HÊ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
II. CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN
3. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC
Khi một tam giác thỏa 1 hay 2 đẳng thức hoặc bất đẳng thức giữa các cạnh và hàm số lượng giác của các góc, ta phải tìm tính chất của tam giác đó, chẳng hạn như : tìm số đo của góc, chứng tỏ giá trị hàm lượng giác của góc, hoặc chứng minh là tam giác cân, vuông, đều…
- Một số kỹ thuật cần chú ý : nếu giả thuyết cho từ 2 hệ thức hoặc bất đẳng thức trở lên, ta phải biến đổi hệ thức dễ trước, ngoài ra ta phải để ý sử dụng bất đẳng thức ở dạng trên.
144 Giải:
a. Giả thuyết tương đương với
( ) ( ) ( ) ( )
{
{
b. Giả thuyết tương đương với
√ Bài 1: Tính các góc của tam giác , biết rằng
(ĐH Mở Hà Nội 2000)
(ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM 2001)
(ĐH Sư Phạm Hà Nội 2001)
145 (
) (
)
{
{ c. Giả thuyết tương đương với
√ √
Ta thấy đây là phương trình bậc 2 có nghiệm . Khi đó
Suy ra .
Như vậy
√ √ Do đó :
Giải:
a. Theo định lý hàm số sin, ta có :
√
√ { √ Theo định lý hàm số cos, ta được :
√
√ √ Bài 2: Tính các góc của tam giác biết
(ĐH An Ninh 1998)
(Tuyển sinh Khối A 2004)
146
√
√
Do đó, .
b. Giả thuyết tương đương với √
√
Mặt khác :
Do tam giác không tù nên [ Nên
√
√ √
√
( √
)
{
√
{
147 Giải:
a. Giả sử . Do đó, ta có :
Mặt khác : { Khi đó :
√ √
Như vậy
√ √ √
√
Vậy .
b. Tam giác vuông tại nên ta có :
{
√ Mặt khác
√
Bài 3: Số đo 3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng và thỏa mãn đẳng thức
a. Tính các góc .
b. Biết nửa chu vi tam giác bằng 50. Tính các cạnh của tam giác.
(ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM 1993)
148 Suy ra
√
{
√
√ √ √
Giải: Theo đẳng thức cơ bản, ta có :
Do đó, tam giác tồn tại 1 góc tù hoặc vuông.
Chọn . Ta xét : √
√ √
√ Ta xét hàm số
[√ ) Do đó, hàm số đồng biến. Suy ra
{ √
Bài 4: Xác định các góc của tam giác thỏa các điều kiện sau :
(ĐH Tổng Hợp Hà Nội 1992)
149 (√
) √ Như vậy, ta được :
{
√
{
Giải: Ta xét 3 trường hợp sau :
- thì . Mà theo định lý hàm số cos, ta có
Mặt khác, theo định lý hàm số sin, ta suy ra :
√ Điều này mâu thuẫn với giả thuyết.
- thì √ Mà
Vì góc nhọn nên và . Do đó,
√
Điều này mâu thuẫn.
√ Bài 5: Cho các góc của tam giác thỏa mãn hệ thức
Biết rằng góc nhọn. Hãy tính giá trị góc .
150
- , dễ thấy giá trị này thỏa đẳng thức đã cho.
Giải: Theo công thức biến đổi và định lý hàm số sin, giả thuyết tương đương với
Giải: Giả thuyết tương đương với
( )
( )
( ) Bài 7: Cho tam giác có các góc thỏa mãn hệ thức
Hãy tính :
Bài 6: Cho tam giác có các góc thỏa mãn điều kiện
Hãy tính góc .
(ĐH Mỏ-Địa Chất Hà Nội 1997)
151 Mặt khác, do
Nên
Giải:
a. Giả thuyết tương đương với
Vậy tam giác cân tại . b. Giả thuyết tương đương với
√
Bài 8: Chứng minh rằng tam giác cân khi có các góc thỏa mãn hệ thức
(ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 1994)
(ĐH Dân Lập Phương Đông 1997)
(ĐH Thương Mại 1999)
152
[
[ Vậy tam giác cân tại .
c. Giả thuyết tương đương với
( ) ( )
( ) ( ⏟
)
Vậy tam giác cân tại .
Giải:
a. Ta lấy hệ thức trên trừ cho hệ thức dưới thì :
{ (√ ) (√ )
√
Bài 9: Chứng minh rằng tam giác cân khi có các góc thỏa mãn hệ thức
(ĐH Thủy Lợi Hà Nội 2000)
(ĐH Giao Thông Vận Tải 2001)
(ĐH Kiến Trúc Tp.HCM 2001)
153
(
⏟
)
Vậy tam giác cân tại . b. Giả thuyết tương đương với
(
) Vậy tam giác cân tại .
c. Giả thuyết tương đương với
Vậy tam giác cân tại .
154 Giải:
a. Giả thuyết tương đương với (
) ( )
( )
( )
(
) [
Vậy tam giác cân tại .
b. Giả thuyết tương đương với
(
) ( ) ( ) ( )
Bài 10: Chứng minh rằng tam giác cân khi có các góc thỏa mãn hệ thức
155 (
)
( )
[
Vậy tam giác cân tại .
c. Theo định lý hàm số sin, ta có :
Do đó,
Vậy tam giác cân tại . d. Ta có :
{
Theo định lý hàm số sin, ta được
Do đó,
Vậy tam giác cân tại .
156 Giải:
a. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Do đó, tam giác cân tại . b. Ta luôn có :
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
{
√
√ Suy ra
√
Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Do đó, tam giác cân tại . c. Ta có :
[ ] Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
Suy ra
√ ( )
Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Do đó, tam giác cân tại .
√ √
Bài 11: Chứng minh rằng tam giác cân khi nó thỏa mãn hệ thức
157 d. Theo định lý hàm số sin, giả thuyết tương đương với :
Ta thấy đây là phương trình bậc hai theo , ta xét :
Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
{
{ Vậy tam giác vuông cân tại .
Giải:
a. Giả thuyết tương đương với
[ ]
[ ⏟
]
Vậy tam giác vuông tại .
Bài 12: Chứng tỏ rằng tam giác vuông khi thỏa mãn hệ thức
(ĐH Kinh Tế Tp.HCM 1990)
(ĐH Kiến Trúc Hà Nội 1997)
(ĐH Đà Nẵng 1997)
(ĐH Ngoại Thương 2001)
158
b. Theo định lý hàm số sin, giả thuyết tương đương với
Vậy tam giác vuông tại .
c. Theo định lý các hình chiếu, ta có :
Nên từ giả thuyết, ta được :
Vậy tam giác vuông tại . d. Giả thuyết tương đương với (
) (
) ( )
( )
( )
( ) ( ) (
)
[
[
[ Vậy tam giác vuông.
159 Giải:
a. Từ giả thuyết, ta viết lại thành
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
{ Dấu xảy ra khi và chỉ khi
{
Vậy tam giác vuông tại .
b. Giả thuyết tương đương với
Ta đặt
Ta được
[ ]
[
[ ]
⏟
[ ]⏟
Bài 13: Chứng minh rằng tam giác vuông nếu nó thỏa mãn hệ thức
(ĐH Cần Thơ 1996)
(ĐH Sư Phạm Vinh 2001)
160
Vậy tam giác vuông tại . c. Theo định lý hàm số sin, ta có
Do đó, giả thuyết tương đương với
[ Ta xét :
Vậy tam giác vuông tại .
:
- Nếu tam giác vuông tại thì . Điều này vô lý.
- Nếu tam giác vuông tại thì phải nhọn và
[
√ √ Điều này vô lý.
- Nếu tam giác vuông tại thì . Điều này vô lý.
Vậy tam giác vuông tại .
161 Giải: Ta có :
√
Do đó, từ giả thuyết ta có :
Mặt khác :
Thay vào , ta được :
(
) Chiều thuận: Giả sử
Do đó,
Bài 14: Cho tam giác thỏa mãn hệ thức :
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là
(Đề nghị Olympic 30-4, 2006)
162
[
Xét , ta có :
{
Vậy tam giác vuông tại .
Chiều nghịch: Giả sử tam giác vuông tại , ta có : {
⇒ {
{ Từ ta được
Vậy ta có điều phải chứng minh.
√
{
√
Bài 15: Chứng minh rằng tam giác vuông nếu nó thỏa mãn hệ thức
163 Giải:
a. Ta có :
Do đó, hệ thức tương đương với
√
[
[
[ Vậy tam giác vuông tại hoặc . b. Ta áp dụng công thức :
{
Mặt khác, ta lại có :
{
Theo công thức Heron, ta suy ra
(
) (
) (
)
164
[ ][ ]
Từ ta suy ra : . Do đó,
Từ ; theo định lý Viète, ta có là nghiệm của phương trình
[ Giả sử rằng , suy ra
{
Vậy tam giác vuông tại .
c. Ở bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức
( ) Do đó, giả thuyết tương đương với
√ ( ) √
√
√
Vậy tam giác vuông tại .
165 Giải: Ta có
Suy ra :
Theo định lý hàm số sin, ta có :
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta lại có :
Do đó,
( ) ượ
Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác vuông cân tại .
Bài 16: Chứng minh nếu tam giác không tù và thỏa mãn hệ thức
thì vuông cân tại .
(Đề nghị Olympic 30-4, 2007)
166 Giải:
a. Theo công thức tính diện tích và định lý hàm số sin, giả thuyết tương đương với
[(
) (
) (
) ]
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
b. Trong tam giác ta luôn có :
Nên từ giả thuyết ta có :
√ Theo định lý hàm số sin thì từ đẳng thức trên, ta có :
√ Ta viết lại đẳng thức thành
(√ ) [ ] [ ]
Mặt khác, ta lại có
{
Do đó
[ ] [ ] Dấu xảy ra khi và chỉ khi
√
Bài 17: Chứng minh rằng tam giác đều nếu thỏa mãn hệ thức
167 {
Vậy tam giác đều.
c. Theo định lý các hình chiếu, giả thuyết tương đương với
Hệ thức trên được viết lại thành
Mà trong tam giác ta luôn có :
{
Dấu xảy ra khi và chỉ khi { .
Vậy tam giác đều.
d. Theo định lý hàm số sin, giả thuyết tương đương với
Hệ thức trên được viết lại thành
[
] Mà trong tam giác ta luôn có :
{
Dấu xảy ra khi và chỉ khi {
. Vậy tam giác đều.
168 Giải:
a. Ta kí hiệu
{
Từ ta nhận xét không là góc lớn nhất vì nếu lớn nhất thì cạnh đối diện cũng lớn nhất và theo định lý hàm số sin, ta sẽ có
{ Điều này mâu thuẫn với giả thuyết.
Vậy phải là góc nhọn. Ta được : nên 2 vế của 2 bất đẳng thức và đều dương. Do đó
{
Vì nên . Vậy .
Từ ta có
Mặt khác, do hàm số nghịch biến trong khoảng nên từ ta có {
{
{
{
Bài 18: Chứng minh rằng tam giác đều nếu thỏa mãn hệ thức
(ĐH Kiến Trúc Hà Nội 1997)
(ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1997)
(ĐH Sư Phạm Vinh 1999)
169
Như vậy, .
Tóm lại, ta chứng minh được tam giác đều.
b. Ta có :
[ ]
Khi đó,
[
Vậy tam giác đều.
c. Ta có :
Mặt khác,
Vậy tam giác đều.
d. Ta có :
170
Mặt khác,
( )
Do ta đã có
Nên
( ) Do đó,
Vậy tam giác đều.
Giải:
a. Theo đẳng thức cơ bản, ta có :
Giả thuyết tương đương với
{
√
{ ( )
Bài 19: Chứng minh rằng tam giác đều nếu thỏa mãn hệ thức
(Học viện Bưu Chính Viễn Thông 1997)
(ĐH Y Thái Bình 2000)
171
Theo bất đẳng thức cơ bản, ta lại có
Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Vậy tam giác đều.
b. Từ , ta suy ra được Theo định lý hàm số cos thì
Mặt khác
√ (
)
(
)
Vậy tam giác đều.
c. Giả thuyết tương đương với
Ta xét :
[ ]
172 Do đó,
{
{
[
Ta thấy :
Do và | | | | . Suy ra :
Do và nên . Suy ra : . Vậy tù, điều này mâu thuẫn giả thuyết.
Do đó, từ hệ thức , ta được :
Vậy tam giác đều.
Giải:
a. Theo định lý hàm số sin, ta có :
{
Bài 20: Chứng minh rằng tam giác đều nếu thỏa mãn hệ thức
(ĐH Y Dược Tp.HCM 2001)
173 Theo đẳng thức cơ bản, ta có :
Do đó,
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy thì :
√
Suy ra
√ √ Trong khi đó :
√ Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
b. Theo đẳng thức cơ bản, ta có :
Do đó, giả thuyết tương đương với
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : { √
√ √
Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
c. Ta có :
(
)
174
Do đó, giả thuyết tương đương với
[ ]
⏟
⏟
⏟
⏟
Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
Giải:
a. Ta có :
(
)
Tương tự vậy, ta có :
√
(
) Bài 21: Chứng minh tam giác khi thỏa mãn đẳng thức sau
(Đề nghị Olympic 30-4, 2006)
(Olympic 30-4, 2007)
(Đề nghị Olympic 30-4, 2008)
175
Do đó,
( )
Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Vậy tam giác đều.
b. Ta có :
{
{
√ √ √ Suy ra
√ √ √ Khi đó, theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta được :
√ √ √ √ √
Hay
√ Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
c. Ta có:
Ta dự đoán :
176
Vậy thì ta cần chứng minh
Ta có :
(
) Lại có :
| | | | | |
| |
Từ và , ta có :
Dấu xảy ra khi tam giác đều.
d. Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
(
) Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
√ Theo bất đẳng thức cơ bản, ta được :
Do đó,
177 Suy ra
(
) Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
Giải:
a. Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
Mặt khác, ta có :
{
Do đó,
Theo định lý hàm số sin và bất đẳng thức cơ bản, ta có :
Khi đó
Bài 22: Chứng tỏ rằng tam giác đều nếu
178 Hay
Dấu xảy ra khi và chỉ khi {
. Vậy tam giác đều.
b. Ta có :
Tương tự vậy, ta có :
Vậy tam giác đều.
c. Theo định lý hàm số cos, ta có :
Tương tự, ta được :
{ Do đó,
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
Hay
179 Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
d. Ta có :
{
Do đó, giả thuyết tương đương với
( ) Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta lại có :
{ √
√
( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
Giải:
a. Ta có :
{
[ ]
Do đó, giả thuyết tương đương với
[ Vậy tam giác có ít nhất một góc bằng hoặc .
√ {
√
Bài 23: Xác định đặc điểm của tam giác nếu nó thỏa mãn hệ thức
(ĐH Luật Hà Nội 1995)
180
b. Giả thuyết tương đương với
( √ ) ( √ ) ( √ ) ( ) ( ) ( )
(
)
(
) (
) (
) [
(
)]
(
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[
( ) ( ) ( ) Ta xét :
( ) Vậy tam giác có ít nhất một góc bằng .
c. Theo công thức Heron và bất đẳng thức Cauchy, ta có :
( ) Do đó,
Suy ra
√ Hay
√ Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
181 Giải: Từ giả thuyết, ta có :
{
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lấy , ta có :
( ) ( ) ( ) [ ( )
( ) ] Mặt khác :
(
) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
) ệ ủ ươ
ệ ủ ươ ệ ủ ươ Bài 24: Nhận dạng tam giác nếu biết rằng
Và √
182
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
√ √( )
( √ )( √ ) √
Do đó,
[ ( √ ) ]
√ Dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều.
Giải:
a. Theo định lý hàm số cot, ta có :
Theo định lý hàm số sin, ta được :
Do nên .
{
{
Bài 25: Tìm tất cả các đặc điểm của tam giác đồng thời thỏa điều kiện
183 Theo định lý hàm số sin, ta lại có :
[ ]
(
) (
) (
) (
)
Do đó,
Mặt khác, theo định lý hàm số sin, ta lại có :
Nên
Ta biết rằng
Điều này không thể xảy ra.
Vậy không tồn tại tam giác thỏa mãn hai hệ thức đã cho.
b. Từ giả thuyết, ta viết lại thành
Theo định lý các hình chiếu và định lý hàm số cos, ta có :
{
Do đó, giả thuyết tương đương với
Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
184 Nên
Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có :
Do đó, dấu xảy ra khi và chỉ khi . Vậy tam giác đều, có độ dài các cạnh bằng . c. Hệ đã cho được viết lại thành
{
Xét , ta đặt . Khi đó :
Ta xét hàm số
Do đó, hàm số đồng biến.
Ta thấy là nghiệm của phương trình và là hàm hằng nên là nghiệm duy nhất của phương trình.
Suy ra :
Xét , ta đặt . Khi đó :
Ta xét hàm số
Suy ra và là hai nghiệm duy nhất của phương trình.
Với thì . Với thì (vô lý).
Vậy tam giác đều.
d. Theo các đẳng thức cơ bản, ta có : {
Kết hợp với giả thuyết, ta suy ra
185
Tương đương tam giác nhọn.
Giả sử :
{ Theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có :
Ta viết lại bất đẳng thức trên thành
Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
Giải:
a. Theo định lý hàm số cos, ta có :
{ Do đó, giả thuyết tương đương với
Theo định lý hàm số sin, ta viết hệ thức trên thành
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
[ ]
( )
Bài 26: Tìm đặc điểm của tam giác nếu nó thỏa mãn điều kiện
186
(
)
Do đó, dấu xảy ra khi và chỉ khi {
{
ậ ạ ỏ b. Ta có :
{
√ √ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
√
√
Tương tự, ta được :
{
Do đó,
Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
c. Ta xét hàm số
Theo bất đẳng thức Jensen, ta có :
(
) ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy tam giác đều.
187 d. Theo định lý hàm số sin và đẳng thức cơ bản, ta có :
Do đó, giả thuyết tương đương với
Mặt khác, ta lại có kết quả sau :
{
Nên hệ thức trên được viết lại thành
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
{ √ √
Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Vậy tam giác đều.
Giải:
a. Ta có :
(
) Do đó,
{
{ {
( )
Bài 27: Tìm đặc điểm của tam giác nếu nó thỏa mãn đẳng thức
188
[
[
Mặt khác, theo đẳng thức cơ bản ta có :
Suy ra, ta chọn
[
Vậy tam giác có ít nhất một góc . b. Theo định lý hàm số sin, ta có :
Khi đó, thay vào hệ thức . Ta được :
Vậy tam giác vuông cân tại .
c. Từ đẳng thức cơ bản :
Ta suy ra :
Mà
Mặt khác cũng từ :
Do đó, . Vậy tam giác vuông tại .
189 Giải:
Ta có công thức :
Mà theo công thức Heron, ta lại có :
Do đó,
Theo đẳng thức cơ bản, ta có :
Kết hợp với giả thuyết, ta được
( ) ( ) Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
( ) ( ) Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Kết hợp với , ta có :
{
{
(
)
Bài 28: Tìm tất cả các tam giác có độ dài 3 cạnh là các số nguyên dương, không có ước chung và thỏa mãn đẳng thức
(Đề nghị Olympic 30-4, 2006)
190
Chú ý: Đến đây, cơ bản bài toán đã hoàn thành, nhưng ta có thể có được một kết quả đẹp hơn nữa bằng việc áp dụng định lý hàm số sin, khi đó :
Ta chọn : .
Vậy tam giác có 3 cạnh thỏa mãn hệ thức :
Giải:
( )
( ) Do đó, tam giác nhọn. Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có :
√ Ta có thể giả sử :
( ) ( ) Mà
[ (
)]
Suy ra :
( ) Ta xét hàm số
( ) ( )
( ) Bài 29: Xác định hình dạng của tam giác có 3 góc thỏa mãn
(Đề nghị Olympic 30-4, 2008)
191
√
Từ bảng biến thiên, ta được
√ Do đó,
( ) √ Dấu xảy ra khi và chỉ khi
{ Vậy tam giác đều.
- BÀI TẬP TỰ LUYỆN
3.3.1. Tính các góc của tam giác nếu nó thỏa mãn
(ĐH Công Đoàn 2001)
(ĐH Vinh 2000)
(ĐH An Ninh 2000)
{
√
(ĐH Ngoại Thương Tp.HCM 1998)
192
{ { }
3.3.2. Hãy xác định các góc của tam giác , biết rằng
√
(Đề nghị Olympic 30-4, 2006) 3.3.3. Tính các góc của tam giác nhọn biết
(Đề nghị Olympic 30-4, 2007) 3.3.4. Tính số đo các góc của tam giác có diện tích và các cạnh thỏa mãn hệ thức :
(√ )
(Đề nghị Olympic 30-4, 2008) 3.3.5. Tính diện tích tam giác , biết rằng
3.3.6. Cho tam giác có các góc thỏa mãn
Tính .
3.3.7. Chứng minh tam giác cân khi các góc thỏa mãn hệ thức
193
{
3.3.8. Chứng minh tam giác vuông khi nó thỏa mãn hệ thức
(
) √
3.3.9. Chứng minh rằng tam giác đều nếu nó thỏa mãn hệ thức