- Tính chất 1: Với mọi số nguyên a, x ta có:
+ Không tồn tại x để a2 x2 (a 1)2. + NÕu a2 x2 (a 2)2 th× x2 (a 1)2.
- Tính chất 2: Nếu hai số nguyên d-ơng nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính ph-ơng thì mỗi số đều là số chính ph-ơng.
- Tính chất 3: Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính ph-ơng thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0.
2.2. Các bài toán
Ví dụ 1. Tìm các nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán54 . (1)
Giải (1) 4x2 4xy 4y2 4x y2 2
(2x y)2 3y2 4x y2 2 (2x y)2 y (4x2 2 3)
+ Nếu y 0 thì x 0 ta có (0,0) là một nghiệm của ph-ơng trình đã cho.
+ Nếu y 0 thì 4x2 3 phải là số chính ph-ơng.
Ta cã 4x2 3=k (k2 ¥)
(2x k)(2x k) 3. (2) Với 2x k 2x k nên từ (2) ta có:
2x k 3
2x k 1 hoặc 2x k 1
2x k 3 x 1
k 1 hoặc x 1 k 1 Víi x 1 y 1
Víi x 1 y 1
Vậy ph-ơng trình đã cho có nghiệm nguyên là (1,-1);(-1,1).
Nhận xét: Có thể giải ph-ơng trình trên bằng cách khác nh-:
- Đ-a về ph-ơng trình -ớc số (2xy 1)2 (2x y)2 1 - Dùng bất đẳng thức:
Giả sử :
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x y , xy xy y
x y x y xy y y y 3y
- Đ-a về ph-ơng trình bậc hai đối với x: (y2 1)x2 yx y2 0.
2 2 2 2
x xy y x y
SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán55 Ví dụ 2. Tìm nghiệm tự nhiên của ph-ơng trình:
x(x 1)(x 2)(x 3) y2.
Giải
Ta cã:y2 (x2 3x)(x2 3x 2) (x2 3x)2 2(x2 3x) (x2 3)2 (x2 3x)2 2(x2 3x) (x2 3x 1)2 Do đó ph-ơng trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Nhận xét: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính ph-ơng.
Ví dụ 3. Tìm số nguyên tố psao cho tổng tất cả các -ớc tự nhiên của p4 là một số chính ph-ơng.
Giải Giả sử 1 p p2 p3 p4 n2
Ta cã:4p4 4p3 p2 4n2 4p2 p2 4 4p3 4p 8p2 (2p2 p)2 (2n)2 (2p2 p 2)2.
Suy ra: (2n)2 (2p2 p 1)2 2n 2p2 p 1.
Suy ra p2 2p 3 0 p 3 (do pnguyên tố).
Ví dụ 4. Tìm các nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
x2 2xy y 0 . (3) Giải
(3) x2 2xy y2 y2 y (x y)2 y(y 1).
SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán56 Ta thấy y, y 1 là hai số nguyên liên tiếp có tích là một chính ph-ơng nên một trong hai số phải bằng 0.
- Nếu y 0 thay vào (3) ta đ-ợc x 0.
- Nếu y 1 0 y 1 thay vào (3) ta đ-ợc :x2 2x 1 0 x 1.
Vậy ph-ơng trình đã cho có các nghiệm nguyên là (0,0); (-1,1).
2.3. Bài toán t-ơng tự
1. Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
a) x4 x2 1 y2;
Gợi ý: (x )2 2 y2 x4 x2 1 (x2 1)2 x4 x2 1 x2 1 .2 b) x4 y4 z4 2x z2 2 3x2 4z2 1 0.
Gợi ý: x2 z2 2 y4 x2 z2 2 2 y4 (x2 z2 1) .2
2. Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính ph-ơng:
x4 x2 2x 2 0. Gợi ý: (x 1)2 (x 1)2 1 y2.
x 1 0 x 1, y 0 thỏa mãn.
2 2
x 1 0 (x 1) 1 k (k ¢). 3. Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên sau:
a) x2 x3 y6; Gợi ý:
3
3 3 2
3
y 0 y (y 1) x
y 1 0
b) x4 y (y x )2 2 .
SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán57 Gợi ý: Nếu y = 0 thì x = 0.
y 0 y x2 k2
4. Tìm các nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
2 2 2 2
x 3xy y x y .
Gợi ý: x y 2 xy(xy 1) xy 0 xy 1 0
Ph-ơng pháp 7. ph-ơng pháp xuống thang (lùi vô hạn)
* Cơ sở của ph-ơng pháp xuống thang
- Tính sắp thứ tự các phần tử của một tập hợp và nguyên lí cực hạn.
- Nguyên lí cực hạn
+ Một tập hợp hữu hạn khác rỗng của các số tự nhiên bao giờ cũng có phần tử lớn nhất và nhỏ nhất.
+ Một tập hợp khác rỗng bất kì các số tự nhiên bao giờ cũng có phần tử bÐ nhÊt.
* Nội dung của ph-ơng pháp xuống thang đ-ợc diễn giải nh- sau:
Giả sử phải chứng minh một ph-ơng trình vô định là vô nghiệm ta giả thiết phản chứng rằng tập hợp các nghiệm nguyên (tự nhiên, nguyên d-ơng) của ph-ơng trình là khác rỗng. Ta xây dựng một quan hệ thứ tự trên đó. Giả sử theo quan hệ này và dựa vào nguyên lí cực hạn suy ra chẳng hạn x , y0 0 là nhỏ nhất (theo quan hệ thứ tự trên).
SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán58 Nếu bằng cách nào đó ta xây đ-ợc nghiệm x , y1 1 nhỏ hơn x , y0 0 (theo quan hệ thứ tự trên) thì sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Mâu thuẫn nhận đ-ợc chứng tỏ ph-ơng trình đang xét là vô nghiệm.
*Nội dung của ph-ơng pháp lùi vô hạn (Biến t-ớng của ph-ơng pháp xuèng thang).
Giả sử x , y , z ,...0 0 0 là nghiệm của ph-ơng trình f (x, y, z,...) 0 Nhờ những biến đổi suy luận số học ta tìm đ-ợc một bộ phận khác
1 1 1
x , y , z ,... sao cho các nghiệm có mối quan hệ với bộ nghiệm đầu tiên bởi một số nguyên d-ơng k nào đó.
Chẳng hạn x0 kx ; y1 0 ky ;z1 0 kz ;...1
Lập luận t-ơng tự nh- trên x , y , z ,...2 2 2 cũng là nghiệm của ph-ơng trình trong đó
Quá trình này cứ tiếp tục sau m lần ta xây dựng đ-ợc một dãy giảm vô
hạn xm0 , ym0 , zm0 ,... ;m 1, 2,3,....
k k k
Xuất phát từ x , y , z ,...0 0 0 .
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi x0 y0 z0 L 0
* Bài toán 1
Chứng minh rằng ph-ơng trình sau đây không có nghiệm nguyên d-ơng :
4 4 2 4
8x 4y 2z t . Giải
Giả thiết phản chứng ph-ơng trình
1 2 1 2 1 2
x kx ; y ky ;z kz ;...
SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán59
4 4 2 4
8x 4y 2z t (1) có ngiệm nguyên d-ơng.
Theo nguyên lí cực hạn thì gọi x , y , z , t0 0 0 0 là nghiệm d-ơng của ph-ơng tr×nh (1)
Trong đó x0 bé nhất.Ta có
4 4 2 4
0 0 0 0
8x 4y 2z t (2)
Từ (2) suy ra t0là chẵn nên t0 2t1.Thay vào (2) và ta có:
4 4 2 4
0 0 0 1
8x 4y 2z 16t 4x04 2y04 z02 8t14 (3) Từ (3) suy ra z0 là chẵn nên z0 2z1 từ đó ta có:
4 4 2 4
0 0 1 1
4x 2y 12z 8t 2x04 y04 8z12 4t14 (4) Từ (4) lại có y0 chẵn nên y0 2y1.Từ đó ta có :
4 4 2 4
0 1 1 1
x 8y 4z 2t (5)
Theo (5) ta có x0 chẵn nên x0 2x1 thay vào và rút gọn
4 4 2 4
1 1 1 1
x 4y 2z t (6)
Đẳng thức (6) chứng tỏ x , y , z1 1 1 cũng là một nghiệm của (1).
Do x0 2x1 x1 x .0 Điều này mâu thuẫn với cách chọn nghiệm
0 0 0 0
x , y , z , t .
Vậy giả thiết phản chứng sai tức là (1) không có nghiệm nguyên d-ơng.
Bài toán t-ơng tự
Chứng minh rằng các ph-ơng trình sau không có nghiệm nguyên d-ơng:
a) x3 2y3 4z3;
Gợi ý: x 2M y 2M z 2M. Lập luận nh- bài toán 1.
SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán60 b) x2 y2 z2 7u2;
Gợi ý: x 7, y 7, z 7M M M.
c) x2 y2 3z2. Gợi ý: x 3, y 3.M M
* Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
x3 3y3 9z3 0. (*) Giải
Giả sử x , y , z0 0 0 là nghiệm của ph-ơng trình (*).
Khi đó: x 30M,đặt x0 3x1. Thay vào (*) ta đ-ợc:
3 3 3
1 0 0 0
9x y 3z 0 y 3M đặt y0 3y1 Khi đó:
3 3 3
1 1 0
9x 27y 3z 0 3x13 9y13 z03 0 z 3;z0M 0 3z1
Thay vào 3x1 9y1 z0 0 ta đ-ợc: x1 3y1 9z13 0
Nh- vậy x , y , z1 1 1 cũng là nghiệm của ph-ơng trình (*).
Víi x1 x0; y1 y0; z1 z0.
3 3 3
Quá trình này cứ tiếp tục mãi ta thu đ-ợc dãy xk0,yk0,zk0 k
3 3 3 Â cũng là nghiệm của (*).
Điều này xảy ra x0 y0 z0 0.
Vậy ph-ơng trình có nghiệm duy nhất là (0,0,0).
SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán61 Bài toán t-ơng tự:
1. Tìm nghiệm nguyên của các ph-ơng trình sau:
a) x2 y2 z2 t2 xyzt; Gợi ý: x, y, z, t chẵn.
b)x2 y2 z2 x y2 2; Gợi ý: x, y, z chẵn.
c) x2 y2 6(z2 t )2 .
Gợi ý: x, y chia hết cho 3. Suy ra z, t chia hết cho 3.
2. Tìm nghiệm nguyên d-ơng của ph-ơng trình sau:
5x3 11y3 13z3 0. Gợi ý: Dùng tính chất chia hết cho 13.
Ph-ơng pháp 8. Ph-ơng pháp xây dựng nghiệm
* Cơ sở của ph-ơng pháp
Khi giải ph-ơng trình nghiệm nguyên ta gặp phải những bài toán không đòi hỏi phải tìm tất cả các nghiệm của ph-ơng trình mà chỉ cần chứng minh ph-ơng trình có nghiệm hoặc có vô số nghiệm.
Trong những tr-ờng hợp nh- thế ta chỉ cần xây dựng một nghiệm hoặc một họ nghiệm chứa tham số là đủ.