨÕ - ệ -2 0
0 - n p sỊnpq
= ệ { 2 y ỉ ĩữ ) - ệ n/ĨÕ
ô <i>(6,32) - (ý(l,58) = 0,5 - 0,443 = 0,017.
4.3. Luật sô lớn•
Một lóp các định lý giới hạn đặc biệt có tên gọi là luật s ố lớn. Đe ý là trong các kết quả sau này ta sử dụng khái niệm hội tụ theo xác suất (mạnh hơn (4.4) - (4.6) dùng hội tụ theo luật phân phổi).
1. Bất đẳng thức Trê-bư-sép
Đ ịn h lý 1. Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng EX = a và phương sai v x = (ỷ hữu hạn thì;
(4.7) Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho trường hỢp biến X liên tục. Việc chứng minh cho trường hỢp X ròi rạc dành cho bạn đọc.
Đặt flx) là hàm mật độ của X, theo tính chất củạ hàm mật độ p ( x - a ^ - f{x)dx.
x-a >e
x-a \íe
Trong miển lấy .tích phân dễ thấy [ x - a Ỷ ^ nên:
'fị^x)dx < \ [ x - . a Ỵ f [ x ) d x
< -^ ị ^ x - à f f [ x ) d x = ^ (đpcm).
£ ị £
Bất đẳng thức (4.7) có thể chuyển về dạng tương đương
2
p ( x - a >0. (4.8)
Mặc dù (4.7) - (4.8) được chứng minh khá đơn giản, song chúng có ý nghĩa rất to lốn để dùng làm cơ sở cho các ứng dụng của thống kê. Để ý nếu chọn e khá bé, chẳng hạn e < ơ, bất đẳng thức Trê-bư-sép trở nên tầm thường; nếu chọn £ = 3 ơ t a có p ( | z - a | <3£-) > 1 - — * 0,9 (ít nhất bằng 0,9, ở chương II ta đó biết nếu X ~ oi^ịa; jth ỡ xỏc suất trờn ằ 0,9973).
2. Luật s ố lớn Trê-bư-sép
Đ ịn h lý 2. Nếu dãy các biến ngẫu nhiên Xị, ...
độc lập có kỳ vọng hữu hạn và phương sai bị chặn đều (tức là VXị < c Vỉ), khi đó với mọi £•> 0
lim p
V
1 ĩì 1 n l ± x . - l ± E X ,
j=l i=l
< e = 1. (4.9)
Chứng minh. Đặt X - từ đó EX = ~Ỳ^EX^ hữu hạn;
n n
Từ đó áp dụng (4.8) cho biến ngẫu nhiên X
X - E X < e (4.10)
e ne
Do xác suất không vượt quá 1, nên khi chuyển qua giối hạn n-^oo ta có kết quả cần chứng minh (4.9).
Để ý đến (4.2) và (4.9), rõ ràng l ỷ x . _ - ^ i ỷ í ; x , .
y, ^ í n-^Qo „ í
^ i=l i=l
Điều đó có nghĩa là khi n đủ lớn thì trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên sẽ có giá trị lệch rất ít so với trung bình cộng của các kỳ vọng. Một hệ quả quan trọng của định lý 2 là nếu đưa thêm giả thiết là các ỉ = 1, 2, ... có cùng vọng sô” (tức là EXi ~ a, i = 1, 2, ...) thì (4.9) sẽ trở thành
< £ n—>oc
Sự kiện này cho phép ta ước lượng kỳ vọng bằng trung bình cộng các kết quả đo đạc độc lập của biến ngẫu nhiên có kỳ vọng đó. Ngoài ra công thức (4.10) cung cấp một đánh giá khá tốt xác suất p ị X - EX < f ), nhất là khi n đủ lón.
^ /
3. Luật sốlớn Béc-nu-li
Đ ịn h lý 3. Nếu ta có dãy n phép thử độc lập Béc-nu-li, với p = P(A) và m là số lần xuất hiện A trong dãy phép thử đó, thì
V£-> 0
lim P
n-¥<x>
/ m \
p < €
V n )
= 1. (4.11)
Việc chứng minh (4.11) không quá phức tạp vì nó là trường hợp riêng của (4.9), nếu ta ký hiệu Xị là số lần xuất hiện A trong phép thử thứ i, i = l,n . Rõ ràngXi tuân theo luật Béc-nu-li và
EXị = p , VXị ^ p (l - p)< 1, m =
i=l
các điều kiện của định lý 2 đã được thỏa mãn và ta suy ra ngay (4.11). Kết quả này cho ta:
m n
xs
n-^oo
đó chính là cơ sở cho định nghĩa thốhg kê của xác suất đã đưa ra ở chương I.
Như vậy tổng của một số khá lớn các biến ngẫu nhiên tưđng đối tùy ý lại trở nên tuân theo một số quy luật xác định.
Điều này cho phép chúng ta ứng dụng rộng rãi các kết quả của xác suất và thống kê vào nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và đòi sống.
BÀI TẬP
1. Cho biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phôi như sau
X
V y\ 3^2
Xi 0,18 0„08
x-ỉ 0,22 0,16
ỉ ^3 ,, 0,16 0,20
Ngưòi ta tiến hành 3 thí nghiệm với xác suất thành công của mỗi iần là 0,7. Tìm luật phân phôi đồng thòi của cập biến X, y với X là số thí nghiệm thành công, còn Y là sô' thất bại.
Luật phân phốỉ của biến (X, Y) cho bởi bảng
X 20 40 60
10 Ẫ À 0
20 2Ẵ Ẳ Ắ
30 3Ả Ả Ắ
Xác định Ẳ và các phân phối biên của X và của y.
Luật phân phối đồng thời của số lỗi vẽ màu X và sô' lỗi đúc Y của một loại sản phẩm nhựa ở một công ty cho bởi
X 0 1 2
0 0,58 0,10 0,06
1 0,06 0,05 0,05
2 0,02 0,04 0,0]
3 0,02 0,01 0,00
Hai biến X wầ Y độc lập không? Tính xác suất để tổng sô"
các lỗi vẽ màu và lỗi đúc lớn hơn 4. Nếu ta biết trên sản phẩm có 2 lỗi vẽ màu thì xác suất để không có lỗi đúc bằng bao nhiêu?
5. Cho luật phân phôi của biến hai chiều (X, Y) như sau:
X 2 3 5
1 0,1 0 0,1
4 0,2 0,5 0,1
Tìm luật phân phôi xác suất của hàm X + y và X Y sau đó
tính các kỳ vọng và phương sai.