CHƯƠNG 3: VÀI LỚP KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẶC BIỆT
3.1. Các ki ến thức cơ bản của chương.[ 2 ]
3.1.1. Không gian đối ngẫu và hệ đối ngẫu.
3.1.1.1. Không gian đối ngẫu
Cho E là không gian vectơ trên trường K ( hoặc ) . Kí hiệu E' là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
E, E* là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên E. Ta có E'
và E* là các không gian vectơ trên trường K, E' được gọi là đối ngẫu của E, E* được gọi là đối ngẫu đại số của E.
3.1.1.2. Hệ đối ngẫu
Cho E là không gian vectơ. Không gian con F của E* được gọi là phân biệt các điểm của E nếu mọi x x1, 2∈E, tồn tại
( )1 ( )2
:
y∈F y x ≠ y x .
Ta gọi cặp (E,F) trong đó F là không gian con của E* phân biệt các điểm của E là hệ đối ngẫu.
Với mọi không gian vectơ E, (E,E*) là hệ đối ngẫu. Nếu E lồi địa phương thì mọi không gian con F của E* chứa E', (E,F) là hệ đối ngẫu .
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu. Đồng nhất E với j(E) qua ánh xạ j: E F*, (j(x))(y) = y(x) với mọi x thuộc E, y thuộc F, j là đơn ánh tuyến tính (Do F phân biệt các điểm của E). Hiển nhiên j(E) phân biệt các điểm của F. Do đó (E,F) là hệ đối ngẫu thì (F,E) cũng là hệ đối ngẫu.
Cho (E,F) là hệ đối ngẫu . Tôpô lồi địa phương τ trên E
sao cho (E, τ )’ = Fgọi là tôpô của hệ đối ngẫu. Kí hiệu σ(E,F)
là tôpô yếu nhất để mọi y thuộc F liên tục . Đó là tôpô lồi địa phương .
3.1.2. Pôla và song pôla
3.1.2.1. Định nghĩa pôla
Cho (E,F) là hệ đối ngẫu và A ⊂ E, B ⊂F, A ≠ ∅, B≠ ∅. Khi đó,
A0 = {y ∈ F : supx∈A |y(x)| ≤ 1} ⊂F gọi là pôla của A trong F, B0 = {x ∈ E : supy∈B |y(x)| ≤ 1}⊂E gọi là pôla của B trong E.
3.1.2.2. Định lý song pôla
Cho (E,F) là hệ đối ngẫu và A ⊂ E. Khi đó song pôla A00 là bao σ(E, F) tuyệt đối lồi và đóng của A.
Chứng minh
Bổ đề 1
Ta chấp nhận bổ đề sau:
Cho p và q là hai nửa chuẩn trên không gian vectơ E. Nếu q(x) <1 kéo theo p(x) ≤ 1 thì p(x) ≤ q(x) với mọi x thuộc
E.
Bổ đề 2
Cho U là lân cận tuyệt đối lồi của không gian lồi địa phương E. Khi đó supy U∈ 0 y x( ) = xU,∀ ∈x E.
Chứng minh
Nếu y thuộc U0 thì y x( )≤1 với mọi x thuộc U , do đó xU <1kéo theo y x( )≤1. Theo bổ đề 1 trên ta có
( ) U
y x ≤ x , với mọi x thuộc E. Suy ra
sup 0 ( ) U
y U∈ y x ≤ x .(1)
Với mọi x thuộc E cố định, theo một hệ qủa của định lý Hahn- Banach, tồn tại y0thuộc E' sao cho
( )
0 U
y x = x và y0( )z ≤ zUvới mọi z thuộc E, ta suy ra
0( ) 1
y z ≤ với mọi z thuộc U, tức là y0 thuộc U0. Vậy sup 0 ( ) 0( ) U
y U∈ y x ≥y x = x (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra supy U∈ 0 y x( ) = x U,∀ ∈x E 3.1.3. Định lý Alaoglu - Bourbabi
Với mọi lân cận U của không gian lồi địa phương E, pôla U0của U là tuyệt đối lồi và σ(E', E) - compact.
3.1.4. à- Tụpụ
Cho (E,F) là hệ đối ngẫu , à là một họ cỏc tập con của F cú các tính chất sau:
à1): Họ M ∈à là σ(F, E)- bị chặn .
à2): Mọi M1, M2 ∈à tồn tại M3 ∈à và λ >0 sao cho M1 ∪ M2
⊂ λM3.
à3): F = {∪ λM : λ >0, M ∈à }.
Với mọi M ∈à, đặt pM (x) = supy M∈ y x( ). Ta được họ cỏc nửa chuẩn { }pM M∈à là hệ cơ bản cỏc nửa chuẩn của tụpụ lồi địa phương tà trờn E, được gọi là à- tụpụ xỏc định bởi họ à.
3.1.5. Nhận xét
Giả sử t là tôpô của hệ đối ngẫu (E,F) trên E, U là một hệ cơ bản các lân cận tuyệt đối lồi của (E, t). Khi đó
supy U∈ 0 y x( ) = xU,∀ ∈x E, với nửa chuẩn pU0( )x =supy U∈ 0 y x( ) ,∀ ∈x E ta
có .U 0
pU
= với mọi U thuộc U . Vì U0 tuyệt đối lồi nên theo Định lý Alaoglu – Bourbabi U0 là σ(F, E)- compact của F.
Trong hệ đối ngẫu tựy ý xột họ à ={ M ⊂ F : M tuyệt đối lồi và σ(F, E)- compact }.
Họ à cú tớnh chất à 1) - à 3). Thật vậy , mọi tập compact yếu đều bị chặn yếu nờn cú à1); tổng của hai tập compact yếu là compact yếu
và mọi M1, M2 ∈ à, M1∪ M2 ⊂ M1 + M2 ∈ à nờn cú à 2); mọi y thuộc F, y ∈ {λy : |λ| ≤ 1} ∈ à nờn cú à 3).
Cho (E,F) là hệ đối ngẫu , à-tụpụ trờn E xỏc định bởi họ à tất cả cỏc tập con tuyệt đối lồi , σ(E, F)- compact của F gọi là tôpô Mackey, kí hiệu τ (E, F).
3.1.6. Định lý
Cho hệ đối ngẫu (E,F). Khi đó σ (E,F) là tôpô của hệ đối ngẫu và là tôpô yếu nhất trong các tôpô đó.
3.1.7. Bổ đề
Tôpô Mackey- τ (E, F) là tôpô mạnh nhất trong tất cả các tôpô của hệ đối ngẫu .
3.1.8. Định lý Mackey - Arens
Tôpô lồi địa phương t trên E là tôpô của hệ đối ngẫu (E, F) khi và chỉ khi σ(E, F) ⊂ t ⊂ τ (E, F).
3.1.9. Không gian phản xạ và không gian thùng.
Trên không gian lồi địa phương E ta chú ý tới các tôpô sau:
Tôpô yếu σ σ= (E E, ')là tôpô yếu nhất của hệ đối ngẫu Tôpô lồi địa phương t xuất phát trên E
Tôpô Mackey τ τ= (E E, ') là tôpô của hệ đối ngẫu mạnh nhất.
Tôpô mạnh b=b E E( , ') là tôpô xác định bởi tất cả các tập hợp con σ(E E', )- bị chặn của E' thỏa cỏc tớnh chất từ à 1) - à 3) trong định nghĩa à-tụpụ.
Ta có
t b
σ ⊂ ⊂ ⊂τ
Trên E' ta xét các tôpô sau
Tôpô yếu σ*=σ(E E', )là tôpô yếu nhất của hệ đối ngẫu
Tôpô Mackey τ*=τ(E E', ) là tôpô của hệ đối ngẫu mạnh nhất.
Tôpô mạnh b*=b E E( ', )
Ta có σ*⊂τ*⊂b*
3.1.10. Định nghĩa: Không gian nửa phản xạ và không gian phản xạ.
Không gian lồi địa phương E được gọi là nửa phản xạ nếuE=E"
như là hai không gian vectơ . E gọi là phản xạ nếu E = E" như hai không gian lồi địa phương .
3.1.11. Định lý
Không gian lồi địa phương E là nửa phản xạ nếu và chỉ nếu mọi tập bị chặn trong E là compact yếu tương đối.
Chứng minh
Theo định lý Mackey- Arens: Tôpô lồi địa phương t trên E là tôpô của hệ đối ngẫu (E,F) khi và chỉ khi σ(E, F) ⊂ t ⊂ τ (E, F). E
nửa phản xạ nếu và chỉ nếu b* ⊂ τ *. Điều đó tương đương với : mọi tập bị chặnBtrong E tồn tại tập tuyệt đối lồi, compact yếu M trong E
sao cho pB ≤ pM. Điều này tương đương với
{ } { }
0 ' ' 0
: supx B ( ) 1 : supx M ( ) 1 B = y∈E ∈ y x ≤ ⊃ y∈E ∈ y x ≤ =M
Theo định lý song pôla , B0 ⊃ M 0nếu và chỉ nếu bao đóng yếu tuyệt đối lồi của B: Γ( )B =B00 ⊂M00 =M . Vì Γ( )B bị chặn khi B bị chặn nên ta có kết qủa của định lý
3.1.12. Định nghĩa cái thùng
Tập con M của không gian lồi địa phương E được gọi là một cái thùng nếu M là tập con tuyệt đối lồi, đóng và hútcủa E.
3.1.13. Không gian tựa thùng
Không gian lồi địa phương E là không gian tựa thùng nếu mọi cái thùng hút các tập bị chặn là lân cận của 0.
3.1.14. Không gian thùng
Không gian lồi địa phương E là không gian thùng nếu mọi cái thùng là lân cận của 0
3.1.15. Đĩa Banach
Tập con tuyệt đối lồi B của không gian vectơ E gọi là đĩa Banach nếu EB =< >= ∪E t>0tB. Hàm cỡ . B là một chuẩn trên EB và
(EB, .B) là một không gian Banach .
Nhận xét: Mọi tập con compact tuyệt đối lồi của không gian lồi địa phương E là đĩa Banach.
3.1.16. Định lý Banach – Mackey
Cho (E F, ) là hệ đối ngẫu. Nếu B là một đĩa Banach , σ(E F, )bị chặn trong E thì B là b E F( , )- bị chặn .
3.1.17. Định lý
Trong không gian lồi địa phương E ta có
1) b** = tà với à = {M ⊂ E': M là b* - bị chặn }.
2) τ ⊂ b** ⊂ b.
3) Họ các cái thùng hút các tập bị chặn là một cơ sở lân cận của 0 theo tôpô b**.
Chứng minh :
Ta có 1) theo định nghĩa b**
2) Nếu M là tập con tuyệt đối lồi σ*compact của E' thì M là đĩa Banach và σ*- bị chặn. Từ đó theo định lý Banach – Mackey M là b*- bị chặn . Theo 1) ta có τ ⊂b**.
Nếu M là b*- bị chặn trong E' thì M cũng là σ*- bị chặn, lại theo 1) ta có b** ⊂ b.
3) Giả sử T là một cái thùng hút các tập bị chặn trong E. Mọi tập bị chặn B của E, tồn tại λ>0sao cho B⊂λThay T0 ⊂λB0. Từ đó
T0 là b*- bị chặn. Do T là cái thùng nên theo định lý song pôla,
( )0 0
T = T .Theo 1) T là b**- lân cận của 0.
Theo 1) {M0 ⊂E', M là b*- bị chặn } là một hệ cơ bản các lân cận của 0 theo b**.
Để hoàn thành chứng minh ta cần chỉ ra mọi lân cận M0 thuộc hệ trên là cái thùng, hút các tập bị chặn. Thật vậy , hiển nhiên M0 tuyệt đối lồi và đóng. Với mọi tập bị chặn B trong E, tồn tại λ>0 sao cho
M ⊂λB0. Từ hệ thức này suy ra B⊂B00⊂λ M0. Vậy M0 hút các tập bị chặn, suy ra M0 là cái thùng hút các tập bị chặn
3.1.18. Bổ đề: Nếu E là không gian tựa thùng và mọi tập con tuyệt đối lồi, đóng và bị chặn của E đều là đĩa Banach thì E là không gian thùng.
3.1.19. Định lý
Cho E là không gian lồi địa phương các điều kiện sau là tương đương:
1) E phản xạ.
2) E nửa phản xạ và tựa thùng.
3) E phản xạ và thùng.
Chứng minh : 1) ⇒ 2)
E phản xạ thì E là nửa phản xạ và b** trùng với tôpô trên E. Theo định lý 3.1.17. c) ta có E tựa thùng.
2) ⇒ 1)
E nửa phản xạ thì E=E" như các không gian vectơ. Do E tựa thùng nên mọi cái thùng hút các tập bị chặn là lân cận của 0. Theo định lý 3.1.17. c) họ các tập nói trên là một cơ sở lân cận của b** nên b**
yếu hơn tôpô trên E và do đó trùng với tôpô trên E. Vậy E phản xạ.
3) ⇒ 2) Hiển nhiên.
2) ⇒ 3) Theo định lý: “ Không gian lồi địa phương E là nửa phản xạ nếu và chỉ nếu mọi tập bị chặn trong E là compact yếu tương đối”. Do vậy, các tập tuyệt đối lồi , đóng, bị chặn của E là compact yếu. Từ đó ta suy ra chúng là đĩa Banach và theo Bổ đề 3.1.18. ta có E là không gian thùng
3.1.20. Định nghĩa
Cho E là khụng gian lồi địa phương. Ta gọi tụpụ κ(E E', )là à-
tôpô trên E'ứng với họ {M⊂E: M tuyệt đối lồi và compact}.
3.1.21. Bổ đề
Với mọi lân cận U trong không gian lồi địa phương E ta có
(E E', )|U0 (E E', )|U0
κ =σ .