B ậc cho trường vectơ compact trù mật đa trị

Chương 2. BẬC TRÙNG CHO ÁNH XẠ ĐA TRỊ

2.1. B ậc cho trường vectơ compact trù mật đa trị

Cho X là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương, khả li trên trường số thực và thêm tính chất với mỗi tập con compactAcủa X , tồn tại một phép chiếu của X vào bao lồi đóng của A. Khái niệm này vẫn giử nguyên khi X là khả mêtric, đặc biệt khi X là không gian tuyến tính định chuẩn. Với bất kì tập B, ta kí hiệu coB là bao lồi đóng của B và choB và ∂B lần lượt là bao đóng của Bvà biên của B. Cho K B( ) và CK B( ) lần lượt là họ tất cả các tập con lồi đóng, khác rỗng của B và họtất cả các tập con lồi compact, khác rỗng của B. Nếu F là ánh xạ đa trị thì

( ) x B ( ).

F B = ∈ F x Định nghĩa 2.1

Cho X và Z là không gian vectơ tôpô lồi địa phương trên trường số thực. Cho B là một tập con của X và Flà một ánh xạ xác định trên B nhận giá trị trong họ các tập con của Z. Fđược gọi là nửa liên tục trên tại x nếu cho một tập con mở V trong Z sao cho F x( )⊂V thì tồn tại một tập con mở W của X chứa x và

( )W

F ⊂V . Nếu F nửa liên tục trên tại mọi x thuộc B khi đó ta nói F nửa liên tục trên trênB hay đơn giản F là một ánh nửa liên tục trên (kí hiệu nltt).

Một ánh xạ nửa liên trên tục F xác định trên B được gọi là trường vectơ compact nếu (I−F)( )B là tập compact tương đối, trong đó I là ánh xạ đồng nhất.

Cho Ω ⊂ X là tập mở và cho F:Ω →K X( ) là ánh xạ nửa liên tục trên. Chúng ta xác định dãy { }Kα như sau:

( )

K0 =coF Ω ( )2.1

ChoA là tập gồm các số α sao choKα−1tồn tại và cho B là tập gồm các số α sao cho Kα−1 không tồn tại.

( 1) ,

,

coF K khi A

K

K khi B

α α

β α β

α α

−

<

 Ω ∩ ∈

= 

< ∈ ( )2.2

Chúng ta có thể kiểm tra được rằng:

Mỗi Kα là tập đóng, lồi và Kα ⊂Kβ với mọi α β≥ ; ( )2.3

( )

F Kα∩ Ω ⊂ Kαvới mọi số α. ( )2.4

Từ dãy { }Kα vô hạn không tăng, dẫn đến có một số γ sao cho Kγ =Kγ +1 và Kβ =Kγ với mỗi β γ≥ . Chúng ta kí hiệuKγ bởi K F( ),Ω hoặc đơn giản là K khi nó được hiểu rỏ ánh xạ được thiết lập. Rõ ràng,

( ) ( )

1 .

K =Kγ+ =coF Ω ∩Kγ =coF Ω ∩K

Do vậy chúng ta có, K =<βKβ =coF(Ω ∩K).

( )2.5

Định nghĩa 2.2

Một ánh xạ nửa liên tục trên F:Ω →K X( ) được gọi là compact trù mật nếu K∩ Ω = ∅ hoặc K∩ Ω ≠ ∅ thì F(Ω ∩K) là tập compact tương đối.

Nếu F ánh xạ compact trù mật thì ta gọi (I−F) là một trường vectơ compact trù mật, trong đó I là ánh xạ đồng nhất trên X .

Bổ đề 2.1

Cho Ω ⊂ X là một tập mở và F:Ω →K X( ) là mộtánh xạ compact trù mật.

Giả sử rằng 0∉ −x F x( ) với mỗi x∈∂Ω. Giả sử rằng K∩ Ω ≠ ∅ và cho p là một phép chiếu của X vào K. Khi đó:

( )

x x K

x F x

 ∈Ω ⇒ ∈

 ∈ ( )2.6

Và

( ) ( )

( ( ) )

x x p 1

x F x x F p x

 −

∈Ω ∈ Ω

 ⇔ 

 ∈ 

 ∈

  ( )2.7

Chứng minh.

( )2.6 Giả sử rằng x∈Ω và x∈F x( ),khi đó x∈K0. Giả sử η là một số sao cho

x∈Kβ với mỗi β η< . Nếu một số η sao cho Kη−1 tồn tại thì Kη =coF(Ω ∩Kη−1)và

x∈Ω ∩Kη−1 , dẫn đến x∈Kη . Nếu một số η sao cho Kη−1 không tồn tại thì

Kη =<β η< Kβ và do đó x∈Kη. Vậy x∈K.

( )2.7 Giả sử rằng x∈Ω và x∈F x( ) do ( )2.6 nên x∈K, dẫn đến p x( )=x. Vì

vậy x∈p−1( )Ω và x∈F p x( ( ) ). Giả ngược lại,x∈p−1( )Ω và x∈F p x( ( ) ). Do tính

liên tục của p nên p x( )∈Ω. Bởi định nghĩa nên p x( )∈K ,vì vậy p x( )∈Ω ∩K.

Do đó từ ( )2.5 chúng ta có F p x( ( ) )⊂K , vì vậyx∈K và x∈F x( ) với x∈Ω do x∉∂Ω bởi giả thuyết. Điều phải chứng minh.

Định nghĩa 2.3

Cho Ω ⊂ X là một tập mở và F:Ω →K X( ) là một ánh xạ compact trù mật.

Giả sử rằng 0∉ −x F x( ) với mỗi x∈∂Ω. Nếu K∩ Ω = ∅, chúng ta định nghĩa bậc của (I−F) trênΩđối với phần tử không kí hiệu d I( −F, , 0Ω ) và trường hợp này

( , , 0) 0

d I−F Ω = . Nếu K∩ Ω ≠ ∅, cho plà một phép chiếu của X vào K và chúng ta định nghĩa:

( , , 0) c( , 1( ), 0)

d I−F Ω =d I−Fp p− Ω

( )2.8

Vế bên phải là bậc của trường vectơ compact đa trị định nghĩa bởi Ma (1972).

Nhận xét 2.1

(a) Cho mỗi x∈p−1( )Ω ta có x∈p−1( )Ω bởi sự liên tục của p và do vậy

( )

p x ∈K∩ Ω. Từ F K( ∩ Ω) là compact tương đối, Fp là một ánh xạ compact trên

( )

p−1 Ω .

(b) Bởi sự liên tục của p, ∂p−1( )Ω = p−1( )∂Ω và từ ( )2.7 , nếu x là một điểm bất động của Fp trong p−1( )Ω thìx∈Ω ∩F x( ) và do đó x∈K bởi ( )2.6 . Điều này nghĩa là p x( )= ∈Ωx và do đó x∉∂p−1( )Ω vì Ω là tập mở.

Nhận xét của 2.1 cho thấy rằng vế phải của 2.8 được định nghĩa tốt. Định lí sau đây cho thấy rằng vế trái của 2.8 là không phụ thuộc phép chiếu pvà do đó

( , , 0)

d I−F Ω đượcđịnh nghĩa tốt.

Định lí 2.1

Cho Ω ⊂ X là một tập mở và F:Ω →K X( ) là một ánh xạ compact trù mật.

Giả sử rằng 0∉ −x F x( ) với mỗi x∈∂Ω. Cho A⊂ X là bao lồi đóng của tập compact sao cho K ⊂ A A, ∩ Ω ≠ ∅,F A( ∩ Ω ⊂) A và F A( ∩ Ω) là tập compact tương đối. Cho τ là một phép chiếu của X vào A. Khi đó:

( , 1( ), 0) ( , , 0 .)

dc I −Fτ τ− Ω =d I−F Ω

( )2.9

Chứng minh.

Trước hết chúng ta chứng tỏ rằng dc(I −Fτ τ, −1( )Ω , 0) được định nghĩa tốt.

Rõ ràng F(τ τ( −1( )Ω ) )là tập compact tương đối. Cho x∈∂τ−1( )Ω . Khi đó, nếu

( )

x∈F x thì x∈A, dẫn đến x∈∂Ω và x∈F x( ). Điều này mâu thuẩn.

Bây giờ giả sử rằng K∩ Ω = ∅, ta chứng tỏ rằng dc(I−Fτ τ, −1( )Ω , 0)=0. Từ

K∩ Ω = ∅ dẫn đến F không có điểm bất động trong K∩ Ω. Bây giờ, ta giả sử trái lại dc(I−Fτ τ, −1( )Ω , 0)≠0, khi đó Fτ có điểm bất động trong τ−1( )Ω . Điểm bất động này cũng là điểm bất động của Ftrong Ω. Điều này mâu thuẩn.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng K∩ Ω ≠ ∅và cho plà một phép chiếu của X vào K . Do điểm bất động của Fτ trong τ−1( )Ω và Fp trong p−1( )Ω được chứa trong B=τ−1( )Ω ∩ p−1( )Ω . Bởi tính chất cộng của bậc trên tập xác định, chúng ta có được: deg(I−Fτ, , 0B )=deg(I−Fp B, , 0).

Với x∈B và t∈[ ]0,1 ta đặt: H t x( ), =tF p x( ( ) )+ −( )1 t F( )τ( )x . Khi đóH là

nửa liên tục trên và compact.

Bây giờ ta nhận xét rằng thấy rằng x∈B và t∈[ ]0,1 mà x∈H t x( ), thì ( )

x∈F x và do đó x∉∂B. Vì vậy, giả sử rằng x∈B và t∈[ ]0,1 mà x∈H t x( ), ,khi

đó ta có được x∈A và vì vậyτ( )x =x , dẫn đếnx tF p x∈ ( ( ) )+ −( )1 t F( )τ( )x và

x∈Ω. Do F p x( ( ) ) và F( )τ( )x nằm trong K0 và K0 là lồi, đóng dẫn đến x∈K0. Cho η là một số sao cho x∈Kβ với mỗi β η< . Nếu một số η sao cho Kη−1 tồn tại thì Kη =coF(Ω ∩Kη−1) và x∈Ω ∩Kη−1, dẫn đến F x( )⊂Kη. Nhưng F p x( ( ) )⊂K và

K ⊂Kη với Kηlà lồi nên x∈Kη. Nếu ηlà một số sao cho Kη −1 không tồn tại thì

Kη =<β η< Kβ và do đó x∈Kη. Do vậy x∈K. Ta có được p x( )=x và x∈F x( ) do

( )

F x là lồi và do vậy x∉∂B. Vậy ta có được kết quả trên từ tính chất bất biến đồng luân cho trường vectơ compact đa trị. Điều phải chứng minh.

Nhận xét 2.2

Bằng việc đặt A=K , định lí trên cho thấy rằng bậc xác định trong định nghĩa 7.3 không phụ thuộc vào phép chiếuρ và do đó nó được định nghĩa tốt.

2.1.1. Những tính chất của bậc của trường vectơ compact trù mật

Trong phần tiếp theo trình bài một vài tính chất của bậc của trường vectơ compact trù mật đa trị. Do phần này chỉ dùng cho việc chứng phần bậc trùng cho ánh xạ đa trị phía sau nên ở đây, xin phép chỉ trình bài phần nội dung của những tính chất. Những kết quả dưới đây được trình bài bởi Petryshyn và Fitzpatrick (1971) [ ]4 .

Mệnh đề 2.1

Cho Ω ⊂ X là một tập mở và giả sử rằng F:Ω →K X( ) là compact với

( )

0∉ −x F x với mỗi x∈∂Ω. Khi đó:

( , , 0) ( , , 0 .)

dc I−F Ω =d I−F Ω Định lí 2.2

Nếu d I( −F, , 0Ω )≠0, tồn tại x∈Ω sao cho x∈F x( ) với F:Ω →K X( ) là

một ánh xạ ánh xạ compact trù mật không có điểm bất động trong∂Ω. Định lí 2.3

Cho Ω ⊂ X là một tập mở và F:Ω →K X( ) là một ánh xạ compact trù mật sao cho 0∉ −x F x( ) với mỗi x∈∂Ω. Cho Ω Ω1, 2 là các tập mở rời nhau của X sao

cho Ω ∪ Ω ⊂ Ω1 2 và Ω ∪ Ω = Ω1 2 . Thêm giả thuyết x∉F x( ) với mỗi

1 2.

x∈ ∂Ω ∪ ∂Ω Khi đó:

( , , 0) ( , 1, 0) ( , 2, 0 .)

d I−F Ω =d I −F Ω +d I−F Ω

(2.10)

Định lí 2.4

Nếu Ω là tập mở chứa điểm gốc thìd I( , , 0Ω )=1.

Định lí 2.5

Cho Ω ⊂ X là một tập mở và H: 0,1[ ]× Ω →K X( ) là một ánh xạ nửa liên tục sao cho H( [ ]0,1× Ω ∩( K′) ) là tập compact tương đối, trong đó K′ =K H( , 0,1[ ]× Ω).

Nếu x∉H t x( ), với mỗi t∈[ ]0,1 và mỗi x∈∂Ωthì:

( 0, , 0) ( 1, 1, 0 .)

d I−H Ω =d I−H Ω

(2.11)

Trong đó Ht =H t( ), .⋅ Định lí 2.6

Cho Ω ⊂ X là lân cận cân đối của điểm gốc và F:Ω →K X( ) là một ánh xạ compact trù mật lẻ sao cho x∉F x( ) với mỗi x∈∂Ω. Khi đó d I( −F, , 0Ω ) là một số lẻ.

Bổ đề 2.2

Cho X là một không gian mêtric và E là một không giantuyến tính lồi địa phương. Cho A là một tập đóng của X và f A: →E là một ánh xạ liên tục trên A. Khi đó f có thể được mở rộng trên cả không gian X ảnh của f , f X( ) được chứa trong bao lồi đóng của f A( ).

Định lí 2.7

Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương, khả mêtric với thêm tính chất rằng, mỗi tập con đóng Evà bất kì tập con compact B của E tồn tại một phép chiếu của Evào bao lồi đóng của B. Cho F:Ω →K X( ) là một ánh xạ compact trù mật sao cho x∉F x( ) với mỗi x∈∂Ω. Cho E0 là không gian con hữu hạn chiều

của X chứa bao đóng của F( )Ω . Khi đó:d I( −F, , 0Ω )=d I( −F|Ω∩E0,Ω ∩E0, 0 .)

2.1.2. Ánh xạ đa trị k -ο/-cô đặc Định nghĩa 2.4

Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương trên trường số thực và 2Xlà họ tất cả các tập con của X . Cho C là một tập có hướng với phần tử nhỏ nhất ta kí hiệu 0. Một ánh xạφ: 2X →C được gọi là một độ đo phi compact nếu với bất kì tập

,

A⊂ X B⊂ X thì nó thoả mản tính chất sau:

( ) ( ),

o coA/ =o A/

(2.12)

( ) 0

o A/ = nếu và chỉ nếu A là tập tiền compact, (2.13) ( ) ax{ ( ) ( ), }.

o A/ ∪B =m o A o B/ /

(2.14)

Nhận xét 2.4

Từ (2.14) ta nhận thấy rằng:A⊂ ⇒B o A/( ) ( )≤o B/ . Định nghĩa 2.5

Cho o/ là một độ đo phi compact và chúng ta giả sử rằng C là tập một có hướng có với thêm tính chất mỗi c C∈ và λ∈,λ≥0, có một phần tử λc∈C và

0c=0. Một ánh xạ nửa liên tục trên F:Ω →CK X( ) được gọi là một ánh xạ k− /o- cô đặc hay ánh xạ k-o/ -cô đặc nếu tồn tại một số k≥0 sao cho với mọi tập con

A⊂ Ω, ta có:

( ( ) ) ( ).

o F A/ ≤ko A/

Từ định nghĩa của ánh xạk-o/ -cô đặc ta có được các mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 2.2

Cho o/ là một độ đo phi compact như trong định nghĩa 2.5 , cho thêm tính chất với bất kì tập A⊂ X B, ⊂ X ,o A B/( + ) ( ) ( )≤o A/ +o B/ (2.15)

Nếu F:Ω →CK X( ) ánh xạ k1-o/ -cô đặc và G:Ω →CK X( )ánh xạ k2-o/ -cô

đặc thì ánh xạ(F+G):Ω →CK X( ) xác định bởi:

(F+G)( )x =F x( )+G x( ),∀ ∈Ωx

Là một ánh xạ(k1+k2)-o/ -cô đặc.

Mệnh đề 2.3

Cho o/ là một độ đo phi compactnhư trong định nghĩa 2.5. VàF:Ω →CK X( )

là k1-o/ -cô đặc và cho G X: → X là một ánh xạ đơn trị tuyến tính, liên tục sao cho tồn tại k2 ≥0 với:

( ( ) ) ( )

o G A/ ≤ko A/ với mỗi A⊂ X.

Khi đó ánh xạGF:Ω →CK X( )xác định bởi:

( ) { ( ): ( ) }

GF x = G y y∈F x với mỗi x∈Ω Là một ánh xạk k1 2-o/-cô đặc.

Nhận xét 2.4

Tính chất tuyến tính và liên tục của ánh xạ Gdẫn đến rằng GF x( ) là một tập con lồi, compact của X với mỗi x∈ Ω.

Mệnh đề 2.4

Cho o/ là một độ đo phi compactnhư trong định nghĩa 2.5. NếuF và Glà ánh xạ k-o/ -cô đặc trên Ω thì với bất kì λ∈[ ]0,1 , ánh xạ λF+ −(1 λ)G:Ω →CK X( )

được cho bởi:

(1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )

F G x F x G x

λ λ λ λ

 + −  = + −

  với mỗi x∈ Ω.

Là một ánh xạ k-o/ -cô đặc trên Ω. Chứng minh.

Với bất kì A⊂ Ω ∈,λ [ ]0,1 ,

( ) ( )

( 1 ) ( ( ( ) ) ( ) )

o/ λF+ −λ G A ≤o co F A/ ∪G A

(2.16)

( ) ( )

( )

o F A G A

= / ∪

(2.17)

( ( ) ) ( ( ) )

{ }

ax ,

m o F A o G A

= / /

(2.18) ( ).

≤ /ko A (2.19)

Và do đó λF+ −(1 λ)G là một ánh xạ k-o/ -cô đặc trên Ω.

Định lí 2.8

Giả sử o/: 2X →+ = ∈{t :t ≥0} { }∪ ∞ là độ đo phi compact và

( )

:

F Ω →CK X là ánh xạ k-o/ -cô đặc với 0≤ <k 1 và o F/( ( )Ω < ∞) . Nếu X là bán

đầy đủ hoặc Ωđầy thìFlà ánh xạ compact trù mật.

Chứng minh.

Do K =coF(Ω ∩K)nên o F/( (Ω ∩K) )=o K/( )≥ Ω ∩o/( K).

Nhưng Flà ánh xạ k-o/ -cô đặc với 0≤ <k 1. Do vậy

( ) ( ( ) ) ( )

o/ Ω ∩K ≤o F/ Ω ∩K ≤ko/ Ω ∩K với 0≤ <k 1. (2.20)

Do o F/( ( )Ω ) là hữu hạn, dẫn tất cả các vế trong(2.20)cũng là hữu hạn. Do vậy (2.20) vẫn đúng với 0≤ <k 1 ta suy ra:

( ) ( ( ) ) 0.

o/ Ω ∩K =o F/ Ω ∩K = Do đóΩ ∩K và F(Ω ∩K) là tiền compact.

Nêú X làbán đầy đủ thìF(Ω ∩K)là compact tương đối. Nếu Ω đầy đủ thì Ω ∩K là tập compact và do đó F(Ω ∩K)là compact tương đối.

Vậy F là ánh xạ compact trù mật.

Định nghĩa 2.6

Cho {pα :α∈A} là họ các nửa chuẩn xác định tôpô trên X. Cho α∈A và ,

Ω ⊂ X chúng ta định nghĩa

( ) inf{ 0 : {x x1, 2,...,xn} X, in1{y p: (xi y) } }

α α

χ ε ε

Ω = > ∃ ⊂ Ω ⊂= − <

α( )

γ Ω =inf{ε >0:Ω được bao phủ bởi hữu hạn tập hợp có đường kính <ε}.

Cho C là họ các ánh xạ từ A vào +với các định nghĩa thứ tự, nhân số thực như bình thường và vv…Khi đó C là forms a lattice và hai ánh xạ χ: 2X →C và

: 2X C

γ → được cho bởi:

( )( ) α( )

χ Ω α =χ Ω và γ( )( )Ω α =γα( )Ω với mọi α∈A và mọi Ω ⊂ X. Nhận xét 2.6

Các ánh xạ χ và γ những độ đo phi compact và thoả mản các tính chất sau:

B⊂ X là tập bị chặn nếu và chỉ nếu γα( )B hoặc χα( )B hữu hạn ∀ ∈α A.

(2.21)

B⊂ X là tiền copmact nếu và chỉ nếu, với mỗiα ∈A,χα( )B =γα( )B =0,

(2.22)

( ) ( ) ( ), ( ), X, .

χ λΩ = λ χ Ω γ λΩ = λ γ Ω ∀Ω ⊂ λ∈ (2.23)

Với bất kì Ω Ω ⊂1, 2 X,

( 1 2) ( )1 ( ) (2 , 1 2) ( ) ( )1 2

χ Ω + Ω ≤χ Ω +χ Ω γ Ω + Ω ≤γ Ω + Ωγ

(2.24)

Định lí 2.9

ChoF:Ω →CK X( )là ánh xạ k-o/ -cô đặc với 0≤ <k 1vào/ =χhoặc γ. Giả sử rằng Xlà bán đầy đủ hoặc Ω đầy đủ và giả sử rằng F( )Ω bị chặn. Khi đó Flà ánh xạ compact trù mật.

Chứng minh.

Chứng minh tương tự như định lí 2.8

Tiếp theo ta giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn  và mêtric :d X× →X + định bởi d x y( ), = −x y . Nếu chúng ta cho  là một chuẩn của Athì tập có hướngClà đẵng cấu đến + và χ và γtương ứng các độ đo-ball và độ đo- set của phi compact. Chúng ta kí hiệu hai độ đo phi compact này tương ứng bởi χd và γd.

Định lí 2.10

(a) Cho F là một ánh xạ k-o/-cô đặc,trong đóo/ =χ γ χ, , d hoặc γd. Khi đó với mỗi λ∈,λF là ánh xạ λ k-o/ -cô đặc.

(b) Giả sử F và G tương ứng là k1-o/ -cô đặc và k2-o/ -cô đặc,trong đó

, , d

o/ =χ γ χ hoặc γd. Khi đó (F+G) là (k1+k2)-cô đặc theo độ đo o/ .

Chứng minh.