Mệnh đề 2.4.1. Cho I là một iđêan của vành phân bậc A. Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương
i) Iđêan I là thừa nhận được.
ii) Iđêan I là iđêan phân bậc.
iii) Iđêan I được sinh bởi những phần tử thuần nhất nào đó của A.
Chứng minh i) ⇒ ii)
Giả sử x = P
n∈J
xn ∈ I với xn ∈ An.
Vì I là một iđêan thừa nhận được nên tất cả xn ∈ I, do đó xn ∈I ∩An. Vậy I ⊂ L∞
n=0(I∩An).
Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên.
ii) ⇒ iii) là hiển nhiên.
iii) ⇒ i)
Giả sử I được sinh bởi tập S những phần tử thuần nhất của A.
Lấy x tùy ý thuộc I thì x=
n
P
i=1
aisi với ai ∈ A, si ∈ S.
Gọi xn là tổng tất cả các hạng tử cùng bậc n trong biểu diễn của tổng x thì xn = P
deg(aisi)=n
aisi và x= P
n∈J
xn.
Bởi S là một hệ sinh của I nên xn ∈ I.
Do đó I là một iđêan thừa nhận được.
Mệnh đề 2.4.2. Tương tự như mệnh đề 2.4.1, ta có :
NếuN là môđun con của môđun phân bậcM thì ba mệnh đề sau là tương đương:
i) Môđun con N là thừa nhận được.
ii) Môđun con N là phân bậc.
iii) Môđun con N sinh bởi tập những phần tử thuần nhất của M.
Mệnh đề 2.4.3.
i) Nếu I là một iđêan phân bậc của một vành phân bậc A thì vành thương A/I cũng là một vành phân bậc.
ii) Nếu N là môđun con phân bậc của một môđun phân bậc M thì M/N cũng là A−môđun phân bậc và M/N =L
Mn/N ∩Mn. Chứng minh Ta chứng minh i) còn việc chứng minh ii) tương tự.
Với mỗi phần tử x∈ A , ta ký hiệu x¯ là ảnh của x trong A / .
Xét ánh xạ f : A −→L∞ n=0
An/I∩An
x 7−→x¯
Dễ kiểm tra được f là một toàn cấu.
Ta có Kerf = I.
Vì vậy ta nhận được đẳng cấu sau:
A/I =L∞
n=0An/L∞
n=0(I ∩An)∼= L∞ n=0
An/I∩An
Lại do L∞ n=0
An/
I∩An
là một vành phân bậc với phép nhân được hiểu là Am/
I∩Am
An/
I ∩An
⊂ Am+n/
I∩Am+n, nên A/I cũng là một vành phân bậc và có thể viết là A/
I =L∞ n=0
An/I ∩An
.
Mệnh đề 2.4.4. Cho vành phân bậc A. Các mệnh đề sau là tương đương:
i) A là vành Nơte.
ii) A0 là vành Nơte và A là đại số hữu hạn sinh trên A0. Chứng minh
i) ⇒ ii)
Ta có A0 ∼=A/A+ nên A0 Nơte.
A+ là iđêan của A nên A+ hữu hạn sinh. Có thể giả sử A+ sinh bởi các phần tử thuần nhất x1, x2, . . . , xs của A với bậc là k1, k2, . . . , ks (ki >0,∀i = 1, . . . , s).
Đặt A0 là A0−đại số sinh bởi x1, x2, . . . , xs.
Khi đó A0 chính là vành đa thức biến x1, x2, . . . , xs hệ số trên A0. Ta chứng minh An ⊂ A0,∀n> 0 bằng quy nạp theo n.
• Với n= 0: ∀a0 ∈ A0 ta có a0 =a0.1 = a0
s
P
i=1
aixi =
s
P
i=1
(a0ai)xi ∈A0.
⇒A0 ⊂ A0
• Giả sử An−1 ⊂ A0,∀n> 2.
Lấy y ∈An ⊂ A+, ta có y =
s
P
i=1
aixi với xi∈ Aki, ai ∈ An−ki.
Do mỗi ki > 0 nên từ giả thiết quy nạp ta có mỗi ai ∈ An−ki ⊂ A0 là một đa thức biến x1, x2, . . . , xs với hệ số trên A0. Suy ra y cũng là đa thức biến x1, x2, . . . , xs hệ số trên A0 nên y ∈A0.
Do đó An ⊂ A0. Suy ra A ⊂ A0. Mặt khác A0 ⊂A nên A =A0. ii) ⇒ i)
Theo định lí Hilbert thì A0[x1, x2, . . . , xs] là vành Nơte từ đó suy ra A là vành Nơte.
Mệnh đề 2.4.5. Cho A là một vành Nơte phân bậc vàM là mộtA−môđun phân bậc, khi đó mọi iđêan nguyên tố liên kết P của M là iđêan phân bậc và tồn tại một phần tử thuần nhất x của M sao cho P =Ann(x).
Chứng minh Lấy P ∈ Ass(M) thì P = Ann(x), x ∈M. Viết x =xe +xe−1+. . .+x0, xi ∈ Mi. Đặt f = fr +fr−1+. . .+f0 ∈ P, fi ∈Ai.
Ta có: 0 = f x= frxe + (fr−1xe +frxe−1) +. . .+ ( P
i+j=p
fixj) +. . .+f0x0. Do đó frxe = 0, fr−1xe +frxe−1 = 0, . . . , fr−exe +. . .+frx0 = 0
(Ta đặt fi = 0,∀i < 0).
Suy ra frexi = 0,∀06 i6 e.
Do đó frex = 0, fre ∈P ⇒fr ∈P.
Bằng phép quy nạp giảm ta thấy mọi fi ở trong P vì vậy P là iđêan phân bậc.
Vì vậy P ⊂Ann(xi),∀i và P =
e
T
i=0
Ann(xi).
Vì P là nguyên tố nghĩa là ∃i: P =Ann(xi).
Bổ đề 2.4.1. Cho A là vành Nơte, M là A−môđun hữu hạn sinh, (Mn)là I−lọc của M. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
i) M? là A?−môđun hữu hạn sinh.
ii) Lọc (Mn) là ổn định.
Chứng minh
Mỗi Mn là hữu hạn sinh (do Mn ⊂ M là A−môđun Nơte).
Đặt Qn = Ln
r=0Mr thì Qn là một nhóm con của M? và hữu hạn sinh.
Mn? =M0⊕. . .⊕Mn ⊕IMn ⊕I2Mn⊕. . .⊕IrMn⊕. . ..
Vì Qn là A−môđun hữu hạn sinh nên Mn? là một A?−môđun hữu hạn sinh.
Ta có dãy tăng các mô đun con hữu hạn sinh của M?: M0? ⊂ M1? ⊂M2? ⊂ . . .⊂ Mn? ⊂ . . ..
Dãy này có hợp là M?. Do A là vành Nơte nên A? cũng là vành Nơte, do đó:
M? là A?−môđun hữu hạn sinh
⇔ Dãy là dừng.
⇔ M? = Mn?0 với n0 nào đó.
⇔ Mn0+r =IrMn0 ∀r> 0
⇔ Lọc (Mn) là ổn định.
Bổ đề 2.4.2 (Bổ đề Artin - Rees).
Cho A là vành Nơte, I là iđêan của A, M là A−môđun hữu hạn sinh, (Mn) là I−lọc ổn định của M. Nếu M0 là môđun con của M thì M0∩ Mn là I−lọc ổn định của M0.
Chứng minh
(Mn) là một lọc nên ta có chuỗi M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Mn ⊃ . . . với Mn là môđun con của M.
Mặt khác M0 là môđun con của M nên ta cũng có chuỗi:
M0∩M0 ⊃ M0∩M1 ⊃. . . ⊃M0∩Mn ⊃ . . . với M0∩Mn là môđun con của M0. Vậy M0∩Mn là lọc.
Ta có I(M0∩Mn)⊂ IM0∩IMn ⊂ M0∩Mn+1,∀n.
Do đó M0∩Mn là I−lọc của M0.
Do(Mn)làI−lọc ổn định nên theobổ đề 2.4.1ta cóM? =L
nMn làA?−môđun hữu hạn sinh.
Vì A? là Nơte nên M? là A?−môđun Nơte.
M0 là A−môđun và (M0 ∩Mn) là I−lọc của M0 nên (M0)? = L
n(M0 ∩Mn) là một A?−môđun phân bậc và là môđun con của M?.
Do đó (M0)? là A?−môđun hữu hạn sinh
⇒ (M0∩Mn) là I−lọc ổn định (theo bổ đề 2.4.1).
Trong bổ đề 2.4.2, chọn lọc Mn = InM ta thu được dạng hay dùng của bổ đề Artin - Rees.
Hệ quả 2.4.1. Tồn tại số tự nhiênksao cho(InM)∩M0 = In−k((IkM)∩M0) ∀n> k Chứng minh
Do InM là I−lọc ổn định nên tồn tại số nguyên k đủ lớn sao cho IkM cũng là I-lọc ổn định.
Áp dụng bổ đề 2.4.2 ta có (IkM)∩M0 là I−lọc ổn định.
Khi đó ta có (InM)∩M0 = In−k((IkM)∩M0) .
Định lí 2.4.1. Cho A là vành Nơte, I là iđêan của A, M là A−môđun hữu hạn sinh và M0 là môđun con của M. Khi đó lọc InM0 và (InM)∩M0 là sai phân bị chặn tức là tồn tại số nguyên dương k sao cho
(In+kM0 ⊂ (InM)∩M0 (In+kM)∩M0 ⊂ InM0 . Đặc biệt I−tôpô của M0 trùng với tôpô được cảm sinh bởi I−tôpô của M.
Chứng minh
Do InM là I−lọc ổn định của M và M0 là môđun con của M nên theo bổ đề 2.4.2 ta có (InM)∩M0 là I−lọc ổn định của M0. Vậy InM0 và (InM)∩M0 là các I−lọc ổn định của M0.
∀x∈ InM0 ⇒x= P
y∈M0
ayy, ay ∈ In ⊂ A.
Do
(ay ∈ In ⊂ A, y ∈ M0 y ∈ M0 ⊂M ⇒
(x∈ M0
x∈ InM ⇒x ∈(InM)∩M0.
⇒InM0 ⊂ (InM)∩M0.
Mặt khác theo hệ quả 2.4.1 ta có
(InM)∩M0 = In−k(IkM ∩M0)⊂ In−kM0
⇒InM0 ⊂ (InM)∩M0 ⊂ In−kM0.
⇒ Tồn tại số nguyên dương k sao cho
(In+kM0 ⊂ InM0 ⊂ (InM)∩M0 (In+kM)∩M0 ⊂ InM0
.
Do đó I−tôpô trên M0 được xác định bởi I−lọc ổn định InM0 và I−tôpô trên M0 được cảm sinh bởi I−tôpô của M (tức là được xác định bởi I−lọc ổn định (InM)∩M0) là trùng nhau.
Mệnh đề 2.4.6. Cho 0 −→ M0 −→ M −→ M00 −→ 0 là một dãy khớp của các môđun hữu hạn sinh trên vành Nơte A và I là iđêan của A. Khi đó dãy các đầy đủ I−adic 0−→Mc0 −→Mc−→dM00−→ 0 là khớp.
Chứng minh Ta có thể xem M00 =M/M0 tức là dãy
0−→M0 −→M −→M/M0 −→0 là khớp.
Do đó ta cần chứng minh dãy
0−→Mc0 −→Mc−→M/M\0 −→0 là khớp.
Xét dãy
0−→M0/(InM)∩M0 −→f M/InM −→g (M/M0)/(InM) +M0 = M/(InM) +M0 −→ 0.
Trong đó
f : M0/(InM)∩M0 −→ M/InM m0+ (InM)∩M0 7−→ m0+InM g : M/InM −→ M/(InM) +M0 m+ (InM) 7−→ m+ (InM) +M0 Dễ kiểm tra được các quy tắc f, g là các A−đồng cấu.
Kerf = {m0+ (InM)∩M0|m0+InM = 0 +InM}
= {m0+ (InM)∩M0|m0 ∈ InM}
= {0 + (InM)∩M0}
⇒f là đơn cấu.
Hiển nhiên g là toàn cấu.
Imf = n
f(m0+ (InM)∩M0)|m0+ (InM)∩M0 ∈ M0/(InM)∩M0 o
= {m0+InM|m0 ∈ M0}
Kerg = {m+InM|m+ (InM) +M0 = 0 +InM +M0}
= {m+InM|m ∈M0}
⇒Imf = Kerg.
Dãy 0−→ M0/(InM)∩M0 −→f M/InM −→g (M/M0)/(InM) +M0 −→ 0 (?) là khớp.
Áp dụng mệnh đề 1.7.3 đối với hệ toàn cấu (?) ta được dãy 0−→lim
←−
M0/(InM)∩M0 −→lim
←−
M/InM −→ lim
←−
(M/M0)/(InM) +M0 −→0 là khớp.
Suy ra 0−→Mc0 −→Mc−→M/M\0 −→ 0 là khớp.
Vì ta có một đồng cấu tự nhiên A −→ Ab nên ta có thể xem Ab như là A−đại số và đối với bất kì A−môđun M ta có thể hình thành A−môđunb Ab⊗AM.
Bây giờ đồng cấu A−môđun M −→Mcxác định một đồng cấu A−môđunb Ab⊗AM −→ Ab⊗AMc−→Ab⊗
AbMc=Mc.
Mệnh đề 2.4.7. Đối với bất kì vànhAnếuM là hữu hạn sinh thìAbN
AM −→Mc là toàn cấu. Hơn nữa nếu A là vành Nơte thì AbN
AM −→ Mclà đẳng cấu.
Chứng minh
Dùng hệ quả 1.7.1 rõ ràng đầy đủ I−adic giao hoán chuyển mạch với những tổng trực tiếp hữu hạn. Do đó nếu F ∼=An thì ta có AbN
AF ∼=Fb. Bây giờ giả thiết M là hữu hạn sinh vì thế ta có dãy khớp
0−→ N −→F −→M −→0.
Ta có sơ đồ giao hoán
AbN
AF AbN
AN AbN
AM 0
γ β α
0 Nb Fb δ Mc
0
Mà các dòng trên là khớp (do mệnh đề 1.7.5).
Do hệ quả 1.7.1 δ là toàn cấu. Vì β là đẳng cấu nên suy ra α là toàn cấu.
Giả thiếtA là vành Nơte thì N là hữu hạn sinh. Do đóγ là toàn cấu và do mệnh đề 2.4.6 dòng dưới là khớp. Theo dõi trên biểu đồ ta có α là đơn cấu và do đó α là đẳng cấu .
Mệnh đề 2.4.8. Nếu A là vành Nơte, Ablà đầy đủ I−adic thì:
i) Ib=AIb ∼= AbN
AI;
ii) (In)b= (I)bn;
iii) In/In+1 ∼= Ibn/Ibn+1;
iv) Ibđược chứa trong căn Jacobson của A.b Chứng minh i) Vì A là Nơte nên I là hữu hạn sinh.
Từ mệnh đề 2.4.7 suy ra ánh xạ Ab⊗A I −→Ibmà ảnh là AIb là một đẳng cấu.
ii) Áp dụng i) cho In ta có (In)b=AIb n = (AIb )n = (I)bn. iii) Áp dụng hệ quả 1.7.2 ta có A/In ∼= A/b Ibn.
Bằng cách lấy thương ta được iii).
iv) Với ii) và mệnh đề 1.7.4 ta có Ablà đầy đủ đối với I−tôpô của nó.b
Do đó ∀x∈ Ib: (1−x)−1 = 1 +x+x2+. . . hội tụ trong Abvì thế 1−x khả nghịch.
Từ mệnh đề 1.2.5 suy ra Ibđược chứa trong căn Jacobson của A .b
Mệnh đề 2.4.9. Cho A là vành Nơte địa phương, m là iđêan tối đại của nó. Khi đó đầy đủ m−adic Ab của A là vành địa phương với iđêan tối đại m.b
Chứng minh Theo mệnh đề 2.4.8 iii) ta có A/b mb ∼= A/m.
Do đó A/b mb là một trường và vì vậy mb là iđêan tối đại của A.b
Mặt khác theo mệnh đề 2.4.8 iv) thì mb nằm trong căn Jacobson của A.b Suy ra mb là iđêan tối đại duy nhất của Ab
Vì vậy Ab là vành địa phương.
Định lí 2.4.2. Cho A là một vành Nơte, I là một iđêan, M là A−môđun hữu hạn sinh và Mc là đầy đủ I−adic của M. Khi đó hạt nhân E = T∞
n=1InM của đồng cấu tự nhiên ϕ: M −→ Mcchính là tập tất cả các phần tử x ∈ M mà x bị linh hóa bởi phần tử nào đó của 1 +I.
Chứng minh
Đặt E ={x∈ M|∃a ∈ I : (1 +a)x= 0}.
⇒)
Theo hệ quả 2.4.1 tồn tại k ∈N để In−k((IkM)∩E) = (InM)∩E ∀k, n ∈N Với n đủ lớn thì:
E = (InM)∩E = In−k((IkM)∩E)⊂ IE ⊂ E
⇒IE = E.
Ta cóA là Nơte,M làA−môđun hữu hạn sinh nên hạt nhân E cũng làA−môđun hữu hạn sinh (1).
Mặt khác: IE = E với I là iđêan của A (2).
Từ (1) và (2) suy ra ∃u ≡1 (mod I) sao cho uE = 0 (do hệ quả 1.4.3).
Tức là ∃u = 1 +a với a ∈ I làm cho (1 +a)E = 0.
⇐)
Giả sử ∃a ∈ I, x∈ M mà (1 +a)x = 0. Ta chứng minh x∈ E. Thật vậy từ (1 +a)x = 0
⇒x= −ax =−a(−ax) =a2x =a2(−ax) =−a3x=a4x =. . .
⇒x∈ InM,∀n>0
⇒x∈ T∞
n=1InM =E. Định lí 2.4.2 có nhiều hệ quả:
Hệ quả 2.4.2. Cho A là miền Nơte,I 6= (1)là một iđêan của A. Khi đóT
In = 0 Chứng minh
Gọi ϕ :A −→ A. Theob định lí 2.4.2 ta có Kerϕ= T In. Ta sẽ chứng minh T
In = 0.
Theo định lí 2.4.2thì T
In là tập tất cả các phần tử x∈ A mà x bị linh hóa bởi phần tử nào đó của (1 +I).
Giả sử 06= x∈ T In.
⇒x bị linh hóa bởi 1 +a với a ∈I tức là (1 +a)x= 0.
⇒x= −ax ∈ I.
⇒I =A (vô lý).
⇒x= 0.
Vậy T
In = 0.
Hệ quả 2.4.3. Cho A là một vành Nơte, I là một iđêan của A được chứa trong căn Jacobson J của A và cho M là một A−môđun hữu hạn sinh. Khi đó I−tôpô của M là Hausdorff.
Chứng minh
Để chứng minh I−tôpô của M là Hausdorff ta chứng minh T
InM = 0.
Ta có đồng cấu ϕ: M −→M .c Với Mclà đầy đủ I−adic của M. Ta có Kerϕ= T
InM. Theo định lí 2.4.2 ∀x ∈ T
InM ⊂M được linh hóa bởi phần tử thuộc (1 +I).
Giả sử x ∈T
InM bị linh hóa bởi 1 +a với a∈ I tức là (1 +a)x= 0.
Mà a∈ I ⊂ J.
⇒1 +a khả nghịch (theo mệnh đề 1.2.5).
⇒(1 +a)−1(1 +a)x= 0.
⇒1.x = 0.
⇒x= 0.
Vậy T
InM = 0.
Ta có một trường hợp đặc biệt quan trọng của hệ quả 2.4.3
Hệ quả 2.4.4. Cho A là vành Nơte địa phương, m là iđêan tối đại của nó, M là A−môđun hữu hạn sinh. Khi đó m−tôpô của M là Hausdorff. Đặc biệt m−tôpô của A cũng là Hausdorff.
Chứng minh
Vì A là vành Nơte địa phương nên m là iđêan tối đại duy nhất của A suy ra m= J(A).
Theo hệ quả 2.4.3 ta có m−tôpô của M là Hausdorff.
Hiển nhiên ta cóm−tôpô củaAlà Hausdorff (vìAlàA−môđun hữu hạn sinh).
Hệ quả 2.4.5. Cho A là vành Nơte, P là iđêan nguyên tố của A. Khi đó giao của tất cả iđêan P−nguyên sơ của A chính là hạt nhân của đồng cấu ϕ: A −→AP.
Chứng minh
Do AP là vành Nơte địa phương nên AP có duy nhất một iđêan tối đại là m= S−1P.
Do m là iđêan tối đại nên theo mệnh đề 1.2.7 mi là iđêan m−nguyên sơ trong AP ∀i.
Ta lại có AP là vành Nơte địa phương, AP có iđêan cực đại làm nên theo hệ quả 2.4.4 suy ra m−tôpô của AP là Hausdorff tức là T
mi = 0.
Mặt khác mi là iđêanm−nguyên sơ trong AP ∀i.
Suy ra giao của tất cả các iđêan m−nguyên sơ trong AP là 0 (?).
Xét đồng cấu
ϕ: A −→ AP
a 7−→ a 1 Lấy a∈ Kerϕ⇒ϕ(a) = 0.
⇒ a 1 = 0
1 ∈T mi.
⇒ a
1 ∈ mi, ∀i.
Theo mệnh đề 1.3.3 có một sự tương ứng một-một giữa iđêan P−nguyên sơ trong A với iđêan m−nguyên sơ trong AP, tức là:
Mỗi Qi là iđêan P−nguyên sơ trong A sẽ tương ứng với mi là iđêan m−nguyên sơ trong AP.
• Chứng minh Kerϕ⊂ T Qi. Ta có a
1 ∈ mi, ∀i ⇒ a ∈ Qi∀i ⇒ a ∈ T
Qi, trong đó Qi là iđêan P−nguyên sơ trong A.
Suy ra Kerϕ⊂ T Qi.
• Chứng minh T
Qi ⊂Kerϕ.
Lấy a∈ T
Qi, trong đó Qi là iđêan P−nguyên sơ trong A.
⇒a ∈Qi, ∀i.
⇒ a
1 ∈ S−1Qi, ∀i.
⇒ a 1 ∈ T
S−1Qi.
Lại có Qi là iđêan P−nguyên sơ trong A nên S−1Qi là iđêan m−nguyên sơ trong AP.
Theo (?) giao của tất cả các iđêanm−nguyên sơ trongA là0nên a
∈ T
S−1Q = 0.
⇒a ∈Kerϕ.
⇒T
Qi ⊂ Kerϕ.
Vậy T
Qi = Kerϕ.
Mệnh đề 2.4.10. Cho A là vành Nơte, I là một iđêan của A. Khi đó:
i) GI(A) là vành Nơte;
ii) GI(A) và G
Ib(A)b là những vành phân bậc đẳng cấu với nhau;
iii) Nếu M là A−môđun hữu hạn sinh và Mn là I−lọc ổn định của M, khi đó G(M) là GI(A)−môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Chứng minh i) Vì A là vành Nơte nên I hữu hạn sinh.
Giả sử I được sinh bởi x1, x2, . . . , xs.
Gọi x¯i là ảnh của xi trong I/I2 thì G(A) = (A/I) [¯x1,x¯2, . . . ,x¯s].
Vì A là vành Nơte nên A/I cũng là vành Nơte.
Theo định lí Hilbert ta có G(A) là vành Nơte.
ii) Theo mệnh đề 2.4.8 iii) ta có In/In+1 ∼= Ibn/bIn+1. Do đó GI(A) =
∞
L
n=0
In/In+1∼=
∞
L
n=0
Ibn/bIn+1 =G
IbA.b
iii) Vì (Mn) là I−lọc ổn định nên tồn tại n0 sao cho Mn0+r =IrMn0,∀r> 0.
Vì vậy G(M) được sinh bởi L
n6n0Gn(M). Vì M là A−môđun hữu hạn sinh, A là vành Nơte nên M là Nơte. Do đó mỗi Gn(M) = Mn/Mn+1 là A−môđun Nơte và bị linh hóa bởi I nên Gn(M) là A/I−môđun hữu hạn sinh.
Do đó L
n6n0Gn(M) (xem như A/I−môđun) được sinh bởi hữu hạn phần tử.
Vậy G(M) là G(A)−môđun hữu hạn sinh.
Bổ đề 2.4.3. Cho φ : A −→ B là đồng cấu của những nhóm lọc nghĩa là φ(An) ⊂ Bn và G(φ) :G(A)−→ G(B), φb: Ab−→ Bb là những đồng cấu cảm sinh của những nhóm đầy đủ và phân bậc liên kết. Khi đó
i) G(φ) đơn cấu ⇒ φbđơn cấu;
ii) G(φ) toàn cấu ⇒ φbtoàn cấu.
Chứng minh Xét sơ đồ giao hoán của những dãy khớp
0 An/An+1 A/An+1 A/An
Bn/Bn+1 B/Bn+1 B/Bn
Gn(φ) αn+1 αn
0
0
0 Từ đó ta có dãy khớp:
0 −→ KerGn(φ) −→ Kerαn+1 −→ Kerαn −→ CokerGn(φ) −→ Cokerαn+1 −→
Cokerαn −→0.
Bằng quy nạp theo n ta có Kerαn = 0 (trường hợp i)) hoặc Cokerαn = 0 (trường hợp ii)).
Hơn nữa trong trường hợp ii) ta có Kerαn+1 −→Kerαn toàn cấu.
Lấy giới hạn ngược của đồng cấuαnvà áp dụngmệnh đề 1.7.3ta được kết quả.
Mệnh đề 2.4.11. ChoAlà vành,Ilà iđêan củaA.M làA−môđun.(Mn)làI−lọc của M. Giả sử A đầy đủ trong I−tôpô, M là Hausdorff (nghĩa là T
nMn = 0) và G(M) là G(A)−môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là A−môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh
Lấy một tập sinh hữu hạn của G(M) và tách chúng thành những thành phần thuần nhất ξi (1 6i6 v) với ξi có bậc n(i).
Khi đó ảnh của chúng sinh bởi xi ∈ Mn(i).
ĐặtFilà môđunAvớiI−lọc ổn định được cho bởiFki = Ik+n(i)và đặtF =Lr i=1Fi. Khi đó ánh xạ biến1của mỗiFithành xixác định một đồng cấu của những nhóm lọc φ : F −→M và G(φ) :G(F)−→ G(M) là một đồng cấu G(A)−môđun.
Hơn nữa G(φ) còn là một toàn cấu do đó theo bổ đề 2.4.3 ii) thì φblà toàn cấu.
Xét biểu đồ giao hoán
F φ
φb
M
Fb Mc
α β
Bởi vì A xem như A−môđun tự do nên F là tự do.
Do Ab=A nên α là đẳng cấu.
Vì M là Hausdorff nên β là một đơn cấu.
Do βφ =φαb nên βφ là toàn cấu.
Mặt khác β là đơn cấu nên φ là toàn cấu. Điều này chứng tỏ rằng x1, x2, . . . , xr là tập sinh của M.
Hệ quả 2.4.6. Với những giả thiết củamệnh đề 2.4.11, nếuG(M)làG(A)−môđun Nơte thì M là A−môđun Nơte.
Chứng minh
Ta cần chứng minh mọi môđun con M0 của M đều hữu hạn sinh.
Đặt Mn0 = M0∩Mn. Khi đó (Mn0) là I−lọc của M0, và phép nhúng Mn0 −→Mn
cho ta một đơn cấu Mn0/Mn+10 −→Mn/Mn+1. Do đó có phép nhúng của G(M0) trong G(M).
Vì G(M) là Nơte nên G(M0) hữu hạn sinh.
Ta có T
Mn0 ⊂ T
Mn = 0.
⇒ M0 là Hausdorff.
Theo mệnh đề 2.4.11 ta có M0 là hữu hạn sinh.
Định lí 2.4.3. Nếu A là vành Nơte, I là iđêan của A thì đầy đủ I−adic Abcủa A là Nơte.
Chứng minh Theo mệnh đề 2.4.10 ta có GI(A) = G
Ib(A)b là Nơte.
Áp dụng hệ quả 2.4.6 cho vành đầy đủ A, lấyb M = Ab (được lọc bởi Ibn vì thế Hausdorff).