Trong lý thuyết nhóm, một nhóm Abel là chia được khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp của các trường số hữu tỉ và các nhóm tựa cyclic. Mục đích của ta trong
phần này là mở rộng tính chất này cho module trên miền Dedekind. Cụ thể ta có định lý sau
2.6.1. Định lý. (Cấu trúc của module chia được) Cho M là D-module chia được.
Khi đó M là tổng trực tiếp của các module tựa cyclic của D và các module con đẳng cấu với trường các thương Q D của D.
Ta cần hai bổ đề sau để chứng minh định lý 2.6.1.
2.6.2. Bổ đề. Cho D là miền Dedekind và P là ideal nguyên tố của D. Khi đó, tồn tại đẳng cấu D-module D P D PDP P.
Trong đó D PDP Px Q D P DP x PDP.
có cấp là lũy thừa của
Chứng minh. Vì D được xem như là vành con của DP (do có đơn cấu tự nhiên D DP) nên trường các thương Q D của D cũng là trường các thương của DP, tức là Q D Q D P . Từ đó, theo mệnh đề 2.1.5 và bổ đề 1.5.1, ta có
D module ,
P
D P Q D D
D moduleP P D moduleP
P P
P
Q D Q D Q D
D D D
Mặt khác, do
P
Q D
D là DP-module xoắn nên theo mệnh đề 2.1.10, ta có
P Q P .
Q D D D Q
nguyeân toá
Tuy nhiên, vì DP chỉ có một ideal nguyên tố duy nhất là PDP nên
P D moduleP P P .
Q D D D PD
Từ đó, ta cũng có đẳng cấu D-module tương ứng Q D DP D PDP P.
Vậy D P D PDP P. ■ 2.6.3. Bổ đề. Cho R là miền ideal chính, P là ideal nguyên tố của R. Nếu M là
R-module P-nguyên sơ chia được thì M đẳng cấu với tổng trực tiếp của các R- module tựa cyclic kiểu P.
Chứng minh. Vì R là miền ideal chính nên P p là ideal tối đại (với p là phần tử nguyên tố của R). Do đó R
P là trường.
Đặt M p x M px 0 . Khi đó, M p có cấu trúc R
P-không gian vectơ với phép nhân vô hướng được định nghĩa
a P x ax a a P DP, x M p .
Phép nhân trên không phụ thuộc vào đại diện của các lớp ghép. Thật vậy, lấy
a x1, a x2, RP M p . Suy ra a1a2 pr r R. Ta có
1 2 1 2 1 2 0.
a x a x a x a x a a x prx Suy ra a x1 a x2 .
Như vậy, ta có thể giả sử M p có số chiều là V. Đặt M V R P và
* * 0 .
M p x M px Khi đó, M p là không gian vectơ V-chiều trên R .
P Ta có đẳng cấu giữa hai R
P-không gian vectơ M p M p . Vì vậy, tồn tại đẳng cấu R-module tương ứng M p M p . Mặt khác, vì M M, là những module chia được (do giả thiết và M V R P , với R P là R-module chia
được) và M P M p M P , M p nên theo mệnh đề 2.4.2, ta có
.
M M R P
V
■
Bây giờ, ta chứng minh định lý chính của phần này.
Chứng minh định lý 2.6.1.
Giả sử T là phần xoắn của module M.
Khi đó, P.
T P M
nguyeân toá
Hơn nữa, T là module chia được. Thật vậy, với mọi x T và a D \ 0 ,
do M là module chia được nên tồn tại y M sao cho x ay. Suy ra
0M .
T
a y T ay T x T Điều này cho ta 0M
T
y T (vì M T là module không xoắn), tức là y T . Do đó, T chia được.
Theo bổ đề 2.4.1, ta có M T E. Vì thế,
P . M P nguyeân toá M E
Vì M là module chia được nên E và MP cũng là những module chia được.
Do T là phần xoắn của M T E nên E là module không xoắn. Như vậy, ta chỉ cần chứng minh mệnh đề cho hai trường hợp sau
Trường hợp 1. M là module không xoắn chia được.
Do M là module chia được nên với mọi x M b D, \ 0 , tồn tại x1 M
sao cho x bx1.
x1 là duy nhất trong phân tích trên. Thật vậy, nếu bx1 bx2 và x1 x2 thì
1 2 0
x x (do M là module không xoắn), hay x1 x2. Vì thế, ta có thể đặt
1 1 .
x x
b
Khi đó, M có cấu trúc Q D -module với phép nhân ngoài được định nghĩa
1 , a , .
rx a x r Q D x M
b b
Do Q D là trường nên Q D -module M trở thành một không gian vectơ.
Giả sử X là cơ sở của M.
Với mỗi y X , đặt Q D y ry r Q D . Rõ ràng Q D y Q D .
Với mỗi x M , ta có .
y X
x ry
Do đó, y.
y X
M Q D
Hơn nữa, do X
là độc lập tuyến tính nên M y X Q D y y XQ D .
Trường hợp 2. M là module P-nguyên sơ chia được.
Do M là module chia được nên với mọi x M b D P , \ , tồn tại x1 M sao cho x bx1.
x1 là duy nhất trong phân tích trên. Thật vậy, giả sử bx1 bx2 và x1 x2. Khi đó, b O x 1x2Pn (n là số nguyên dương nào đó), điều này mâu thuẫn với cách chọn b. Vì vậy, ta có thể đặt x1 1 .x
b
Khi đó, M là DP-module với phép nhân ngoài được định nghĩa
1 , a P, .
rx a x r D x M
b b
Lấy x M . Vì M là module P-nguyên sơ nên tồn tại số tự nhiên n sao cho
n 0.
P x Mặt khác, theo chứng minh mệnh đề 1.4.25, ta có ,
P 1
PD a với
\ 2
a P P nào đó. Vì thế, 0.
1 1
n n
x x nx
a a a
Do đó PDPn x 0.
Vậy M là DP-module PDP-nguyên sơ.
Ta chứng minh M là DP-module chia được.
Với mọi x M và với mọi a DP \ 0 ,
b do M là D-module chia được nên tồn tại x1 M sao cho bx ax1, tồn tại x2 M sao cho x1 bx2. Suy ra
1 2.
bx ax abx Cho nên b x ax 20. Do đó, x ax2 (vì b P và M là module P-nguyên sơ). Điều này cho ta x ax2 a x1 1 ax1.
b b
Vậy M là DP- module chia được.
Do M là DP-module PDP-nguyên sơ chia được và DP là miền các ideal chính nên theo bổ đề 2.6.3, ta có M D moduleP D PDP P.
Từ đó, ta cũng có đẳng cấu D-module M D module D PDP P. Mặt
khác, theo bổ đề 2.6.2, ta có đẳng cấu D-module D P D PDP P.
Vậy M D P .
■
Từ chứng minh định lý, ta có hệ quả sau 2.6.4. Hệ quả.
i) Nếu M là module chia được, xoắn thì M bằng tổng trực tiếp của các module tựa cyclic.
ii) Nếu M là module chia được, không xoắn thì M bằng tổng trực tiếp của các module con đẳng cấu với trường các thương Q D của D.
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi chủ yếu mở rộng kết quả của lý thuyết nhóm Abel cổ điển cho lý thuyết module trên miền Dedekind. Cụ thể như sau
1) Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa cấp của một phần tử trong module trên miền Dedekind và nghiên cứu các tính chất của cấp phần tử. Từ đó, chúng tôi nghiên cứu tính chất của module cyclic trên miền Dedekind.
2) Tương tự như khái niệm nhóm tựa cyclic, chúng tôi xây dựng khái niệm module tựa cyclic trên miền Dedekind. Sau đó chúng tôi nghiên cứu tính chất và mô tả cấu trúc của lớp module này.
3) Chúng tôi nghiên cứu các tính chất cơ bản của module chia được trên miền Dedekind. Từ đó, chúng tôi đã mô tả cấu trúc của module chia được trên miền Dedekind.