Chương 2: MỘT SỐ LỚP IĐÊAN ĐẶC BIỆT
2.8. Iđêan bất khả quy
2.8.1. Định nghĩa :
Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán R. I được gọi là iđêan bất khả quy nếu I không là giao của hai iđêan thực sự chứa nó.
Hay: I là iđêan bất khả quy của R nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
i) ỉR
ii) Nếu 1 2 với 1, 2 là các iđêan của R thì 1 hoặc 2. 2.8.2 - Ví dụ:
Cho vành giao hoán ¢ , các iđêan của ¢ đều có dạng n¢,n ¥ . I =3¢ là iđêan bất khả qui.
Thật vậy: Giả sử 1 2 a¢ b¢, a b, ¢ . Khi đó: 3
3 a b
¢ ¢
¢ ¢ suy ra | 3
| 3 a
b (1)
Lại có a b. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1 3 a
b hoặc 3
1 a b . Do đó nếu 3¢ 1 2 thì 1
2
3 3
¢
¢ . Vậy 3¢ là iđêan bất khả qui trên
¢ .
Tổng quát: p¢ là iđêan bất khả qui trên ¢ với p là số nguyên tố.
Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng: với I,J là iđêan của R - vành giao hoán có đơn vị thì:
a)
b) J J
c) 1 1
Lời giải:
a) Với mọi x luôn tồn tại n ¥ :xn . Ta có: n pq với
, n p q
p q ¥ x x . Như vậy tồn tại q ¥ : (xp q) xp hay tồn
tại p ¥ :xp x .Vậy (1)
Ngược lại vớiy đều tồn tại
: m : m k
m ¥ y k ¥ y y .
Do y là bất kì nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra . (đpcm)
b) x J luôn tồn tại n ¥ :xn J suy ra tồn tại
, :
a b J xn a b.
Ta có: a a a b J
b J b J
nên xn J
x J
J J (3)
Ngược lại: Với bất kì y J đều tồn tại : m
m ¥ y J . Do đó tồn tại r ,s J y: m r s.
Vì :
:
k t
r k r
t s J
s J
¥
¥ .
Khi đó ym k t r s k t rk t 1rk t 1s ... k tsk t
1 1
1 ... 1 ...
k t t t t k t
t t k t
r r r s s s r s s
( )
m k t m k t
y y J y J
J J (4)
Từ (3) và (4) suy ra J J . c) Có 1 ta phải chứng minh: 1
+) x thì x . Mà 1 nên x 1 1 (*)
+) Ngược lại, y 1 thì luôn tồn tại n ¥ :yn .
Lại do 1 nên 1 m ¥ :1m 1 .
Mà y y.1và I là iđêan của R nên y .
Do y là bất kì nên 1 (**)
Từ (*) và (**) suy ra 1 .
Có 1 ta phải chứng minh: 1
+) Hiển nhiên nên 1 . (1*)
+) Ngược lại: vì 1 R nên R 1 (2*)
Từ (1*) và (2*) suy ra 1 .
Bài 2:
Cho R là vành chính,p R\ 0 . Chứng minh các mệnh đề sau tương đương:
i) pR là iđêan cực đại của R.
ii) pR là iđêan nguyên tố khác iđêan không của R.
iii) p là phần tử nguyên tố của R.
iv) p là phần tử bất khả qui của R.
Chứng minh:
) )
i ii Hiển nhiên. Vì mọi iđêan cực đại là iđêan nguyên tố (theo 2.5.1i) và p 0 pR 0 .
) )
ii iii Giả sử p không là phần tử nguyên tố của R. Khi đó tồn tại
, :
a b R p ab nhưng a p b p M , M ,tức là a b. pR nhưng a b, pR. Điều này mâu thuẫn với giả thiết pR là iđêan nguyên tố.
Vậy điều giả sử là sai, hay p là phần tử nguyên tố của R.
) )
iii iv Có p là phần tử nguyên tố của R , ta chứng minh: p là phần tử bất khả qui. Tức là p 0,p không khả nghịch, và không có ước thực sự.
+) p R\ 0 p 0.
+) p là phần tử nguyên tố nên nếu p ab| thì |
| p a
p b. (*) +) Cho a a, R liên kết với nhau. Ta chỉ ra a : a hay |
| a a a a. Thật vậy: ta có a: a a a u a a| (u là phần tử khả nghịch).
a: a a av a a| (v là phần tử khả nghịch) Ngược lại, a a, R thoả mãn |
| a a
a a thì au a a v a
Ta có a auv suy ra 0
1 0
1 0
a uv a
uv (vì R là vành chính).
+) Nếu a=0 thì a 0 do đó a : a
+) Nếu a 0 thì 1 uv 0 suy ra uv 1 vậy u v, là phần tử khả nghịch. Do đó a: a .
Từ (*) ta có p a| thì p: akhi b là phần tử khả nghịch.
|
p bthì p: bkhi a là phần tử khả nghịch.
Do vậy ước của p chỉ là các phần tử khả nghịch hoặc liên kết với p(vì ab pR). Suy ra p không có ước thực sự.
Vậy p là phần tử bất khả qui.
) )
iv i Vỡ p khụng là phần tử đơn vị nờn pRỉR. Cho I là iđờan của R sao cho pR I ỉR.
Do R là vành chính nên tồn tại a R sao cho aR I a, 1. p nên tồn tại b R p: ab.
Có p-bất khả qui và a 1nên b là phần tử khả nghịch.
Do đó p: a suy ra |
|
a p pR aR
p a aR pR . Vậy aR pR hay pR là iđêan cực đại của R.
Bài 3:
C¡ là vành tất cả các hàm số liên tục trên ¡ ,m f C¡ | f 0 0 . Chứng minh rằng: m là iđêan cực đại của C¡ .
Lời giải:
C¡ là vành với 2 phép toán xác định như sau:
, : )
) . .
f g C
f g t f t g t
f g t f t g t
¡
Do đó phần tử đơn vị của C¡ là f : f t 1, t R.
Giả sử m không là iđêan cực đại của C¡ ,tức là tồn tại iđêan của I của C¡ mà Ùm.
\ 0 0
g t m g .
Đặt d=(g,f) , f m.
Ta có: 1 1
1 1
0 0 0
0 0 0 0
g g d
g g d
f f d f f d với f g1, 1 C¡ .
Do g 0 0 d 0 0 f1 0 0 f1 m
1 2.
f f d vì d là ước chung của g với mọi f m.
1 0 2 0 0 0 2 0 0 2 3
f f d f f f d.
Lập luận tương tự ta được: f f d1 f d2 2 ... f dn n ...(1) với , 1,
fi m i n
d là hàm hằng:d t a, t R,a-const, a R.
1 1 1
.1
g g a g g g
a . Vì g và 1 C
a ¡ . Ta có: g f, d, f m u v C, ¡ : fu gv d
1 1 1
g v f u vì g1 , f1 . Vậy C¡ m là iđêan cực đại . Bài 4 :
Cho R là miền nguyên chính và không là trường. Khi đó tập tất cả các iđêan nguyên sơ của R là 0 p R pn \ là phần tử bất khả qui, n ¥
Lời giải:
+) 0 là iđêan nguyên tố của R. Do R là miền nguyên nên 0 là iđêan
nguyên sơ, suy ra 0 . (1)
+) Theo bài tập 2, với p là phần tử bất khả qui thì pR là iđêan cực đại của R, suy ra với n ¥ thì p Rn là luỹ thừa của một iđêan cực đại và là iđêan nguyên sơ của R ( vì x pR thì xn p Rn suy ra x p Rn do đó
pR p Rn mà pR là iđêan cực đại và p Rn là iđêan thực sự của R nên pR p Rn . Suy ra p Rn là iđêan nguyên sơ của R).
Mặt khác, R là miền nguyên chính nên mọi iđêan nguyên sơ khác iđêan không của R đều có dạng aR với a 0,a 1.
Lại có: Mỗi miền nguyên chính là một vành nhân tử hoá nên ta có thể biểu diễn a dưới dạng tích các nhân tử bất khả qui của R. Nếu a chia hết cho 2 phần tử bất khả qui p, q với p, q không liên kết thì pR, qR là 2 iđêan cực đại phân biệt.
Vì nếu pR=qR thì p = uq, q =vp với ,u v R, suy ra p uvp uv 1(do 0
p và R là miền nguyên) u v, khả nghịch. Điều này mâu thuẫn với giả thiết p, q không liên kết nên pR qR.
Khi đó pR, qR là iđêan nguyên tố cực tiểu của aR. Mâu thuẫn với (2.4.5): aR là iđêan nguyên tố cực tiểu duy nhất của aR.
Do vậy aR được sinh bởi luỹ thừa dương của một phân tử bất khả qui
nào đó của R. (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Chương 3: SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ VÀ VÀNH NOETHER.
3.1. Vành Noether:
3.1.1.Định nghĩa:
Một vành giao hoán có đơn vị được gọi là một vành Noether nếu mọi iđêan của nó đều là hữu hạn sinh.
3.1.2. Định lý:
A là một vành giao hoán có đơn vị, khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i) A là vành Noether
ii) Mỗi tập khác rỗng các iđêan của A luôn tồn tại 1 phần tử cực đại.
iii) 1 2 ... k k 1 ...là một dãy tăng các iđêan của A thì bao giờ cũng tồn tại n để In=In+1=In+2=…(dãy dừng).
Chứng minh:
) )
i ii Gọi F là một tập khác rỗng các iđêan của A. Giả sử Slà một họ tuỳ ý các iđêan lồng nhau của F.Khi đó Scũng là một iđêan của A. Vì A là Noether nên tồn tại a ,a ,1 2 ,at để a ,a ,1 2 ,at .Vì
Slà một họ các iđêan lồng nhau nên tồn tại để a ,a ,1 2 ,at , dẫn đến (a ,a ,1 2 ,a )t . Bởi nên ; do đó Fvừa là iđêan chứa tất cả các iđêan trong họ
S. Theo bổ đề Zorn thì trong F tồn tại một phần tử cực đại.
) )
ii iii , Giả sử 1 2 ... k k 1 ...là một dãy tăng các iđêan của A. Từ ii) suy ra trong họ i i 1sẽ tồn tại một phần tử cực đại, ta giả sử đó là In. Lại vì n n 1 ...nên In=In+1=In+2=…
) )
iii i , Giả sử trái lại A không là vành Noether, khi đó trong A tồn tại ít nhất một iđêan I không hữu hạn sinh. Lấy a1 thì a1A thực sự chứa
trong I, tồn tại a2 \a1 và ta có a1 a a1, 2 . Lặp lại vô hạn lần với chú ý rằng I không phải là hữu hạn sinh thì ta sẽ được một dãy vô hạn các iđêan thực sự lồng nhau: 1 2 ... k k 1 ....Điều đó mâu thuẫn với iii).
Suy ra điều giả sử là sai. Vậy A là vành Noether.
3.1.3. Định lý cơ bản Hilbert:
Nếu A là một vành Noether thì vành đa thức x cũng là vành Noether.
Chứng minh:
Gọi I là một iđêan khác iđêan 0 của x ; ta cần chỉ ra I là hữu hạn sinh.
Thật vậy, giả sử trái lại I không hữu hạn sinh. Khi đó lấy được một dãy vô hạn các đa thức f f1, 2,..., fn,...trong I có bậc tăng dần, xuất phát từ đa thức f1 có bậc thấp nhất trong I, sao cho fj 1 \ f f1, 2,..., fj có bậc thấp nhất trong tất cả các đa thức thuộc vào tập \ f1, f2,..., fj ,với mọi j.
Gọi aj là hệ số của hạng tử bậc cao của fj.
Vì A là vành Noether nên iđêan J a a1, 2,...,aj,... là hữu hạn sinh.
Do đó tồn tại số nguyên dương n đủ lớn để J a a1, 2,...,an . Bây giờ giả sử deg fi m ii, 1,n và fn 1 bxd ... là đa thức có bậc d.
Do b Jnên b 1 1a 2 2a ... nan. Dễ thấy rằng:
1
1 1 1 d m ... d mn \ 1, 2,...,
n n n n
g f f x f x f f f và có degg deg fn 1.
Điều này mâu thuẫn với cách chọn fn 1. Mâu thuẫn này chứng tỏ I hữu hạn sinh. Vậy x là một vành Noether.
3.1.4. Hệ quả:
i) Nếu A là Noether thì vành đa thức n biến x x1, ,...,2 xn cũng là một vành Noether.
ii) Nếu K là một trường thì vành x x1, ,...,2 xn là một vành Noether.
3.1.5. Định lý:
Cho R là vành giao hoán Noether. Mọi iđêan thực sự của R có thể biểu diễn dưới dạng giao của hữu hạn các iđêan bất khả quy của R.
Chứng minh:
Kí hiệu là tập các iđêan thực sự của R mà mỗi phần tử của đều không thể biểu diễn dưới dạng giao hữu hạn các iđêan bất khả quy của R. Ta chứng minh . Thật vậy:
Trước hết chứng minh: R là vành giao hoán Noether thì mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều chứa ít nhất một phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm.
Giả sử tồn tại tập S là tập mà các phần tử là các iđêan của R không có phần tử cực đại.
Cho 1 S. Do S không có phần tử cực đại nên tồn tại 2 S: 1 2, tiếp tục như vậy ta có dãy không dừng : 1 2 ... n ...,n 1,2,...
Suy ra dãy tăng các iđêan của R: 1 2 ... n ...,n 1,2,...không dừng. Điều này trái với giả thiết R là vành giao hoán Noether nên điều giả sử là sai.
Vậy mọi tập có iđêan của R đều chứa ít nhất một phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm.
Từ đó suy ra các phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm, giả sử là I.
Khi đó I không là iđêan bất khả quy vì , nếu I khả quy thì .
Vì I là iđêan thực sự nên tồn tại I1, I2 là 2 iđêan của R sao cho
1 2và 1, 2(do ). Suy ra I1, I2 cũng là các iđêan thực sự của R và 1, 2 .
1, 2 nên I1, I2 được biểu diễn dưới dạng giao của hữu hạn các iđêan bất khả quy.
Suy ra 1 2cũng được biểu diễn như vậy. Điều này mâu thuẫn với điều kiện hay điều giả sử là sai.
Vậy .
3.1.6. Định lý:
Cho R là vành giao hoán Noether và I là iđêan bất khả quy của R. Khi đó I là iđêan nguyên sơ.
Chứng minh:
Ta cú ỉR.
Giả sử ,a b R ab: ,b . Khi đó :
:a :a2 ... :ai ...là dãy tăng các iđêan của R.
Do R là vành Noether nên tồn tại n ¥ : :an :an i , i ¥
Ta chứng minh: an b .
+) Rõ ràng an b .(1)
+) Cho r an b g h, , ,c d R:
r g can h db ra ga can 1 ha dba. Do ab g h, , nên:
1 1
: :
n n n
ca ha dab ga c a a
n n
r g ca a b .(2)
Từ (1), (2) suy ra an b .
Do I là iđêan bất khả quy, b , b nên an suy ra an
Như vậy nếu ,a b R ab: ,b thì luôn tồn tại n để an Vậy I là Iđêan nguyên sơ của R.