M ột số khái niệm và tính chất của môđun coatomic

Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

2.1. M ột số khái niệm và tính chất của môđun coatomic

Trong phần này chúng tôi giả sử vành Rlà vành Noether giao hoán có đơn vị 1 0≠ . Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày cấu trúc đại số của môđun coatomic.

Định nghĩa 2.1.1. Một R-môđun M được gọi là môđun coatomic nếu mỗi môđun thực sự của M chứa trong một môđun cực đại của M .

Hệ quả 2.1.2. Nếu M là R-môđun đơn thì M là R-môđun coatomic.

Định nghĩa 2.1.3. ChoR-môđun M . Khi đó, căn của môđun M là giao tất cả môđun con tối đại của M .

Định nghĩa 2.1.4. ChoR-môđun M . Khi đó, đế của môđun M là tổng tất cả môđun con đơn của M .

Mệnh đề 2.1.5. Một R-môđun M là môđun coatomic nếu và chỉ nếu với mọi môđun con Ncủa M sao cho Rad(M N)=M N thì M =N.

Chứng minh.

(⇒) Hiển nhiên.

(⇐) Giả sử Nlà môđun con của môđun M nhưng không chứa trong bất kì môđun con cực đại của M .

Do đó M N không chứa trong bất kì môđun cực đại nào.

Suy ra Rad(M N)=M N nên M =N(mâu thuẫn).

Ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 2.1.6. Nếu M là R-môđun coatomic thì Rad M( ) là môđun con đối cốt yếu của M .

Chứng minh.

Giả sử M =Rad M( )+N với Nlà môđun con của M .

Do M là R-môđun coatomic suy ra tồn tại môđun con tối đại P của môđun M .

Suy ra Rad M( )⊂P, do đó M =Rad M( )+ ⊂N P (mâu thuẩn).

Nên M =N và ta được điều phải chứng minh.

Một kết quả liên quan giữa môđun hữu hạn sinh và môđun coatomic được trình bày rõ thông qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.7. Nếu R-môđun M là môđun hữu hạn sinh thì M là môđun coatomic.

Chứng minh.

Giả sử M là R- môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của M . Tập hợp ∆ môđun con thực sự của M chứa môđun con N. Tức là,

{M' M N M'}

∆ = ≤ ⊆ . Ta có N∈∆ ⇒ ∆ ≠ ∅.

Giả sử { }Ni i I∈ là dãy dây chuyền tăng theo bao hàm thức trong ∆.

Đặt k

k I

L N

∈

= ta sẽ chứng minh L∈∆. Thậy vậy, ta có N⊂ Nk,∀ ∈ ⇒ ∈k I N L. Hơn nữa, ta có L là môđun con của M . Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh L≠M.

Giả sử ngược lại L=M. Do M là R- môđun hữu hạn sinh.

Suy ra

1 n

i i

M Rm

=

=∑ nên mi∈Nki với ki∈I với mỗi i∈{1; 2;; n}.

Chọn j∈{k k1; 2;;kn} sao cho Nj lớn nhất theo quan hệ bao hàm trong tập hợp

{ 1; 2; ; }

k k kn

N N  N .

Suy ra mi∈Nj với mọi i∈{1; 2;; n}. Do đó Nj =M (mâu thuẩn).

Theo bổ đề Zorn suy ra ∆ tồn tại phần tử tối đại. Ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 2.1.8.

(i)  là -môđun coatomic.

(ii) Cho Klà một trường và vành đa thức hữu hạn biến

[ 1, 2, , n]

R=K X X  X . Khi đó, ta có R là R-môđun coatomic.

(iii) Cho Klà một trường và vành đa thức vô hạn biến

[ 1, 2, , n, ]

R=K X X  X  . Khi đó, ta có R không là R-môđun coatomic.

Hệ quả 2.1.9. Nếu M là R-môđun Noether thì Mlà R-môđun coatomic.

Tiếp theo chúng tôi xin trình bày một lớp môđun gần gũi với môđun coatomic đó là môđun nửa đơn thể hiện qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.10. Nếu R-môđun M là nửa đơn thì M là môđun coatomic.

Chứng minh.

Giả sử i

i I

M M

= ⊕∈ , trong đó Mi là môđun con đơn của M , với mọi i∈I. và N là môđun con thực sự của M.

Suy ra tồn tại I⊆ J sao cho M N ( )i JMi

= ⊕ ⊕∈ . Ta có N ≠M ⇒ ≠ ∅ ⇒ ∃ ∈J i0 J.

Khi đó { }

0

i J i i

L N M

∈

 

= ⊕ ⊕  là môđun con của M chứa N và

i0

M = ⊕L M . Bây giờ, ta cần chứng minh Llà tối đại trong M.

Giả sử tồn tại môđun con L'sao cho L⊆L'M , nên

' i0

L ∩M = ∅. Lấy bất kì x∈L' : x= +y z, với y∈L z, ∈Mi0

Do L' là R-môđun nên z= − ∈ ⇒ ∈ ∩y x L' z L' Mi0 ⇒ =z 0.

Suy ra L=L', nên L là môđun tối đại của M chứa môđun con N . Vậy M là R-môđun coatomic.

Mệnh đề 2.1.11. Cho M là mộtR-môđun coatomic. Nếu N là R-môđun con của R-môđun M thì N là R-môđun coatomic.

Chứng minh.

Giả sử rad N U( / )≠0 với Ulà môđun con của N.

Suy ra tồn tại f :N →Esao cho rad(Imf)≠0và E là bao nội xạ môđun đơn.

Nên E là môđun Artin.

Do đó mọi môđun con coatomic E' của E đều hữu hạn sinh.

Từ f xây dựng ánh xạ g M: →E. Suy ra Im f ⊂Img.

Do đó Im , Imf ghữu hạn sinh (mâu thuẫn). Ta được điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.1.12. Cho R-đồng cấu môđun f M: →N. Nếu M N, là R-môđun coatomic thì Imf , K erf là R-môđun coatomic.

Hệ quả 2.1.13. Nếu Ni,∀ ∈i I là môđun của R-môđun coatomic M thì i i I

N

∈

là môđun của R-môđun coatomic.

Hệ quả 2.1.14. Nếu Ni,∀ ∈i I là môđun của R-môđun coatomic M và thỏa mãn điều kiện với mọi i j, ∈I thì tồn tại k∈I sao cho N Ni, j ⊂Nkthì

i i I

N

∈ là môđun của R-môđun coatomic.

Nhận thấy hợp của hai môđun coatomic bất kì chưa chắc là một môđun coatomic.

Ví dụ 2.1.15. Cho Klà một trường. Khi đó, ta đặt

{ [ ] ( x) (x)}

A= f ∈K X f − = f và B={f ∈K X[ ] f( x)− = −f(x)}.

Do Klà một trường nên K X[ ] là Noether.

Suy ra A B, là môđun Noether nên A B, là K-môđun coatomic.

Nhưng A∪Bkhông phải là K-môđun con của K-môđun K. Suy ra A∪Bkhông phải là K-môđun coatomic.

Mệnh đề 2.1.16. Cho Mlà R-môđun và N là môđun con của M . Khi đó, ta có các khẳng định sau:

(i) Nếu Mlà R-môđun coatomic thì M N/ là R-môđun coatomic.

(ii) Nếu N và M N/ là R-môđun coatomic thì M là R-môđun coatomic.

Chứng minh.

(i) Giả sử M là R-môđun coatomic và K N/ là môđun con thực sự của môđun M N/ .

Suy ra K là môđun con thực sự của môđun M .

Do đó tồn tại môđun con tối đại Pcủa môđun M chứa môđun K. Nên P N/ là môđun con tối đại của môđun M N/ chứa môđun K N/ . Suy ra M N/ là R-môđun coatomic.

(ii) Giả sử Nvà M N/ là môđun coatomic và X là môđun con thực sự của

M .

Trường hợp 1: Nếu M ≠N+X .

Suy ra (N+X)/N là môđun con thực sự của môđun M N/ .

Vì M N/ là R-môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại L N/ của môđun

/

M N chứa (N+X)/N .

Suy ra X chứa trong môđun con tối đại Lcủa môđun M . Do đó M là R-môđun coatomic.

Trường hợp 2: Nếu M =N+X .

Suy ra X∩N là môđun con thực sự của môđun N. Vì Nlà R-môđun coatomic.

Do đó tồn tại môđun con tối đại Qcủa môđun Nchứa môđun X ∩N. Nên X+Qlà môđun con của môđun M chứa môđun X .

Bây giờ, ta chứng minhX+Q tối đại của môđun M .

Giả sử tồn tại môđun con Q'của môđun M sao cho X + ⊆Q Q'. Suy ra Q⊆N∩Q'môđun con của môđun N chứa X∩N(mâu thuẩn).

Do đó M là R-môđun coatomic.

Hệ quả 2.1.17. Cho dãy khớp ngắn 0→N →M → →P 0. Khi đó, N P, là R

-môđun coatomic nếu và chỉ nếu Mlà R-môđun coatomic.

Chứng minh.

Theo giả thiết, ta có dãy khớp ngắn 0→N →M → →P 0.

Suy ra N là môđun con của môđun M và P=M N/ theo nghĩa sai khác một đẳng cấu.

Do đó nếu M là R-môđun coatomic thì N P, là R-môđun coatomic.

Ngược lại, nếu N P, là R-môđun coatomic thì Mlà R-môđun coatomic.

Mệnh đề 2.1.18. Cho M là R-môđun và N là môđun con đối cốt yếu của

M. Khi đó, M là R-môđun coatomic khi và chỉ khi M N/ là R-môđun coatomic.

Chứng minh.

( )⇒ Hiển nhiên.

( )⇐ Giả sử M N/ là môđun coatomic và Plà môđun con thực sự của môđun M .

Trường hợp 1: Nếu N ⊂P.

Suy ra P N/ là môđun con thực sự của môđun M N/ .

Do M N/ là môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đạiQ N/ của môđun

/

M N chứa môđun P N/ .

Suy ra Q môđun con tối đại của môđun M chứa môđun P. Trường hợp 2: Nếu N ⊄P.

Suy ra P+N N/ là môđun con thực sự của môđun M N/ . Thật vậy, nếu P+N N/ =M N/ ⇒ +P N =M.

Do N là môđun con đối cốt yếu của M nên P=M (mâu thuẫn).

Mặt khác, do M N/ là môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại Q N/ của môđun M N/ chứa môđun P+N N/ =P N/ .

Suy ra K môđun con tối đại của môđun Mchứa môđun P. Do đó M là R-môđun coatomic.

Mệnh đề 2.1.19. Cho M =M1+M2. Nếu M M1, 2 là R-môđun coatomic thì

Mlà R-môđun coatomic.

Chứng minh.

Giả sử U là môđun con thực sự của R-môđun M .

Trường hợp 1: nếu U ⊆M1 nên U môđun con của R-môđun M1. Ta có M1là R-môđun coatomic.

Suy ra tồn tại môđun tối đại Achứa U. Nên M là R-môđun coatomic.

Trường hợp 2: nếu U ⊆M2, chứng minh tương tự trường hợp 1.

Trường hợp 3: nếu U∩M1≠ ∅ và U∩M2 ≠ ∅.

Khi đó, tồn tại môđun con U U1, 2 lần lượt của M M1, 2.

Do M M1, 2là R-môđun coatomic nên tồn tại môđun con tối đại A B, của

1, 2

M M chứa U U1, 2.

Suy ra A+Blà môđun con tối đại của M chứa U. Nên M là R-môđun coatomic.

Hệ quả 2.1.20. Nếu Mi, i∀ =0,n là R-môđun coatomic thì i IMi

⊕∈ là R-môđun coatomic.

Nhận thấy môđun coatomic chưa chắc là một môđun hữu hạn sinh được minh họa thông qua ví dụ sau.

Ví dụ 2.1.21. Cho i

R i R

= ⊕∈

 , trong đó Ri = ∀ ∈, i .

Khi đó, Ri là - môđun coatomic nên Rmôđun coatomic nhưng R không phải là môđun hữu hạn sinh.

Mệnh đề 2.1.22. Cho M làR-môđun coatomic và U là môđun con của M . Khi đó nếu a là một iđêan sao cho

1 i i

U ∞ a M

=

⊂ thìU là a -chia Chứng minh.

Giả sử ngược lại, U không là a-chia nên aU ≠U . Suy ra tồn tại f U: →Evới aIm f =0sao cho f ≠0. Trong đó, E là bao nội xạ của một môđun đơn.

Ta có mở rộng g M: →E sao cho Img có chiều dài hữu hạn.

Suy ra

1 iIm

i

a g

∞

= a-chia.

Do đó Imf =g U( ) là a-chia (mâu thuẫn).

Suy ra U là a-chia.

Hệ quả 2.1.23. Nếu Mlà R-môđun coatomic và J là căn Jacobson từ R thì

1 i 0

i

J M

∞

=

 = .

Chứng minh.

Giả sử ngược lại,

1 i 0

i

J M

∞

=

 ≠ .

Suy ra tồn tại môđun con U khác 0 của R-môđun Msao cho

1 i i

U J M

∞

=

⊂ .

Mà M là R-môđun coatomic.

Suy ra U là J-chia (mâu thuẫn) và ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 2.1.24. Cho Mlà R-môđun. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

(i) M là R-môđun coatomic.

(ii) Mmlà Rm-môđun coatomic với mọi iđêan cực đại m. Chứng minh.

(ii⇒i) Giả sử Mm là Rm-môđun coatomic với mọi iđêan cực đại m và ( / )

X =rad M N , trong đó N là môđun con của M .

Do Mmlà Rm-môđun coatomic nên tồn tại môđun con N' của Mm sao cho

( / ') 0

m m

X =rad M N = với mọi iđêan cực đại m.

Do đó X =0 suy ra M là R-môđun coatomic.

(i⇒ii) Giả M là R-môđun coatomic và A là R-môđun con của M . Khi đó, ta có rad M A( / )m=rad X( m/N') với N'là R-môđun con của Mm. Suy ra M /A là R-môđun m-chia.

Do đó, môđun con của M /A là R-môđun m-chia.

Suy ra AnnR( )x ⊄m với tất cả x∈M A/ nên rad M( /A)m =0. Suy ra Mmlà Rm-môđun coatomic.

Mệnh đề 2.1.25. Cho M là R-môđun coatomic và a-nguyên sơ. Khi đó, nếu có hữu hạn iđêan tối đại m1,...,mk sao cho mỗi phần tử của Ass M( )nằm trong tập hợp {m1,...,mk}thì tồn tạie≥1 sao cho a Me =0.

Chứng minh.

Cho E R( / mi) là bao nội xạ của R/ m , 1i ∀ ≤ ≤i k. Suy ra

1

/ m

k

i i

I R

=

= là đối sinh của M .

Giả sử P∈Ass M( ), sao cho AnnR( )M ⊂ ⊂P mj, với j∈{1, 2,,k}.

Với mỗi 0≠ ∈x M có toàn cấu Rx→R m/ j có thể mở rộng g M: →I sao cho ( ) 0

g x ≠ .

Đặt M0 =HomR(M I, ). Khi đó, ta có ánh xạ chính tắc M →M0 là đơn ánh.

Giả sử M là a-nguyên sơ suy ra M ≅lim→ HomR(R a M/ i, ).

Mà 0 lim / i 0 lim 0/ i 0

M R a R M M a M

← ←

≅ ⊗ ≅ .

Suy ra M0là a-nguyên sơ, và I là Artin với mọi f ∈M0. Suy ra Imflà hữu hạn sinh.

Do đó a Imf=0, n 1n ∀ ≥ nên f ∈AnnM0( )an .

Ta có M0là không gian mêtric đầy đủ hợp với tập con đóng AnnM0( )ai .

Theo định lý Baire, suy ra a Me2 0 ⊂ AnnM0( )ae1 ⇒ae1+e2M0 =0. Đặt e= +e1 e2, ta được điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.1.26. Cho M là R-môđun coatomic, U là môđun con hữu hạn sinh của M và a là iđêan. Khi đó, với mỗi e≥1 tồn tại f ≥1 sao cho

f e

U∩a M ⊂a U. Chứng minh.

Giả sử N môđun a-nguyên sơ.

Suy ra AnnN( )a là môđun con cốt yếu của N nên a⊂Ass N( ).

Giả sử M ,N và e thỏa điều kiện trong giả thiết.

Suy ra tồn tại môđun con tối đại V của M sao choU∩ =V a Ue . Suy ra đơn cấu U a U/ e →M V/ .

Nên M V/ là a-nguyên sơ và Ass M V( / )=Ass U a U( / e ) hữu hạn.

Suy ra a M Vf / =0 với f ≥1 nên U∩a Mf ⊂a Ue . Ta được điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.1.27. Cho M là R-môđun coatomic và S là một tập đóng nhân của R, thì MSlà RS −môđun coatomic.

Chứng minh.

Giả sử ngược lại MSkhông phải là RS −môđun coatomic và MS ≠0. Suy ra tồn tại x∈M sao choAnnR( )x ∩ = ∅S .

Do đópRSlà iđêan cực đại trong RSsao cho AnnR( )x ⊂ p. Suy ra Rx∩p Mf ⊂ pRx, với f ≥1 và ( )

1

f

S S S

x∈M = pR M . Do đósx∈p Mf , với s∈S.

Suy ra s r− ∈AnnR( )x , với r∈p và mâu thuẫn vớis∈p. Ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 2.1.28. Cho môđun M các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là hữu hạn sinh.

(ii) Cho iđêan cực đại và Mm là Rm-môđun là hữu hạn sinh và mỗi môđun thương X của M có As ( )s X hữu hạn.

Chứng minh.

(i⇒ii) hiển nhiên.

(ii⇒i) Giả sử M hữu hạn chiều Goldie và U = ⊕Uλ, với mọi Uλlà cyclic.

Suy ra tồn tại U'⊂U⊂M sao cho U'/ U nửa đơn.

Do đó tất cả U'/ U hữu hạn sinh.

Suy ra môđun thương của M có số chiều Goldie hữu hạn.

Do đó tồn tại môđun con hữu hạn sinh A của Msao cho rad M A( / )=M A/ .

Mà M là môđun coatomic nên A=M . Ta được điều phải chứng minh.