Chương 2: KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF VÀ CÁI ĐỀU HAUSDORFF
2.3. Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương
Cho E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff. Giả sử ( )pi i I∈ là họ lọc của nửa chuẩn xác định topo của E. Khi đó ( , )d x yi = p xi( −y) là nửa khoảng cách, và áp dụng mục 2.2 vào E với họ ( )di i I∈ .
Định lý 2.13. Giả sử { }Fα α∈A là dãy suy rộng những tập đóng của E. Giả sử {Fα} hội tụ đến F đối với topo được xác định ở mục 2.2. Khi đó nếu tất cả Fα là lồi thì F là lồi, nếu tất cả Fα bị chặn thì F bị chặn.
Chứng minh.
1) Giả sử Fα là lồi. Lấy ,x y∈F,λ∈[0;1] và z=λx+ −(1 λ)y. Với mỗi lân cận lồi của 0 , V, tồn tại α sao cho: cho β α≥ thì
và
F ⊂ Fβ +V Fβ ⊂ +F V .
Do đó F∪{ }z ⊂ Fβ +V và Fβ ⊂(F∪{ })z +V .
Cho nên F∪{ }z cũng là giới hạn của ( )Fα . Điều đó chứng tỏ rằng z∈F. 2) Giả sử các Fα là bị chặn. Với mỗi lân cận lồi của 0 , V, tồn tại α sao cho
F ⊂ Fα +V . Mà Fα là bị chặn nên có λ>0 sao cho Fα ⊂λV , do đó ( 1)
F ⊂ λ+ V, và F là bị chặn.
Chú ý. Nếu E là metric hóa được phần thứ nhất suy ra từ công thức cuối cùng của định lý 2 : nếu W ={( , ) /x y p xi( −y)≤ε} thì W A( m) là lồi, do đó
( m)
m n
≥ W A
là lồi, và ( m)
n m n
≥ W A
là lồi vì vậy nó là hợp của dãy suy rộng
những tập lồi.
Định lý 2.14. Nếu E là không gian vector Fréchet thì những không gian sau đây với metric hóa được Hausdorff đều là đầy đủ:
- tập tất cả các tập lồi đóng - tập tất cả các tập bị chặn đóng - tập tất cả các tập bị chặn lồi đóng - tập tất cả các tập lồi compact.
Chứng minh.Suy ra từ các định lý 2.3, 5 và 13.
Ta nhắc lại:
Định nghĩa.Giả sử E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff và A là một tập con của E. Hàm tựa của A là hàm xác định trên E* bởi
* * * *
( ) sup ,
x A
x δ x A x x
∈
= 〈 〉
.
Định lý 2.16. Có một tương ứng 1-1 giữa các tập lồi đóng khác rỗng với các hàm σ(E E*, ) n.l.t.d. tuyến tính dưới trên E* (với giá trị trong ( ,−∞ +∞]) . Tương ứng 1-1 là ánh xạ Aδ*(. )A .
Chứng minh.
Hàm tựa δ*(. )A là tuyến tinh dưới, σ(E E*, ) n.l.t.d., và > −∞, khi A≠ ∅ . Hơn nữa A đóng và lồi, δ*(. )A mô tả đặc điểm của A, bởi định lý Hanh – Banach. Cuối cùng mỗi hàm ϕ tuyến tính dưới σ(E E*, ) n.l.t.d. là hàm tựa của tập A={ /x ∀ ∈x* E*,〈x x*, 〉 ≤ϕ(x*)}. Điều này là hệ quả của định lý I.4:
như ϕ là tuyến tính dưới
* * *
* *
*
2 ( ) sup{ 2 , 2 ( )}
sup{ 2 , (2 )}
( )
x x x x
x x x
x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= −
= −
=
Vì vậy với mọi x, ϕ*( )x =0 hay ∞. Tập A={ /x ϕ*( )x =0}có hàm tựa ϕ. Định lý 2.17. Giả sử A và B là những tập lồi đóng khác rỗng, và viết A+ = + B A B. Khi đó δ*(. A+ B)=δ*(. )A +δ*(. )B và nếu λ∈[0, )∞ thì
* *
(. A) (. )A δ λ =λδ .
Nếu A, B và C là những tập đóng lồi bị chặn khác rỗng thì A C+ = + B C bao hàm A=B.
Chứng minh.
Thứ nhất ta có
* * * *
(x A B) sup{ x z, / z A B} sup{ x z, /z A B}
δ + = 〈 〉 ∈ + ≥ 〈 〉 ∈ +
≥ 〈x x*, 〉 + 〈x y*, 〉 ∀ ∈ ∀ ∈x A, y B. Khi đó với mỗi x∈A thì
* * * *
(x A B) x x, x y, y B δ + − 〈 〉 ≥ 〈 〉 ∀ ∈ Suy ra δ*(x A* + B)− 〈x x*, 〉 ≥δ*(x B* ).
Do đó δ*(x A* + B)≥δ*(x B* )+ 〈x x*, 〉 ∀ ∈x A. Hay δ*(x A* + B)≥δ*(x B* )+δ*(x A* )
Mặt khác
* * * * * * *
(x A) (x B) x x, x y, x x, y x A, y B δ +δ ≥ 〈 〉 + 〈 〉 = 〈 + 〉 ∀ ∈ ∀ ∈ Suy ra δ*(x A* )+δ*(x B* )≥sup{〈x z*, 〉/ z∈ +A B}
Vì vậy δ*(x A* )+δ*(x B* )≥sup{〈x z*, 〉/ z∈ +A B}=δ*(x A* + B). Thứ hai ta có
* * * * 1 1
* 1 1
* *
( ) sup{ , / } sup{ , / }
sup{ , / }
( ).
x A x x x A x x x A
x x x A
x A
δ λ λ λ λ λ
λ λ λ
λδ
− −
− −
= 〈 〉 ∈ = 〈 〉 ∈
= 〈 〉 ∈
=
Sau cùng, giả sử A C+ = + B C.
Khi đó ta có δ*(. A C+ )=δ*(.B+ C), δ*(. A C+ )=δ*(. )A +δ*(.C) và
* * *
(.B C) (. )B (.C)
δ + =δ +δ . Do vậy δ*(. )A =δ*(. )B , kéo theo A=B. Định lý 2.18. Giả sử cb( )E là không gian các tập bị chặn đóng lồi khác rỗng của E. Giả sử p là nửa chuẩn liên tục trên E, và U là nửa quả cầu đóng U ={ / ( ) 1}x p x ≤ . Giả sử e là độ dôi (excass) và h là nửa khoảng cách Hausdorff liên kết với p. Khi đó
* * * * *
( , ) sup{ ( ) ( ) / o}
e A B = δ x A −δ x B x ∈U và h A B( , )=sup{δ*(x A* )−δ*(x B* ) /x*∈Uo}.
Bởi vậy cấu trúc đều trong cb( )E được xác định bởi họ nửa khoảng cách
* * * * *
sup{δ (x A)−δ (x B) /x ∈K} (K là tập liên tục đồng bậc).
Chứng minh.
Giả sử e A B( , )=sup{δ*(x A* )−δ*(x B* ) /x*∈Uo}. Khi đó, cho ε >0, ( , )e A B ≤ε tương đương với
* * * * * * * *
, ( ) ( ) ( )
x E δ x A δ x B εδ x U
∀ ∈ − ≤ .
Thật vậy điều kiện đủ là hiển nhiên. Chú ý rằng nếu δ*(x U* )< ∞, thì
* *
( ) o
x∈δ x U U . Nhưng
* * * * * * * *
, ( ) ( ) ( )
x E δ x A δ x B εδ x U
∀ ∈ ≤ + tương đương với A⊂ +B εU.
Cuối cùng inf{ε >0 /A⊂ +B εU}=e A B( , ).
Thật vậy nếu A⊂ +B εU thì e A B( , )≤ε . Và nếu ε >e A B( , ) thì A⊂ +B εU , vì vậy bất đẳng thức ≤ không đổi chiều.
Chú ý. Định lý cũng được chứng minh bằng cách sử dụng inf sup− :
*
*
( , ) sup inf ( ) sup inf sup ,
o
x A y B
x A y B x U
e A B p x y
x x y
∈ ∈
∈ ∈ ∈
= −
= 〈 − 〉
*
sup sup inf *,
o y B
x A x U
x x y
∈ ∈ ∈
= 〈 − 〉
*
* * *
sup sup{ , ( )}
x A x Uo
x x δ x B
∈ ∈
= 〈 〉 −
*
* * * *
sup{ ( ) ( )}
x Uo
x A x B
δ δ
∈
= − .
Bây giờ ta xem xét vấn đề của phép nhúng cb( )E trong không gian vector Định nghĩa.Giả sử là không gian tất cả hàm thực thuần nhất dương, sự thu hẹp của trên tập đồng liên tục K của E* là bị chặn và liên tục mạnh. Với topo của hội tụ đều trên tập đồng liên tục, trở thành không gian vector lồi địa phương Hausdorff.
Định lý 2.19. Không gian là đẩy đủ. Ánh xạ từ cb( )E đến được xác định bởi i A: →δ*(. A) có tính chất
- Là đơn ánh
- i A( + B)=i A( )+i B( )
- i(λA)=λi A( ) ∀ ∈λ [0, )∞
- Là phép đồng phôi từ cb( )E vào chính nó.
Chứng minh.
Ta chứng minh rằng A∈cb( )E kéo theo δ*(. )A ∈. Điều không hiển nhiên là δ*(. )A bị chặn trong mỗi tập đồng liên tục. Nhưng đó là kết quả từ một tập đồng liên tục thì bị chặn mạnh (Bourbaki E.V.T ch.III. prop 7 p.26). Cuối
cùng, bởi định lý 16 i là đơn ánh, hai công thức là kết quả từ định lý 17, và điều khẳng định cuối cùng suy từ định lý 18.