Chương II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
3. Ứng dụng phép vị tự vào bài toán chứng minh
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng.
Lời giải
Theo giả thiết, tam giác MNP là ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm G, tỉ số vị tự k = 1
2
. Ta có:
Nguyễn Thị Mai -37- K34A- Toán
1 2
GM GN GP
GA GB GC
Mặt khác H là trực tâm của tam giác ABC và O là trực tâm của tam giác MNP nên O là ảnh của H trong phép vị tự tâm G, tỉ số k = 1
2
.
Khi đó ta có 1 GO 2 GH
.
Vậy ba điểm G, H, O thẳng hàng.
Chú ý: - Nếu I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP ta cũng có:
1 GI 2 GO
. Vậy bốn điểm G, H, O, I cùng thuộc một đường thẳng mang tên đường thẳng Ơle.
Theo trên ta có V(O, 1 2
): H O; O I
Suy ra I là trung điểm của đoạn HO, còn G là tâm vị tự nghịch của đường tròn tâm O và đường tròn tâm I. Vậy hai đường tròn đó còn có một tâm vị tự thuận nằm trên đường thẳng OI và tâm vị tự ấy chính là
A
B P
M
N
C I
G O H
Nguyễn Thị Mai -38- K34A- Toán điểm H. Do đó: 1
2 HI
HO và suy ra bốn điểm H, G, O, I làm thành một hàng điểm điều hòa nghĩa là: HI GI
HO GO hay (IOHG) = - 1
Ví dụ 13: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B, tiếp tuyến chung ngoài MN ( M (O), N (O’)) cắt đường thẳng OO’ tại điểm P. Kẻ đường kính MM’ với OO’, gọi I là giao điểm của MM’ với OO’. Chứng minh rằng góc IAP vuông.
Lời giải
Do OMPO NP' 900 nên OM // O’N.
Đặt R'
k R , ta có PO' PN O N' R' R PO PM OM Do đó VPk
: O O’; (O) (O’) M N
Do OM1 // O’N nên IO' R'
IO R = k (1).
M
O
M1
N
P A
C
B
O’
I C1
Nguyễn Thị Mai -39- K34A- Toán Mặt khác, nối PA cắt (O’) tại điểm thứ hai C. Do A (O), C (O’) nên P, C, A thẳng hàng. Hơn nữa đoạn thẳng PA nằm ngoài (O), đoạn PC nằm ngoài (O’) nên VPk
: A C.
Suy ra OA // O’C. Kẻ đường kính CC1, ta có O’C1 // OA.
Gọi I’ là giao điểm của đoạn OO’ với AC1, ta có ' 1
' ' '
'
I O O C R R k
I O OA (2)
Từ (1), (2) suy ra I’ ≡ I hay góc IAP nội tiếp chắn đường kính CC1, ta có đpcm.
Ví dụ 14: Mọi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu đỏ hoặc xanh. Chứng tỏ rằng tồn tại một tam giác có các đỉnh và trọng tâm của nó được tô bởi cùng một màu.
Lời giải
Trước hết luôn tìm được tam giác ABC với ba đỉnh cùng màu vì trái lại mọi điểm đỏ phải nằm trên một đường thẳng, mọi điểm xanh phải nằm trên một đường thẳng, trái với giả thiết mọi điểm của mặt phẳng đều được tô màu.
A A’
G
B C
C’
B’
Nguyễn Thị Mai -40- K34A- Toán Không mất tính tổng quát, giả sử màu của ba điểm A, B, C là xanh.
Nếu trọng tâm G của tam giác ABC cũng xanh thì tam giác ABC là tam giác cần tìm. Nếu G đỏ thì ta tiến hành phép vị tự
VG4
: A A’; B B’; C C’
Nếu ba điểm A’, B’, C’ đều đỏ thì ∆A’B’C’ là tam giác cần tìm. Ngược lại, nếu trong ba đỉnh A’, B’, C’ có một đỉnh xanh, A’ chẳng hạn, ta có
∆A’BC là tam giác cần tìm. Vậy bài toán được chứng minh xong.
Nhận xét chung
+ Đối với những bài toán yêu cầu chứng minh tính chất của các hình, ta có thể quy về việc chứng minh các hình đó đồng dạng với nhau. Tùy từng điều kiện của bài mà ta chọn phép đồng dạng thích hợp.
+ Đôi khi ta không chỉ ra được ngay phép đồng dạng Z: H H’, khi đó ta đi chứng minh gián tiếp bằng cách dựng thêm hình phụ và chỉ ra các phép đồng dạng:
Z1: H H1, Z2:H’ H2, Z3: H1 H2
Và theo tính chất bắc cầu ta có H đồng dạng với H’.
+ Có những bài toán mà việc dùng trực tiếp định nghĩa và tính chất của phép đồng dạng là suy ra được ngay kết quả.
2. Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho tam giác vuông ABC tại A đuường cao AD, các điểm I, J theo thứ tự chia trong BA, AC theo tỉ số k. Chứng minh góc IDJ vuông.
Bài 2: Lấy trên hai cạnh AB và AD của một hình vuông ABCD lần lượt hai điểm M, N sao cho AM = AN. Qua A dựng AP vuông góc với BN tại P. Chứng minh góc CDM là vuông.
Nguyễn Thị Mai -41- K34A- Toán Bài 3: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A, B. Các điểm M, M’
thứ tự di động trên (O), (O’) sao cho
(OA OM, )( 'O A O M', ' ').Chứng minh rằng a. Hai tam giác AMM’ và tam giác AOO’ đồng dạng b. Ba điểm M, M’, B thẳng hàng
c. Trung trực đoạn MM’ đi qua điểm cố định.
Bài 4: Từ các đỉnh của tứ giác lồi hạ các đường vuông góc xuống các đường chéo. Chứng minh rằng tứ giác tạo bởi chân các đường vuông góc đồng dạng với tứ giác ban đầu.
Bài 5: Giả sử I, J, K là trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng của tam giác ABC. Gọi M, N, P là đỉnh các tam giác vuông cân BCM, CAN,
ABP dựng ra phía ngoài tam giác ABC. Tìm ảnh của vecto IN qua Z(C,
2, 45 )0 và Z (B, 2 0 , 45 )
2 , từ đó so sánh hai tam giác BMC, MCP.
Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy.
Bài 6: Cho tứ giác lồi ABCD. Trên các cạnh AB, CD ta dựng về phía ngoài các ta dựng về phía ngoài các tam giác vuông cân MAB (MA = MB), NCD (NC = ND). Trên các cạnh BC, DA dựng về phía trong các tam giác vuông cân PBC ( PB = PC), QAD (QA = QD). Chứng minh rằng MN = PQ.
Nguyễn Thị Mai -42- K34A- Toán