Tương tự với phát biểu “Với mỗi tập X, 2Xlà compact”, J. Truss [23] đã quan tâm tới mệnh đề “ 2 là compact” và trong [6] tác giả xem xét việc liệu nó có là một định lí trong ZF hay không. Trong [9], người ta đã đưa ra một câu trả lời phủ định cho câu hỏi trên. Hơn nữa, trong [10] người ta đã chứng minh được tiên đề chọn yếu CAC() không thỏa mãn để chứng minh phát biểu “ 2 là compact”.
Trong [14], phát biểu “ 2 là compact đếm được” cũng không là định lí trong ZF. Tuy nhiên một câu hỏi cũng được đặt ra trong tài liệu này là, liệu mệnh đề CAC() có suy ra được
“ 2là compact đếm được” và liệu “ 2là compact đếm được” có suy ra được “ 2là compact”. Đi theo những vấn đề này và ta đã có “ 2là compact ” thì tương đương với
“ 2là compact đếm được” + “ 2 là compact-n với mọi n >1”, chúng ta thiết lập trong ZF điều kiện CAC, vì thế CAC(), không suy ra “∀ >n 1, 2 là compact-n”. Cuối cùng trong định lí 3.12 ta chứng minh được trong ZF, “ 2là compact” thì tương đương với phát biểu
“ 2có tính chất phủ cực tiểu”.
Đầu tiên, chúng ta cần kết quả sau
Định lí 3.10. Với mỗi số nguyên n>1, nếu 2là compact-n, thì mỗi họcủa các tập con
≤n-phần tử của ( ) sao cho ∪ rời nhau, có một tập chọn. Đặc biệt, phát biểu “ Với mỗi số nguyên n>1, 2 là compact-n” thì không chứng minh được trong ZF.
Chứng minh
Ta chứng minh bằng cách quy nạp theo n.
Với n = 2, giả sử 2 là compact-2 và đặt ={T ii : ∈I}là họ gồm các tập con 2-phần tử của ( ) sao cho là rời nhau.
Giả sử không có tập chọn nào.
Xét họ các tập con đóng mở 2-cơ bảncủa 2 sau:
{[ ]p 2 : ( a 2) ( i I, X T pi, −1( )a X 1)}
= ∈ ∃ ∈ ∧ ∃ ∈ ∀ ∈ =
∩
Ta chứng minh là một phủ của 2. Lấy f ∈2
Nếu f ∉∪ thì với mỗi a∈2 và mỗii∈I tồn tại X∈Ti sao cho f−1( )a ∩X = ∅. Tập f−1(0) xác định một tập chọn cho là {f −1(0)∩( ) Ti :i∈I}
Điều này mâu thuẫn với giả thiết không có tập chọn nào.
Do đó tồn tại một i∈I và một a∈2 sao cho f−1( )a giao với mỗi phần tử của Ti. Vì thế f ∈∪ và là phủ của 2.
Mặt khác, ta cũng kiểm tra được không có bất kì phủ con hữu hạn nào, mâu thuẫn với giả thiết 2 là compact-2.
Vì vậy có một tập chọn.
Giả sử với mọi m < n, nếu 2là compact-m, thì mỗi họcác tập con ≤m-phần tử của
( )
sao cho là rời nhau, có một tập chọn.
Chúng ta thiết lập kết quả trong điều kiện 2là compact-n, với n > 2. Theo bổ đề 3.4, ta có với mỗi số nguyên dương m < n, 2 là compact-m, vì vậy theo giả thiết quy nạp ta suy ra với mỗi m < n, mỗi họcác tập con ≤m-phần tử của ( ) sao cho là rời nhau, có một tập chọn.
Bây giờ, ta cố định một họ ={T ii : ∈I}gồm các tập con ≤n-phần tử của ( ) sao cho
là rời nhau.
Theo giả thiết quy nạp và do ( )n là hữu hạn nên ta có thể giả sử mà không mất tính tổng quát là Ti =n với mọi i∈I.
Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử không có tập chọn nào.
Xét họ các tập con n-cơ bản đóng mở của 2 sau
{[ ]p n : ( a 2) ( i I, X T pi, −1( )a X 1)}
= ∈ ∃ ∈ ∧ ∃ ∈ ∀ ∈ =
∩
Ta tiếp tục chứng minh là một phủ của 2.
Lấy f ∈2
Nếu f ∉∪ thì với mỗi a∈2 và mỗii∈I tồn tại X∈Ti sao cho f−1( )a ∩X = ∅.
Vì không có tập chọn nào nên chúng ta có thể kết luận rằng với mỗi i∈I và với mỗi 2
a∈ tồn tại ít nhất 2 phần tử của Ti mà ảnh của nó qua f là { }a .
Với mỗi i∈I, đặt
{ 1(0) : }
i i
S = f− ∩X X∈T và ={S ii: ∈I}
Vì với mọi i∈I, tập Ti có n phần tử, dẫn đến tồn tại một số m < n sao cho Si ≤m với mọi i∈I.
Lấy m0 là số nhỏ nhất trong các số m như vậy.
Vì m0 < n nên 2 là compact-m0, vì thế theo giả thiết quy nạp suy ra có một tập chọn và vì thế có một tập chọn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết trên và do đó là một phủ của 2.
Mặt khác, không khó để kiểm tra được không có phủ con hữu hạn nào, mâu thuẫn với giả thiết 2là compact-n. Do đó,không có tập chọn.
Phép quy nạp kết thúc cũng như là chứng minh cho sự khẳng định thứ nhất của định lí.
Đối với khẳng định thứ hai của định lí, ta dùng dẫn chứng mô hình của Feferman; mô hình
2 trong [6]. Trong 2 tồn tại một họgồm các tập con 2-phần tử của ( ) mà hợp của nó là tập rời nhau và không có hàm chọn trong mô hình này; xem [4] hoặc [6]. Đặc biệt, họ này có tính chất sau:
[ ] [ ]
{ }
{ X , ω\X :X ( )ω }
= ∈
,
Trong đó X∈( )ω , [ ]X ={Y∈( ) :ω X△Y < ℵ0} và △ kí hiệu cho phép toán lấy hiệu đối xứng giữa các tập hợp.
Do đó, phát biểu “ 2 là compact-2” thì không xảy ra trong 2, và theo bổ đề 2.4 ta suy ra 2 không là compact-n với mọi số nguyên n >1. Như vậy định lí chứng minh xong.
Định lí 3.11. Trong ZF , điều kiện CAC không suy ra “ Với mọi số nguyên n > 1, 2 là compact-n”.
Chứng minh
Trong mô hình 2 của Feferman trong [6], tiên đề chọn AC đúng với mọi họ sắp thứ tự tốt các tập khác rỗng, vì thế tiên đề chọn CAC xảy ra(xem [3]), trong khi đó theo chứng minh trên thì 2 không là compact-2 trong mô hình này.
Định lí 3.12. Các phát biểu sau là tương đương trong ZF:
(i) 2là compact
(ii) 2 có tính chất phủ cực tiểu.
Chứng minh
a) Chứng minh (i) ⇒(ii)
Điều này là hiển nhiên vì trong ZF, mỗi không gian compact có tính chất phủ cực tiểu.
b) Chứng minh (ii) ⇒(i)
Đầu tiên chúng ta cần bổ đề sau
Bổ đề. “2 có tính chất cực tiểu” suy ra “2 là compact đếm được”.
Chứng minh
Cố định một họ ={Fn:n∈ω}gồm các tập con đóng lồng vào nhau của 2 với tính chất giao hữu hạn.
Ta giả sử ∩ = ∅
Thế thì ={Gn:n∈ω}, với Gn =Fnc với mọi n∈ω, là một phủ mở của 2. Ta gọi là phủ con cực tiểu của .
Vì có tính chất giao hữu hạn, nên là vô hạn.
Lấy H∈ và = \{ }H
Vì là phủ cực tiểu của 2, ta suy ra được ∪ ≠2 và do đó J =∩{Ic :I∈}≠ ∅
Vì = ℵ0 và là lồng vào nhau, nên mỗi phần tử f ∈J cũng là phần tử của ∩ (mâu thuẫn với giả thiết)
Do đó bổ đề được chứng minh xong.
Bây giờ ta sẽ chứng minh 2 là compact.
Lấy một phủ mở cơ bản của 2 và lấy là phủ con cực tiểu của . Ta khẳng định hữu hạn.
Bằng cách dùng phản chứng, giả sử vô hạn.
Vì ≤ (do ⊂ ⊂ và = 2ℵ0 ), ta biểu diễn như là ∪{n:n∈}, nn+1 với mỗi n∈.
Hơn nữa, vì là phủ con cực tiểu của nên suy ra với mỗi n∈,
{ c: }
n n
G =∩ V V∈ ≠ ∅ và ={Gn:n∈} là họ các tập con đóng của 2 có tính chất giao hữu hạn.
Dựa vào bổ đề trên ta có 2 là compact đếm được.
Lấy f ∈∩, rõ ràng f ∉∪ (mâu thuẫn) Vì thế, là hữu hạn và 2là compact (đpcm).
Như vậy ta đã chứng minh được (ii) ⇒(i) và kết thúc định lí này.
KẾT LUẬN
1. Kết quả nghiên cứu
Với thời gian nghiên cứu hạn chế chúng tôi chỉ thu được một số kết quả tương đối khiêm tốn. Tuy nhiên về cơ bản chúng tôi đã hoàn thành các mục tiêu đề ra:
• Xác lập được mối liên hệ giữa ba mệnh đề BPI, TPC(2X ) và “2X là compact-n” cụ thể là trong ZF, BPI ⇔ TPC(2X ) và “2X là compact-n” với mỗi tập X cho trước và với mọi n∈. Hơn nữa, ta cũng khẳng định được TPC(2X ) không suy ra được
“2X là compact-n” và TPC(2X ) không suy ra được TP(2X ) với mỗi tập X vô hạn.
• Cải tiến được một kết quả có trong tài liệu [14] cụ thể là ta chứng minh được BPI ⇔
“Với mỗi tập X, 2X là Lindelửf” thay vỡ trước đõy là BPI ⇔“Với mỗi tập X, 2X là Lindelửf ” và CACfin và như vậy ta cú “2X là Lindelửf ” tương đương với TP(2X ).
• Chứng minh được tiên đề chọn CAC không suy ra được “ 2 là compact-n” và do đó CAC() không suy ra được “ 2 là compact-n”.
• Thiết lập được mối quan hệ tương đương giữa hai mệnh đề “ 2 là compact” và “ 2 có tính chất phủ cực tiểu”.
2. Hướng nghiên cứu tiếp theo
Qua luận văn này, ta đã có kết quả
BPI ⇔TPC(2X ) và “2X là compact-n” với mỗi tập X và với n∈
Như vậy, một câu hỏi được đặt ra là với tập X như thế nào và n∈ thỏa điều kiện gì thì BPI ⇔“2X là compact-n” ?