VÀNH V ỚI CÁC LINH HÓA TỬ H ỮU HẠN SINH
Chương này chúng tôi sẽ trình bày nội dung chính của luận văn, bao gồm: định nghĩa, những tính chất cơ bản và một số ứng dụng của vành AFG. Các kết quả này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [17].
§ 1. Định nghĩa và tính chất cơ bản
Định nghĩa và ví dụ
2.1.1 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành AFG trái (t.ư, phải) nếu với mỗi tập con khác rỗng X của R, linh hóa tử trái (t.ư, phải) của X là một iđêan trái (t.ư, phải) hữu hạn sinh.
2.1.2 Ví dụ. Dễ thấy mỗi vành Noether trái đều là vành AFG trái. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát điều ngược lại thì không nhất thiết đúng. Chẳng hạn, ta có thể chọn R=K x x[ ,1 2,,xn,] với K là một trường nào đó. Khi đó rõ ràng Rlà miền nguyên (vì thế là vành AFG hai phía) nhưng không là vành Noether. Như vậy vành
AFG là một mở rộng thực sự của vành Noether.
Tính chất cơ bản
Sau đây là một số tính chất cơ bản của vành AFG, các tính chất này được thể hiện trong định lý sau:
2.1.3 Định lý. Cho R là một vành, các khẳng định sau là tương đương:
(1) R là vành AFG trái.
(2) Môđun đối ngẫu M* =Hom M RR( , ) của bất kì R -môđun phải xylic M là hữu hạn sinh.
(3) Mỗi R -môđun trái xylic xoắn yếu đều là môđun biểu diễn hữu hạn.
(4) Tích trực tiếp của họ nào đó các bản sao của R R là môđun xạ ảnh đơn.
(5) Tích trực tiếp của một họ các R -môđun phải xạ ảnh đơn là xạ ảnh đơn.
(6) Mỗi R -môđun phải xylic đều có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh.
(7) Mỗi R -môđun phải xylic đều có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn.
(8) Mỗi R -môđun phải đều có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn.
Chứng minh. (1)⇔(2) Lấy I là iđêan phải bất kì của R. Ta định nghĩa ánh xạ
( )*
: R I/ l I( )
α → theo cách như sau:
(1), ( / ) .*
f f f ∈ R I
Dễ thấy α là đồng cấu. Hơn nữa, α là đẳng cấu, thật vậy:
• α là đơn cấu vì f ∈Kerα ⇔α( )f = ⇔0 f(1)= ⇔ ≡0 f θ, với θ là ánh xạ không.
• Với mỗi x∈l I( ), do xa = ∀ ∈0, a I nên điều này kéo theo sự tồn tại của đồng cấu fx:R I/ → R được xác định bởi (1)fx =x. Rõ ràng (α fx)=x, vì vậy α là toàn cấu.
Bây giờ, giả sử ta có (1) và giả sử M là R-môđun phải xylic. Vì M là R- môđun phải xylic nên M ≅R J/ với J là iđêan phải của R. Mặt khác R là vành
AFG trái nên ( )l J là iđêan trái hữu hạn sinh, kết hợp với α là đẳng cấu, ta suy ra ( / )R J * là hữu hạn sinh nên (2) thỏa.
Ngược lại, giả sử ta có (2). Lấy X là một tập con khác rỗng của R , đặt A là iđêan phải của R sinh bởi tập X , dễ thấy ( )l X =l A( ). Theo (2) ta có ( /R A)* là hữu hạn sinh, bên cạnh đó α là đẳng cấu nên ta suy ra ( )l A là hữu hạn sinh hay
( )
l X là hữu hạn sinh. Vậy R là vành AFG trái.
(1)⇒(3) Giả sử R là vành AFG trái và giả sử M là R-môđun trái xylic xoắn yếu. Do M là R-môđun trái xylic nên M ≅ R I/ với I là iđêan trái của R. Mà M là xoắn yếu nên R I/ là xoắn yếu. Theo Nhận xét 1.1.33 ta suy ra iđêan trái I là một linh hóa tử trái. Mặt khác I là hữu hạn sinh do R là vành AFG trái. Dễ thấy
/
R I là môđun biểu diễn hữu hạn qua dãy khớp sau:
0→ → →I R R I/ →0. Vậy M là môđun biểu diễn hữu hạn.
(3)⇒(1) Giả sử mỗi R-môđun trái xylic xoắn yếu đều là môđun biểu diễn hữu hạn. Lấy X là tập con khác rỗng bất kì của R và đặt I =l X( ). Theo Nhận xét 1.1.33, ta suy ra R I/ là R-môđun trái xylic xoắn yếu. Mà mọi R-môđun trái xylic xoắn yếu đều là môđun biểu diễn hữu hạn nên R I/ là biểu diễn hữu hạn. Tiếp tục, ta xét dãy khớp 0→ → →I R R I/ →0, theo Mệnh đề 1.1.12 ta có I là hữu hạn sinh. Vậy R là vành AFG trái.
(2)⇒(6)Giả sử M là R-môđun phải xylic. Vì M* là hữu hạn sinh nên tồn tại tập sinh hữu hạn S ={fj∈M*:1≤ ≤j n}. Ta định nghĩa đồng cấu :f M →Rn theo cách sau:
1 2
( ( ), ( ), , n( )), . x f x f x f x x∈M
Chúng ta sẽ đi chứng minh f là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh của M .
Đầu tiên, ta cần chứng minh với mọi m≥1 và bất kì đồng cấu :g M → Rm, tồn tại :h Rn →Rm sao cho g =hf . Đặt πi :Rm → R là phép chiếu thứ i, 1≤ ≤i m. Do πig∈M* nên tồn tại rij ∈R (1≤ ≤j n) sao cho
1 n
ig j r fij j
π =∑ = . Ta định nghĩa đồng cấu h Ri : n → R theo quy tắc sau:
1 2
1
( , , , ) , .
n
n ij j j
j
a a a r a a R
=
∑ ∈
Do Rn là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu :h Rn →Rm sao cho hi =πih. Khi đó
ihf h fi ig
π = =π và vì thế g =hf .
Bây giờ, giả sử có đồng cấu :β M → P với P là R-môđun phải xạ ảnh. Khi đó, do Plà xạ ảnh nên kéo theo P là xạ ảnh đơn và vì thế tồn tại R-môđun phải tự do hữu hạn sinh Fvà các đồng cấu :γ M →F,α :F →P sao cho αγ β= . (theo Định lý 1.1.18). Vì F là môđun tự do hữu hạn sinh nên tồn tại đồng cấu :ϕ Rn →F sao cho ϕf =γ. Đặt λ αϕ= , rõ ràng λf =β . Vậy f chính là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh của M .
(6)⇒(7) Giả sử M là R-môđun phải xylic. Theo (6) thì M có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh :α M →P với P là R-môđun phải xạ ảnh. Ta sẽ đi chứng minh α chính là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn của M . Thật vậy, với bất kì R-môđun phải xạ ảnh đơn N và bất kì đồng cấu :f M → N, luôn tồn tại một R-môđun phải tự do hữu hạn sinh F, các đồng cấu :g M → F và h F: →N sao cho f =hg (theo Định lý 1.1.18). Do α là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh của M và F là môđun xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu :β P→F sao cho βα = g. Vì thế f =(hβ α) . Điều này chứng tỏ α là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn của M .
(7)⇒(5) Giả sử { }Mi i I∈ là một họ các R-môđun phải xạ ảnh đơn và N là môđun con xylic bất kì của i
i I
M
∏∈ . Bây giờ ta xét phép nhúng ɩ : i
i I
N M
∈
→∏ và
đặt i: i i
i I
M M
π
∈
∏ → là phép chiếu thứ i. Vì mỗi Mi là xạ ảnh đơn nên tồn tại R- môđun phải tự do hữu hạn sinh Fi, các đồng cấu :gi N → Fi, h Fi: i →Mi sao cho πiɩ =h gi i (theo Định lý 1.1.18). Theo (7) thì N có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn :f N → K, vì Fi là xạ ảnh đơn nên tồn tại đồng cấu :ki K →Fi sao cho
i i
k f =g .
Vậy i
i I
M
∏∈ là xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.18).
(5)⇒(8)Giả sử N là R-môđun phải. Theo Định lý 1.1.22, có một bản số vô hạn ℵα phụ thuộc vào Card N và Card R sao cho với bất kì đồng cấu :f N →L với L là R-môđun phải xạ ảnh đơn, tồn tại một môđun con thuần khiết Q của L sao cho Card Q≤ ℵα và ( )f N ⊆Q. Khi đó ta có thể phân tích f như sau:
'
f i
N→ →Q L
với '( )f x = f x( ),∀ ∈x N, i là ánh xạ nhúng và Q là xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.21). Bây giờ ta xét ( )ϕi i I∈ là họ tất cả các đồng cấu ϕi:N →Qi với
Card Qi ≤ ℵα và Qi là xạ ảnh đơn và ta định nghĩa đồng cấu : i
i I
h N Q
∈
→∏ theo
cách sau:
( ( ))i i I x ϕ x ∈ . Theo (5) ta có i
i I
Q
∏∈ là R-môđun phải xạ ảnh đơn, đồng thời dễ dàng thấy rằng bất kì đồng cấu :g N →M với M là R-môđun phải xạ ảnh đơn thì g luôn có sự phân tích qua một R-môđun phải xạ ảnh đơn Qj với j∈J nên h chính là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn của N.
(8)⇒(4) Để chứng minh tích trực tiếp của họ nào đó các bản sao của RR là môđun xạ ảnh đơn, trước hết ta cần chứng minh lớp C các R-môđun phải xạ ảnh đơn trong phạm trù các R-môđun phải ModR là đóng với hạng tử trực tiếp.
Giả sử P= ⊕P1 P2 là R-môđun phải xạ ảnh đơn, ta cần chứng minh các , 1,2P ii = là các môđun xạ ảnh đơn. Để đơn giản, ta chỉ cần chứng minh P1 là xạ ảnh đơn, chứng minh tương tự đôí với P2. Bây giờ ta gọi N là môđun con xylic bất kì của P1 và đặt ɩ :N →P1 là ánh xạ nhúng. Ta nối kết N → = ⊕P P1 P2 bởi đồng cấu j1ɩ , trong đó j1là phép nhúng từ P1 vào P. Do Plà xạ ảnh đơn nên tồn tại R-môđun phải tự do hữu hạn sinh F, các đồng cấu :g N →F, f F: →P sao cho j1ɩ = fg (theo
Định lý 1.1.18). Đặt h=π1f với π1 là phép chiếu từ P xuống P1, khi đó ta có
1( ) ( 1 1)
hg=π fg = π j ɩ =ɩ . Do đó P1 là môđun xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.18).
Như vậy lớp C đóng với hạng tử trực tiếp. Điều này kéo theo C đóng với tích trực tiếp (theo Định lý 1.1.24). Do đó tích trực tiếp của họ nào đó các bản sao của RR là môđun xạ ảnh đơn (do RR∈ C ).
(4)⇒(2) Giả sử A là một R-môđun phải xylic. Với mỗi tập chỉ số I, t có đồng cấu chính tắc α:RRI ⊗R A*→(A*)I được định nghĩa như sau:
(( )rj j I R ) ( j)j I, j( )x rj ( ), x rj R, A x*, A. α ∈ ⊗ θ = δ ∈ δ = θ ∈ θ∈ ∈
Ta sẽ đi chứng minh α là toàn ánh. Thật vậy, lấy (fj)j I∈ ∈A*. Khi đó do RR là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu :β A→RRI sao cho fj =π βj , trong đó πj:RRI →R là phép chiếu lên thành phần thứ j. Bên cạnh đó, theo (4) ta có RRI là môđun xạ ảnh đơn nên tồn tại một R-môđun phải tự do hữu hạn sinh Rn, các đồng cấu
:A Rn, :Rn RRI
γ → ϕ → sao cho β ϕγ= . Gọi p Ri : n →R là phép chiếu lên thành phần thứ i và λi :R→ Rn là phép nhúng thứ i, i =1, 2,,n. Đặt ai =ϕλi(1) và
i i
g = pγ . Khi đó, ∀ ∈a A ta có:
1 1
( ) ( ) ( ( )) ( ).
n n
j j j i i j i i
i j
f a π β a π ϕ λ p γ a π a g a
= =
= = ∑ = ∑
Do đó fj =πj∑nj=1a gi i và vì vậy nên 1
( ) ( ).
n
j j I i i
j
f ∈ α a g
=
= ∑ ⊗
Vậy α là một toàn cấu, điều này kéo theo A* là R-môđun trái hữu hạn sinh (theo Mệnh đề 1.1.2).
Cũng như các lớp vành khác, một cách tự nhiên, chúng ta sẽ đặt ra câu hỏi là : Liệu khái niệm trái và phải trên vành AFG có đối xứng hay không? Ví dụ sau sẽ giúp chúng ta làm rõ điều này.
2.1.4 Ví dụ. Chọn K là một trường với trường con L sao cho dimL K = ∞ và đồng thời tồn tại một đẳng cấu trường ϕ:K → L (chẳng hạn, có thể chọn
1 2 3 2 3
( , , , ), ( , , )
K = x x x L= x x ). Đặt R= ×K K, khi đó Rlà một vành với phép nhân được định nghĩa như sau:
( , ), ( ', ')x y x y R, ( , )( ', ')x y x y (xx', ( ) 'ϕ x y yx').
∀ ∈ = +
R có chính xác 3 iđêan phải : 0, ,(0, )R K . Thật vậy, giả sử I là iđêan phải bất kì của R và I ≠0, ta xét các trường hợp sau:
• Tồn tại ( , )a b ∈I với a≠0.
Vì L K, là các trường và ϕ là đẳng cấu nên ( , )∀ x y ∈R,luôn tồn tại
1 1 1
( ', ')x y =(a x− , ( ) (ϕ a − y−ba x− ))∈R thỏa ( , ) ( , )( ', ')x y = a b x y ∈I . Do đó I =R.
• Tồn tại (0, )b ∈R với b≠0 (do I ≠0)
Khi đó (0, ) (0, )∀ y ∈ K , tồn tại(b y−1 ,1)∈R (do L K, là các trường) thỏa (0, )y =(0, )(b b y−1 ,1)∈I. Cho nên I =(0,K) .
Do đó R là vành Noether phải và vì thế R là vành AFG phải. Tuy nhiên, R không là vành AFG trái vì với a=(0,1)∈R l a, ( )⊆R là không hữu hạn sinh. Thật vậy, vì
( , )x y a=(0, ( ))ϕ x nên ( )l a =(0,K). Và với mỗi (0, ) (0, )z ∈ K ta có : (0, ) {(0, ( ) ), } .
R z = ϕ x z x∈K ≅Lz Mà dimLK = ∞ nên kéo theo ( )l a ⊆R là không hữu hạn sinh.
Vậy vành AFG sẽ đối xứng khi nào? Mệnh đề sau là một câu trả lời cho câu hỏi đó.
2.1.5 Mệnh đề. Cho R là vành pseudo-coherent hai phía, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là vành AFG trái.
(2) R là vành AFG phải.
Chứng minh. (1)⇒(2) Giả sử M là R-môđun phải xylic xoắn yếu. Do R là vành AFG trái nên M* là hữu hạn sinh (theo Định lý 2.1.3). Vì thế tồn tại một dãy khớp
* 0
f
F→M → với F là R-môđun trái tự do hữu hạn sinh, và khi đó ta cũng có dãy sau cũng khớp
*
** *
0
f
M F
→ →
với F* là R-môđun phải tự do hữu hạn sinh (theo Nhận xét 1.1.31). Do M là xoắn yếu và f* là đơn cấu nên ta có thể nhúng M vào F* .
Mặt khác, ta có M ≅R I/ với I là iđêan phải của R (vì M là xylic), theo giả thiết R là vành pseudo-coherent phải và ta vừa chứng minh được M có thể nhúng vào F* nên I là hữu hạn sinh. Vì vậy M là môđun biểu diễn hữu hạn. Theo Định lý 2.1.3, ta suy ra R là vành AFG phải.
(2)⇒(1) Chứng minh tương tự.
§2. Ứng dụng
Tiết này chúng tôi sẽ sử dụng những tính chất của vành AFG để mô tả các vành đặc biệt, chẳng hạn như: QF -vành, vành CF, vành PP, .
2.2.1 Mệnh đề. Các khẳng định sau là tương đương đối với vành R : (1) R là QF-vành.
(2) R là vành AFG trái và là vành đối ngẫu hai phía.
(3) R là vành AFG trái và là vành Pseudo-Frobenius trái.
Chứng minh. (1)⇒(2) hiển nhiên.
(2)⇒(1) Vì R là vành AFG trái và là vành đối ngẫu trái nên R là vành Noether trái. Hơn nữa, theo Định lý 1.1.26, Định lý 1.1.27 và Mệnh đề 1.2.10, ta suy ra R là vành nội xạ trái. Vậy R là QF -vành.
(1)⇒(3) Vì R là QF-vành nên R là vành Noether trái, do đó là vành AFG trái. Hiển nhiên RR là nội xạ (do R là QF-vành). Mặt khác, mỗi R-môđun trái M đều có một bao nội xạ ( )E M , mà môđun nội xạ trên QF-vành là môđun xạ ảnh nên E M( ) là xạ ảnh (theo Mệnh đề 1.2.5). Vì thế ta có thể nhúng M vào trong một R-môđun trái tự do nào đó. Vậy R là vành Pseudo-Frobenius trái.
(3)⇒(1) Vì R là vành AFG trái và là đối ngẫu trái (do R là vành Pseudo- Frobenius trái) nên R là vành Noether trái. Dễ thấy RR là nội xạ trái do R là vành
Pseudo-Frobenius trái. Vậy R là QF-vành.
Dễ dàng thấy rằng đối với một vành R bất kì, ta luôn có lược đồ sau:
R là vành Noether trái⇒ R là vành AFG trái⇒R là vành pseudo-coherent trái.
Chiều ngược lại trong trường hợp tổng quát thì không nhất thiết đúng. Tuy nhiên, nếu R là vành CF trái thì ta hoàn toàn có chiều ngược lại.
2.2.2 Mệnh đề. Cho R là vành CF trái, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là vành AFG trái.
(2) R là vành pseudo-coherent trái.
(3) R là vành Noether trái.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (2)⇒(3). Giả sử I là một iđêan trái của R. Vì R là vành CF trái nên tồn tại một đơn cấu : /ϕ R I → F với F là môđun tự do.
Vì F là môđun tự do nên F là môđun xạ ảnh đơn. Khi đó, tồn tại R -môđun trái tự do hữu hạn sinh ,R nn ∈ và các đồng cấu : /f R I →Rn , g R: n → F sao cho gf =ϕ (theo Định lý 1.1.18). Do ϕ là đơn cấu nên f là đơn cấu. Đặt
1 2
(1) ( , , , n)
f = a a a . Dễ dàng kiểm tra I =l X( ) với X ={ ,a a1 2,,an} và vì thế I là hữu hạn sinh (do (2)). Vậy R là vành Noether trái. Trên thực tế nói chung, vành AFG trái không nhất thiết là vành coherent trái, mặc dù vành AFG trái là vành pseudo-coherent trái. Ví dụ sau sẽ giúp chúng ta thấy rõ điều này: Giả sử x y y, 1, 2, là những hệ số vô định trên trường K . Đặt
2 3
[ , , ,i i]
R=K x x y xy và S =K x y[ , i]. Khi đó R là vành con của miền nguyên S nên R là vành AFG hai phía, nhưng R không là vành coherent (theo [9, p.110]).
Tuy nhiên, vành AFG trái R là vành coherent trái nếu R là vành FP-nội xạ phải.
2.2.3 Mệnh đề. Nếu R là vành AFG trái và là vành FP-nội xạ phải thì R là vành coherent trái.
Chứng minh. Do R là vành AFG trái nên ( )l a là iđêan trái hữu hạn sinh với bất kì a∈R . Hơn nữa, lấy I và J là hai iđêan trái hữu hạn sinh bất kì của R , khi đó do R là vành FP-nội xạ phải nên I =l X( ) và J =l Y( ) với X và Y là hai tập con khác rỗng nào đó của R (theo Mệnh đề 1.2.14). Dễ thấy I∩ =J l X( ∪Y) và do đó I ∩J là iđêan trái hữu hạn sinh vì R là vành AFG trái. Vậy theo Định lý 1.1.4,
ta suy ra R là vành coherent trái.
Dựa vào định nghĩa vành Baer, chúng ta dễ dàng thấy rằng: mỗi vành Baer đều là vành AFG hai phía. Nhưng trong trường hợp tổng quát, điều ngược lại thì không
nhất thiết đúng. Chẳng hạn 4 là vành AFG hai phía nhưng không là vành Baer (vì iđêan {0, 2} không được sinh bởi một phần tử lũy đẳng). Tuy nhiên, chúng ta có kết quả sau:
2.2.4 Mệnh đề. Cho R là một vành, các khẳng định sau là tương đương:
(1) R là vành Baer và là vành FP-nội xạ phải.
(2) R là vành Baer và là vành FP-nội xạ trái.
(3) R là vành chính quy von Neumann và là vành AFG trái.
(4) R là vành chính quy von Neumann và là vành AFG phải.
Chứng minh. (1)⇒(3) và (4) Giả sử I là iđêan trái hữu hạn sinh của R. Vì R là vành FP-nội xạ phải nên I là một linh hóa tử trái của một tập con khác rỗng nào đó của R (theo Mệnh đề 1.2.14). Điều này kéo theo I là một hạng tử trực tiếp của RR (do R là vành Baer). Vậy R là vành chính quy von Neumann (theo Mệnh đề 1.2.17).
(2)⇒(3) và (4) Tương tự.
(3)⇒(1) và (2) rõ ràng (theo Mệnh đề 1.2.17).
(4)⇒(1) rõ ràng (theo Mệnh đề 1.2.17).
Kết hợp Mệnh đề 1.2.19 và Mệnh đề 2.2.4, chúng ta có hệ quả sau:
2.2.5 Hệ quả. Cho R là một vành, các khẳng định sau là tương đương:
(1) R là vành Artin hai phía nửa đơn.
(2) R là vành chính quy von Neumann, vành AFG trái và là vành đối ngẫu trái.
(3) R là vành chính quy von Neumann, vành AFG trái và là vành đối ngẫu phải.
Bây giờ chúng ta sẽ mô tả vành CF, nhưng trước hết chúng ta cần bổ đề sau:
2.2.6 Bổ đề. Cho R là một vành, các khẳng định sau là tương đương:
(1) R là vành CF phải.
(2) Mỗi R -môđun phải nội xạ là xạ ảnh đơn.
(3) Bao nội xạ của mỗi R -môđun phải xylic là xạ ảnh đơn.
Chứng minh. (1)⇒(2) Giả sử N là môđun con xylic của R-môđun phải nội xạ M . Đặt ɩ :N →M là ánh xạ nhúng. Vì R là vành CF phải nên N có thể nhúng
vào một R-môđun phải tự do nào đó, nghĩa là tồn tại đơn cấu :g N →F . Mà M là nội xạ nên tồn tại đồng cấu h F: →M sao cho ɩ =hg. Hơn nữa, F là xạ ảnh đơn (do F là tự do) nên kéo theo M là xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.18).
(2)⇒(3) và (3)⇒(1) hiển nhiên.
2.2.7 Định lý. Cho R là vành AFG trái, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là vành CF phải.
(2) R là vành đối ngẫu phải.
(3) Mỗi R -môđun phải xylic đều có một đơn cấu tiền phủ xạ ảnh.
(4) Mỗi R -môđun phải xylic đều có một đơn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn.
(5) Mỗi R -môđun phải đều có một đơn cấu tiền phủ xạ ảnh.
Chứng minh. (1)⇒(5) Giả sử M là R-môđun phải. Khi đó M có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn f M: →F (theo Định lý 2.1.3) Xét đồng cấu nhúng
: ( )
i M →E M với ( )E M là bao nội xạ của M . Theo Bổ đề 2.2.6 thì ( )E M là xạ ảnh đơn, do đó tồn tại đồng cấu :g F →E M( ) sao cho gf =i .Dễ thấy f là đơn cấu do i là đơn cấu. Vậy f chính là đơn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn của M .
(5)⇒(4) hiển nhiên.
(4)⇒(3) Giả sử M là R-môđun phải xylic. Theo (4) thì M có một đơn cấu tiền phủ xạ ảnh đơn :f M → P . Khi đó, do P là xạ ảnh đơn nên tồn tại một R- môđun phải tự do hữu hạn sinh F , đồng cấu :g M →F , h F: →P sao cho
f =hg (theo Định lý 1.1.18). Vì f là đơn cấu nên g là đơn cấu. Rõ ràng g chính là đơn cấu tiền phủ xạ ảnh của M .
(3)⇒(2) Giả sử I là iđêan phải của R . Khi đó, tồn tại một đơn cấu
: / n
f R I → R với n∈ (theo (3) và Định lý 1.1.18). Đặt f(1)=( ,a a1 2,,an) , dễ dàng kiểm tra I =l X( ) với X ={ ,a a1 2,,an} . Vậy R là vành đối ngẫu phải.
(2)⇒(1) Giả sử M là R-môđun phải xylic. Vì M là môđun xylic nên /
M ≅R A với A là iđêan phải của R .Mặt khác, R là vành đối ngẫu phải nên A là linh hóa tử phải, và do đó R A/ là R-môđun phải xoắn yếu (theo Nhận xét 1.1.33).