CHƯƠNG 2 NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN
2.2. Nhóm con t ựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn
Cho Z là một tập không rỗng các nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G.
Z được gọi là tập đầy đủ các nhóm con Sylow của G nếu với mọi số nguyên tố p chia hết cấp G thì Z chứa đúng một p-nhóm con Sylow của G,gọi là Gp. Ta đã biết một nhóm con H của G được gọi là S-tựa chuẩn tắc nếu H giao hoán với mọi nhóm con Sylow của G. Tính S-tựa chuẩn tắc của các nhóm con này là một công cụ khá mạnh khi nghiên cứu về các nhóm hữu hạn G, tuy nhiên trong một số trường hợp,tính chất mà ta định nghĩa sau đây, tính Z-tựa chuẩn tắc, đôi khi sẽ hữu ích hơn.
2.2.1. Định nghĩa
Cho H là một nhóm con của nhóm G,Z =
1 2
{ , ,..., }
p p pn
G G G là một tập đầy đủ các nhóm con Sylow của G,trong đó pi∈σ( ),G ∀ =i 1,...,nthỏa p1< p2 < <... pn Nhóm con H được gọi là nhóm con Z -tựa chuẩn tắc của G nếu H giao hoán với mọi phần tử của Z, tức là
, {1, 2,..., }.
i i
p p
G H =HG ∀ ∈i n
Rõ ràng mọi nhóm con S-tựa chuẩn tắc của G đều luôn là nhóm con Z -tựa chuẩn tắc của G, nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra điều đó.
2.2.2. Ví dụ
Cho nhóm G=S3×C2
Trong đóS3 = a b a, | 3=b2 =1 ,bab=a2 , C2 = x ;G={ ( )u x, |u∈S x3, ∈C2}
Ta có: |G| 3!.2= =12=2 32. . Gọi n n2, 3 lần lượt là số 2-nhóm con Sylow và 3-nhóm con Sylow của G.
Vì 33
3
1(mod
\
3)
\ 12
2 n n n
≡
nên n3 =1. Vậy G chỉ có duy nhất một 3-nhóm con Sylow và đó là a
Tương tự, ta cũng có { 22 2 2
1(mod 1 12
\ \3
2) n
n n
n ≡ ⇒ ⇒ = hoặc n2 =3
Mà b ×C2 là một 2-nhóm con Sylow của G nhưng không chuẩn tắc trong G. Vậy
2 3
n = , và các 2-nhóm con Sylow của G là : b ×C2, ab ×C2, ba ×C2
Chọn Z={ b ×C2, a }là một hệ đầy đủ các nhóm con Sylow của G.Vì a là nhóm con chuẩn tắc của G nên a giao hoán với tất cả các nhóm con của G. Do đó các nhóm con tối đại của b ×C2 là các nhóm con Z -tựa chuẩn tắc của G.
Xét 2-nhóm con Sylow ab ×C2. Ta có ( )b x, không giao hoán với ab ×C2 , trong đó ( )b x, là nhóm con tối đại của 2-nhóm con Sylow b ×C2. Vậy, ( )b x, không là nhóm con S-tựa chuẩn tắc của G.
Cho Z là một tập đầy đủ các nhóm con Sylow của G và N là một nhóm con chuẩn tắc của G.Ta kí hiệu Z N là tập các nhóm con của G như sau
ZN {= G Np :Gp∈ Z}
∩ ập các nhóm con của N
Z∩N ={Gp∩N G: p∈Z } và N
N là tập các nhóm con của G N N N={ p : p
G N G
N ∈Z}
2.2.3. Định lí
Cho Z={Gp| p∈σ( )G } là một tập đầy đủ các nhóm con Sylow của G, U là một nhóm con Z -tựa chuẩn tắc của G và N là một nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó
(i) Z∩N và N
N lần lượt là các tập đầy đủ các nhóm con Sylow của N và G . N (ii) UN
N là một nhóm con NN-tựa chuẩn tắc của GN
(iii) Nếu U là một nhóm con của N thì U là nhóm con Z∩N- tựa chuẩn tắc của N.
Chứng minh
(i) Giả sử p là một ước nguyên tố của |N|,khi đó với Gp∈Z, theo định lí 1.3.5,ta có Gp ∩N là p-nhóm con Sylow của N. Do Z chỉ chứa duy nhất một p-nhóm con Sylow của G,làGp, nênZ∩N chỉ chứa duy nhất một p-nhóm con Sylow của N, làGp∩N, như vậyZ∩N là tập đầy đủ các nhóm con Sylow của N.
(ii) Chứng minh tương tự, ta cũng có ZN N là tập đầy đủ các nhóm con Sylow của G N.
(iii) Với mỗi G N Np ∈ZN N, ta có U giao hoán với Gp nên UN N giao hoán với G N Np . Do vậy UN N là một nhóm con ZN N-tựa chuẩn tắc của G N.
(iv) Lấy Gp∈Z, vì U ⊆N N, Gnên U G( p∩N)=(UGp)∩N. Do U là nhóm con Z-tựa chuẩn tắc của G nên UGp là nhóm con của G.Suy ra U G( p∩N)là nhóm con của N. Từ đây suy ra U là nhóm con Z∩N-tựa chuẩn tắc của N.
Sau đây sẽ là một hệ quả quan trọng và cần thiết cho việc chứng minh của các định lí chính ở mục sau.
2.2.4. Hệ quả
Cho Z là một tập đầy đủ các nhóm con Sylow của G.Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho các nhóm con tối đại của Gp∩H là nhóm con Z-tựa chuẩn tắc của G.Khi đó, với bất kì nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N của G,các nhóm con tối đại của (
G Np
N) ∩ (HNN) là các nhóm con N
N-tựa chuẩn tắc của GN. Chứng minh
Vì (ZN N)∩(HN N)={N G( p ∩HN) N G: p∈Z}vàGp∩HN=(Gp∩H G)( p∩N)nên ta có
( N
N)∩(HN N)={ ( p ) :
p
G H N
N G
∩ ∈Z }=(Z∩H)N/N.
Lấy P=Gp∩H∈(Z∩H) và M
N là nhóm con tối đại của PN
N .Vì NM nên MN=M, do đó M =PN∩M =PN∩MN =(P∩M N) và P∩M là nhóm con tối đại của P, theo giả thiết, P∩M là nhóm con Z -tựa chuẩn tắc của G. Áp dụng định lí 2.2.3(ii), ta được M N là nhóm con N