Nội dung phương pháp: Giả sử phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng ( , )a b . Giải phương trình f x( ) 0= bằng phương pháp lặp gồm các bước sau:
1. Đưa phương trình f x( ) 0= về phương trình tương đương x g x= ( ). 2. Chọn x0∈( , )a b làm nghiệm gần đúng ban đầu.
3.Thay x x= 0 vào vế phải của phương trình x g x= ( ) ta được nghiệm gần đúng thứ nhất x1=g x( )0 . Thay x1=g x( )0 vào vế phải của phương
trình x g x= ( ) ta được nghiệm gần đúng thứ hai x2=g x( )1 . Lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy các nghiệm gần đúng
1 ( )0
x =g x , x2=g x( )1 , x3=g x( )2 , x4=g x( )3 ,...,xn=g x( n−1), ...
Nếu dãy các nghiệm gần đúng { }xn , n=1, 2,...hội tụ, nghĩa là tồn tại limn→∞xn=x thì (với giả thiết hàm
( )
g x là liên tục trong khoảng ( , )a b ) ta có:
1 1
lim n lim ( n ) (lim n ) ( )
n n n
x x g x− g x− g x
→∞ →∞ →∞
= = = = .
Chứng tỏ x là nghiệm đúng của phương trình x g x= ( ) và do đó x cũng là nghiệm đúng của phương trình f x( ) 0= .
Tính hội tụ: Có nhiều phương trình dạng x g x= ( ) tương đương với phương trình f x( ) 0= . Phải chọn hàm số g x( ) sao cho dãy { }xn xây dựng theo phương pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm. Ta có tiêu chuẩn sau.
Định lý. Giả sử ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm x của phương trình f x( ) 0= và phương trình
( )
x g x= tương đương với phương trình f x( ) 0= . Nếu g x( ) và g x'( ) là những hàm số liên tục sao cho [ ]
( ) 1 ,
g x′ ≤ < ∀ ∈q x a b thì từ mọi vị trí ban đầu x0∈( , )a b dãy { }xn xây dựng theo phương pháp lặp
( 1)
n n
x =g x − sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất x trong khoảng ( , )a b của phương trình f x( ) 0= . Thí dụ 1. Giải phương trình x3−x2− =1 0.
Phương trình này có duy nhất nghiệm trong khoảng (1;1.5) và tương đương với
3 2 1
x= x + . Do g x( )=3x2+1 có đạo hàm 3 2 2
'( ) 2
3 ( 1) g x x
= x
+ thỏa mãn điều kiện 3
'( ) 1 1
g x = 4< trong khoảng (1;1.5) nên dãy lặp xn+1=3xn2+1 hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng
(1;1.5) .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo hàm g x( )=3x2+1:
SHIFT 3 ( ALPHA X x2 + 1)
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X?
Khai báo giá trị ban đầu x0=1 và bấm phím = .
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=1.465571232. Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0=1 bằng cách bấm phím 1 = .
Khai báo dãy xấp xỉ xn+1=g x( )n =3x2n +1:
SHIFT 3 ( Ans x2 + 1)
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=1.465571232.
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x=1.465571232. Thí dụ 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình ex+ − =x 3 0.
Vì f x( )=ex+ −x 3 có đạo hàm f x'( )=ex+ > ∀1 0 x nên nó đồng biến trên
toàn trục số. Hơn nữa, f(0)= −3, f(1)= − >e 2 0 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất nằm trong khoảng (0,1).
Phương trình đã cho tương đương với x=ln(3−x). Đặt g x( ) ln(3= −x) thì g x'( )= −3−1x nên g x'( ) <12 ∀ ∈x ( )0,1 .
Do đó dãy lặp xn+1=ln(3−xn) hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng (0,1). Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo g x( ) ln(3= −x): ln ( 3− ALPHA X )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X?
Khai báo giá trị ban đầu 0
1
x =2 : 1 ab c/ 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến
26 27 28 0.792059968
x =x =x = .
Vậy nghiệm gần đúng là 0,792059968.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu 0
1
x =2: 1 ab c/ 2 và bấm phím = . Khai báo dãy xấp xỉ xn+1=g x( ) ln(3n = −xn): ln ( 3− Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x26=x27 =x28=0,792059968. Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x=0,792059968
Nhận xét 1. Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 13 bước lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206.
Nhận xét 2. Nếu ta đưa phương trình ex+ − =x 3 0 về dạng x= −3 ex thì g x( ) 3= −ex có đạo hàm
'( ) x
g x = −e không thỏa mãn điều kiện
( )
'( ) 1 0,1
g x ≤ < ∀ ∈q x
nên ta chưa thể nói gì được về sự hội tụ của dãy lặp.
Nhận xét 3. Chọn điểm xuất phát
0 2
x = ([2], trang 62) thì cần nhiều bước lặp hơn.
Dùng lệnh solve để giải phương trình trên Maple:
> solve(exp(x)+x-3,x);
-LambertW(exp(3)) + 3 Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW.
Ta có thể tính chính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh:
> evalf(",30);
.79205996843067700141839587788 Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ chính xác tuỳ ý.
Thí dụ 3. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x+lnx=0.
Vì f x( )= +x lnx là một hàm đồng biến ngặt trên (0,+∞). Hơn nữa f(1) 1 0= > và f( )1e = − <1e 1 0 nên phương trình có duy nhất nghiệm trên khoảng ( ,1)1e .
Phương trình đã cho tương đương với x e= −x =g x( ). Vì g x'( )= −e−x nên g x'( ) e x e1 1
e
= − ≤ < với mọi x∈( ,1)1e nên dãy lặp 1 xn
xn+ =e− hội tụ.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo g x( )=e−x: SHIFT ex ( − ALPHA X )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0
1 x = 2:
1ab c/ 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=0,567143290. Vậy nghiệm gần đúng là x=0,567143290.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS:
Khai báo giá trị ban đầu 0
1
x =2: 1 ab c/ 2 và bấm phím = . Khai báo 1 ( n) n
x
xn+ =g x =e− : SHIFT ex ( − Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=0,567143290. Vậy nghiệm gần đúng là x=0,567143290.
Thí dụ 4. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x=cos :x =g x( ).
Vì f x( )= −x cosx có đạo hàm f x'( ) 1 sin= + x≥ ∀0 x và chỉ bằng 0 tại một số điểm rời rạc x= − +π2 2kπ nên nó là hàm đồng biến ngặt. Do f(0)= −1 và f( )π2 =π2 nên phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng (0, )π2 .
Hiển nhiên g x'( ) = −sinx <sin(π ε2− <) 1 với mọi x∈(0,π ε2− ) với ε đủ nhỏ nên dãy xn+1=cosxn hội tụ trong khoảng (0,π ε2− ).
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
ấn phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian).
Khai báo g x( ) cos= x: cos ALPHA X
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=1.5 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=0,739085133 radian.
Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS:
Bấm phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-570 MS hoặc MODE
MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-500 MS.
Khai báo giá trị ban đầu x0=1.5: 1.5 và bấm phím = . Khai báo xn+1=g x( n) cos= xn: cos Ans
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=0.739085133. Thí dụ 5. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3−3x+ =1 0.
Vì f( 2)− = −1, f( 1) 3− = , f(1)= −1, f(2) 3= và x3−3x+ =1 0 là phương trình là bậc 3 nên nó có đúng 3 nghiệm trong các khoảng ( 2, 1)− − , ( 1,1)− ,(1, 2).
Phương trình trên tương đương với x=33x−1. Xét khoảng ( 2, 1)− − . Đặt g x( )=33x−1. Ta có 3 2 3
1 1
'( ) 1
(3 1) 16
g x = x < <
− nên dãy xn+1=33xn−1 hội tụ trong khoảng ( 2, 1)− − . Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
ấn phím MODE 1 (tính theo số thực).
Khai báo g x( )=33x−1: SHIFT 3 ( 3× ALPHA X − 1)
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0= −1 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0= −1: − 1 và bấm phím = .
Khai báo xn+1=g x( )n =33xn−1: SHIFT 3 ( 3× Ans − 1 )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x1≈ −1,879385242. Vậy một nghiệm gần đúng là x1≈ −1,879385242.
Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đó giải phương trình bậc hai ta tìm được hai nghiệm còn lại là: x≈1,53208886và x≈0,3472963.
Chú ý: Để tính nghiệm x2≈0,3472963 ta không thể dùng phương trình tương đương x=33x− =1 g x( ) như trên vì 3 2
'( ) 1
(3 1) g x = x
− không thỏa mãn điều kiện g x'( ) ≤ <q 1 trong khoảng (0,1) và dãy lặp
1 33 1
n n
x+ = x − không hội tụ (Hãy thử khai báo giá trị ban đầu x=0,3472963 và thực hiện dãy lặp
1 33 1
n n
x+ = x − theo quy trình bấm phím trên, ta sẽ thấy dãy lặp hội tụ tới x1≈ −1,879385242).
Nhận xét 1: Có thể giải phương trình x3−3x+ =1 0 trên Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-570 MS theo chương trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau:
Vào MODE giải phương trình bậc ba: MODE MODE 1 > 3
Khai báo hệ số: 1 = 0 = (-) 3 = 1 = Máy hiện đáp số x1=1.53088886.
Bấm tiếp phím = , máy hiện x2= −1.879385242. Bấm tiếp phím = , máy hiện x3=0.347296355. Vậy phương trình có ba nghiệm thực
1 1.53088886
x = ;x2= −1.879385242; x3=0.347296355.
Thí dụ 6. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số f x( )= − +x3 3x2−1 với trục hoành (chính xác đến 10−7).
Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số f x( )= − +x3 3x2−1 với trục hoành chính là nghiệm của phương trình f x( )= − +x3 3x2− =1 0.
Vì f( 1) 3− = , f(0)= −1, f(1) 1= , f(2,5) 2,125= và f(3)= −1 nên phương trình có 3 nghiệm trong các khoảng ( 1;0)− ,(0;1)và (2,5;3).
Phương trình f x( )= − +x3 3x2− =1 0 tương đương với x=33x2−1. Đặt g x( )=33x2−1 thì 3 2 2
'( ) 2
(3 1) g x x
= x
− và g x'( ) <0,9 1< . Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Bấm phím MODE 1 (tính theo số thực).
Khai báo g x( )=33x2−1: SHIFT 3 ( 3× ALPHA X x2 − 1)
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=2,7 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta đi đến nghiệm x≈2,879385242.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0=2,7: 2.7 = .
Khai báo xn+1=g x( )n =33x2n −1: SHIFT 3 ( 3× Ans x2 − 1 ) Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x≈2,879385242. Vậy một nghiệm gần đúng là x≈2,879385242.
Hai nghiệm còn lại có thể tìm bằng phương pháp lặp hoặc phân tích ra thừa số rồi tìm nghiệm của phương trình bậc hai hoặc một lần nữa dùng phương pháp lặp.
Bài tập
Bài tập 1. Tìm khoảng cách ly nghiệm của các phương trình sau đây:
1) x4−4x− =1 0; 2) x3−9x2+18x− =1 0; 3) lgx− + =3x 5 0.
Bài tập 2 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 24.11.1996).
Giải phương trình (tìm nghiệm gần đúng của phương trình):
1) x3−7x+ =4 0; 2) x3+2x2−9x+ =3 0; 3)32x5+32x−17 0= ; 4)x6−15x−25 0= ; 5)2x5−2cosx+ =1 0; 6)x2+sinx− =1 0;
7) 2cos3x−4x− =1 0; 8) x2−tgx− =1 0 (− < <π2 x 0); 9) Cho − < <1 x 0. Tìm một nghiệm gần đúng của cosx tg x+ 3 =0;
10) (Câu hỏi thêm cho trường chuyên Lê Hồng Phong):