Phép nâng cung và phép đồng luân

Chương 3. CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG NHÓM P – ADIC

3.3. Phép nâng cung và phép đồng luân

Khi nhóm Ap tác động lên không gian X thì sinh ra không gian quỹ đạo X Ap và ánh xạ p0:X → X Ap . Ánh xạ p0 nói chung không phải là một ánh xạ phủ dù các ánh xạ pn:X ∆ →n X ∆n−1 là ánh xạ phủ hoặc là ánh xạ phủ phân nhánh. Do đó, một câu hỏi sinh ra là liệu có tồn tại phép nâng một cung từ không gian X Ap lên một cung trên không gian X hay không? Trong mục này, ta sẽ thấy một số kết quả cơ bản trên không gian phủ là vẫn còn được giữ lại. Đó là tồn tại phép nâng cung và một đẳng cấu giữa các nhóm đồng luân bậc cao

( ) ( )

n X X Ap

p ≅p với mọi n≥2. 3.3.1. Định nghĩa

Cho A, B là các tập mở, T A: →B được gọi là một phép biến đổi trong, nhẹ nếu Tliên tục, T A( )= B và không continuum nào được nối với một điểm đơn qua T.

3.3.2. Định lý

Cho A là tập mở compact, B là tập mở, :T A→B là một phép biến đổi trong, nhẹ và pq là một cung đơn bất kỳ trong B với p0 thuộc T−1( )p . Khi đó tồn tại một cung đơn p q0 0 trong A sao cho T p q( 0 0)= pq và pq đồng phôi với

0 0

p q qua T.

Chứng minh.

[9]. 

Định lý trên có thể phát biểu lại như sau :

Cho cung A⊂Y và một điểm a∈A. Nếu :p X →Y là một ánh xạ mở, nhẹ, hoàn chỉnh thì với α∈p−1( )a tồn tại một cung  ⊂ X sao cho α∈,p( ) = A và p

 là một phép nhúng.

Điều này cho ta thấy các cung có thể được nâng lên từ không gian thương.

3.3.3. Hệ quả.

Cho nhóm p− adic Ap tác động lên một không gian X , tập A⊂ X Aplà một cung. Khi đó ánh xạ p0:X → X Aplà ánh xạ thương cảm sinh từ tác động nhóm thì với bất kỳ α p∈ 0−1( )a với a∈A cho trước tồn tại một cung ⊂ X thỏa p0( ) = A,p α0( )=a và p0  là một phép nhúng.

Nếu tác động nêu trên trở thành tác động tự do thì ta có một phát biểu mạnh hơn như sau:

3.3.4. Định lý

Nếu Ap tác động tự do lên X và p0:X → X Ap là ánh xạ thương thì với bất kỳ cung A⊂ X Apta có tạo ảnh p0−1( )A ≅ Ap×[ ]0,1 .

Chứng minh.

Gọi h: 0,1[ ] X Aplà một tham số hóa của cung A:=h( [ ]0,1 )⊂ X Ap. Theo 3.3.3. với mỗi điểm a∈h−1( )0 ta có một cung a ⊂ X. Ta định nghĩa ha: 0,1[ ] X là ánh xạ thỏa ha( )t ∈p0−1(h( )t )∩a. Do 0

a

p �là một phép nhúng nên ánh xạ ha là một phép nhúng được định nghĩa tốt.

Cố định điểm a∈h−1( )0 và đặt : ( )

p

a g A

A g

∈

 =   . Do a ⊂ A nên

0( )A A

p  = . Lấy một điểm x∈p0−1( )a ta có p0( )x ∈A suy ra tồn tại tham số

[ ]0,1

tx∈ sao cho p0( )x =h t( )x .

Đặt y =h ta( )x ∈a ta có p0( )y =p0(h ta( )x )=h t( )x =p0( )x suy ra tồn tại gx∈Ap sao cho gx( )y =x. Lại có gx( )a ⊂ A nên x∈A. Do đó

( )

1

A=p0− A .

Giả sử có một phần tử không tầm thường g∈Ap sao cho tồn tại một điểm x∈a ∩g( )a . Lấy ta∈[ ]0,1 thỏa h ta( )a =x, từ đó h t( )a =p0( )x . Do g là một đồng phôi nên tồn tại một tham số hóa hg : 0,1[ ]→g( )a thỏa

( a( )) g( )

g h t =h t . Vì p0(hg( )z )= p z( ) với mọi z∈X nên nó chỉ ra đẳng thức sau p0(h ta( ))=p0(g h t( a( )) )=p0(h tg( )) với mọi t∈[ ]0,1 . Lấy tb∈[ ]0,1 sao cho x=h tg( )b . Vì h là phép nhúng và:

( )a 0( ) 0( g( )b ) 0( ( a( )b ) ) 0( a( )b ) ( )b

h t =p x =p h t =p g h t =p h t =h t

nên tham số ta =tb. Do x =h tg( )b =h tg( )a =g h t( a( )a )=g x( ) và g không tầm thường nên điều này mâu thuẫn với Ap tác động tự do. Do a ∩g( )a = ∅ với mọi g∈Ap \{ }e nên tạo ảnh p0−1( )A ≅ Ap×[ ]0,1 . 

Định lý tiếp theo sẽ cho chúng ta cách xây dựng một dãy các các phép nâng của một ánh xạ cho trước h đến các không gian thương X ∆n trong đó h đi từ một không gian compact liên thông đơn vào không gian thương X Ap.

3.3.5. Định lý

Cho nhóm p− adicAp tác động lên không gian X , ánh xạ

0:X X Ap

p → là ánh xạ thương cảm sinh từ tác động nhóm và ánh xạ

: p

h K →X A liên tục (K là không gian compact, liên thông đơn) thì tồn tại một phép nâng h Kˆ : → X sao cho p0hˆ=h.

Chứng minh.

Ta có h là ánh xạ liên tục, K compact và p0 là ánh xạ hoàn chỉnh nên tập Y:=p0−1(h K( )) compact. Gọi τ là một phần tử sinh của nhóm Ap. Khi đó τY liên tục đều và sự hội tụ n 1

Y

n p

τ →∞→ Y là hội tụ đều.

Chọn k0∈K là một điểm cơ sở và cố định điểm cơ sở

( ( ) )

1

0 0

xω∈p− h k ⊂ ⊂Y X . Từ dãy ngược của các ánh xạ phủ p− cuộn trên các không gian thương X ∆n (trong 3.1.) khi đó ta có với điểm cơ sở xω∈X thì có một dãy tương ứng { }xn n∞=0 sao cho x0:=h k( )0 ,pn( )xω =xn và pn( )xn = xn−1

với mọi n∈. Tương tự như trên, do K liên thông đơn nên có một dãy các ánh xạ {=n:K → X ∆n}n∞=0 sao cho ( )0

n

n k = ∈xn X ∆

= và Pn=n =h.

Bây giờ ta xác định ánh xạ h Kˆ : → ⊂Y K như sau: ˆ( ) 1 ( )

n n

h k ∈p−= k với mọi k∈K. Ánh xạ hˆ là xác định tốt do:

- lim diamn (pn−1 n( )k ) 0

→∞ = = ,

- Tập pn−+11=n+1( )k ⊂pn−1=n( )k với mỗi n∈ và - Tập pn−1=n( )k compact với mỗi n∈.

Ánh xạ hˆ liên tục do ánh xạ =N liên tục và với bất kỳ ε >0, tồn tại 0

N > sao cho |

3

pN

τY ε

∞ < .

Tiếp theo là hai hệ quả liên quan đến các đồng luân suy ra từ 3.3.5. phía trên.

3.3.6. Hệ quả

Cho nhóm p− adic Ap tác động lên không gian X , ánh xạ

0:X X Ap

p → là ánh xạ thương cảm sinh từ tác động nhóm, ánh xạ

[ ]

: 0,1 p

h → X A là một đường trong không gian thương và ánh xạ

[ ] [ ]

: 0,1 0,1 p

H × → X A là một đồng luân trong không gian thương thỏa ( ) ( ),0

h t =H t với t∈[ ]0,1 thì tồn tại đường hˆ : 0,1[ ]→X thỏa p0 hˆ=h và một đồng luân Hˆ : 0,1[ ] [ ]× 0,1 →X sao cho h tˆ( )=H tˆ ( ),0 với mỗi t∈[ ]0,1 và

0 Hˆ H

p  = .

Chứng minh.

Hai không gian [ ]0,1 và [ ] [ ]0,1 × 0,1 đều compact, liên thông đơn.  3.3.7. Hệ quả

Nếu một nhóm p− adic Ap tác động lên không gian X thì với mọi 2

n≥ ta có một đẳng cấu của các nhóm đồng luân bậc cao pn( )X ≅pn(X Ap).

Chứng minh.

Với bất kỳ n≥2, không gian Sn (mặt cầu) là compact và liên thông đơn nên tồn tại ˆ :h Sn →X thỏa p0 hˆ=h với :h Sn → X Ap. Từ đó ta có

( ) ( )

n X n X Ap

p ≅p , [12]. 