CHƯƠNG II: MÔ HÌNH CRAMER LUNDBERG
I. Bài toán “Thiệt hại” đối với một công ty bảo hiểm và Mô hình Cramer – Lundberg (Cramer – Lundberg Model)
I. Bài toán “Thiệt hại” đối với một công ty bảo hiểm và Mô hình Cramer – Lundberg (Cramer – Lundberg Model):
1) Thuật ngữ:
Thuật ngữ tài chính tiếng Anh “Claim” có nghĩa là một quyền, một quyền đòi hỏi, một yêu cầu về một phương diện nào đó trong tài chính. Chẳng hạn như:
• quyền đối với tài sản ký thác ở ngân hàng
• quyền giữ vật thế chấp của người chủ tín dụng
• quyền đòi chi trả
• quyền sở hữu tài sản
• Quyền chọn (Option) từ các tài sản cơ sở trong một thị trường tài chính.
Trong ngành bảo hiểm thì “Claim” có nghĩa là quyền đòi hỏi chi trả hay quyền đòi bồi thường.
Còn “Claim size” là số tiền đòi trả hay số tiền bồi thường bảo hiểm.
2) Định nghĩa bài toán “Thiệt hại” đối với một công ty bảo hiểm:
Hãy tưởng tượng một công ty bảo hiểm phát hành một loại giấy chứng từ bảo hiểm về một vấn đề tài chính nào đó. Khách hàng là những người mua chứng từ đó.
• Công ty bảo hiểm với số vốn ban đầu là: u .
• Công ty thu được của khách hàng số tiền mua bảo hiểm với tốc độ là: c.
Tại mỗi thời điểm t
• Công ty phải trả một số tiền tổng cộng là S t ( ) cho các khách hàng có nhu cầu đòi tiền bảo hiểm hay S t ( ) còn được gọi là số tiền bồi thường bảo hiểm.
• Số tiền của công ty tính đến thời điểm t :
t ( ).
U u ct S t
• Và Ut 0 thì công ty mới có lãi.
• Nếu Ut 0 thì có sự cố “thiệt hại”.
3) Mô hình Camer – Lundber:
Thông thường đối với mô hình bài toán thiệt hại người ta có những giả thiết sau đây:
(a) Đối với quá trình số tiền đòi trả (Claim size process).
Các số tiền đòi trả xk k là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng hàm phân phối chung là F ; kỳ vọng hữu hạn chung là m E ( ) x1 và phương sai chung là s2 Var ( ) x1 .
(b) Thời điểm của các yêu cầu đòi trả (Claim time).
Các yêu cầu đòi trả xảy ra tại các thời điểm ngẫu nhiên
0 0, , ,...1 2
T T T sao cho:
1 2
0 T T ... hầu chắc chắn.
(c) Các quá trình yêu cầu đến:
Số các yêu cầu đến N t ( ) trong khoảng thời gian [0, ] t được định nghĩa bởi:
( ) sup 1 : n , 0.
N t n T t t
Trong đó ta quy ước sup 0.
(d) Khoảng cách thời gian giữa hai yêu cầu liên tiếp : Các biến ngẫu nhiên:
1 1, 2 2 1,..., k k k 1, 1,2, 3,....
Y T Y T T Y T T k
(I.3.1) Được giả thiết là độc lập cùng phân phối mũ với kỳ vọng hữu hạn
chung là :EY1 1
l.
(e) Các dãy biến ngẫu nhiên ( ) xk và ( ) Yk được giả thiết là độc lập với nhau.
Với các giả thiết từ (a) → (e) ta có một mô hình.
Đó là Mô hình Cramer – Lundberg (Cramer – Lundberg Model).
Nếu ta thay điều kiện (d) bởi điều kiện (d’) sau đây:
(d’) Khoảng cách thời gian giữa hai yêu cầu liên tiếp:
Các biến ngẫu nhiên:
Y1 T Y1, 2 T2 T1,..., Yk Tk Tk1, k 1,2, 3,....
(I.3.1’)
Được giả thiết là độc lập cùng phân phối, với kỳ vọng hữu hạn chung là:
1 l.
Thì ta có một mô hình khác đó là : Mô hình đổi mới (Renewal Model).
4) Chú ý:
a) Một hệ quả của định nghĩa trên là N t ( ) là một quá trình Poisson thuần nhất với cường độ l 0. Do đó:
( ) ( ) , 0,1,2,...
!
t t k
P N t k e k
k
l l
b) Mô hình đổi mới (Renewal Model) thật ra là một sự mở rộng nhẹ của mô hình Cramer – Lundberg đối với quá trình đếm đổi mới. Quá trình đếm đổi mới thì tổng quát hơn quá trình Poisson để mô tả các yêu cầu đến c) Quá trình chi trả tổng cộng S t ( ) t0 được định nghĩa bởi:
( )
1
( ) 0 ( )
0 ( ) 0
N t i i
khi N t S t
khi N t x
(I.4.1)
Thực tế S t ( ) chính là tổng cộng số tiền mà công ty bảo hiểm phải thanh toán lại cho khách hàng tính đến thời điểm t.
d) Phân phối xác suất của S t ( ): ( )
S t là một quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa bởi (I.4.1) . Với những giả thiết đã nêu trong các điều kiện từ (a) → (e) , ta có thể thấy rằng hàm phân phối xác suất G xt( ) của S t ( ) được cho bởi:
t Ut
u
O t
Hình 1: Sự thể hiện của quá trình rủi ro Hình 1: Sự thể hiện của quá trình rủi ro
*
0
( ) ( ) ( ) ( ), 0, 0
!
t n n
t n
G x P S t x e t F x x t
n
l l
(I.4.2) Trong đó *
1
( ) n
n
i i
F x P x x
là tích chập n- lần của các hàm phân phối chung F của các biến ngẫu nhiên xi.
Ta quy ước rằng tích chập 0 - lần của một hàm phân phối tổng quát H
được cho bởi:
0* 1 0
( ) 0 0
khi x
H x khi x
e) Quá trình rủi ro:
Quá trình rủi ro (Risk process) là một quá trình ngẫu nhiên
U t t ( ), 0 xác định bởi:
U t ( ) u ct S t ( ) (I.4.3)
Trong đó:
u: Là số vốn ban đầu của công ty bảo hiểm.
c: Là phí suất bảo hiểm , tức là số tiền mà khách hàng phải đóng cho công ty trong một đơn vị thời gian.
S t ( ): Là số tiền mà công ty bảo hiểm phải chi trả cho khách hàng tính đến thời điểm t, được định nghĩa bởi (I.4.1).