CHUYÊN ĐỀ 4: CHUYÊN ĐỀ PT – HPT – BPT – HBPT MŨ VÀ LOGARIT
DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PP: xét PT mũ - logarit f(x) = 0 (*) với x D
☺Nếu f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì PT (*) có không quá một nghiệm. Nghĩa là nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.
☻Nếu y = f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì f(u) = f(v) u = v với mọi u, v D.
☼ Nếu y = f(x) có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời f (k) (x) có đúng m nghiệm phân biệt thì phương trình f (k - 1)
(x) = 0 sẽ có không quá m + 1 nghiệm.
Chú ý: đạo hàm của (au )' = u'. au .lna và đạm hàm của (loga u)' = u' u.lna
Hầu hết các phương pháp ở các dạng trên sau nhiều phép tính toán, biến đổi rất dễ đưa về dạng toán này. Cho nên các bạn cần chú ý học và tìm hiểu kỹ dạng này. Đó cũng là tiền đề để bạn sử dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
153
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com a. 2x = 3 - x
HD giải: PT 2x - 3 + x = 0 Xét f(x) = 2x - 3 + x với mọi x R
Ta có f'(x) = 2x ln2 + 1 > 0 x R ( do 2x > 0 và ln2 > 0 )
f(x) luôn đồng biến trên R, mà f(1) = 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất là x = 1.
b. 9x = 5x + 4x + 2. 20x
HD giải: Bài toán trên có đến 4 cơ số khác nhau, ta quyết định chia cho cơ số lớn nhất 9x. PT 1 = 5
9x +4
9x
+ 2. 20 9 x
( Nhậm nghiệm thử ta thấy x = 2 thỏa mãn ) Do 0 < 5
9 ; 4 9 ; 20
9 < 1 nên ln 5
9 < 0 , ln 4
9 < 0 , ln 20 9 < 0.
Do đó f '(x) = 5 9x
ln 5 9 +4
9x ln 4
9 + 2. 20 9 x
ln 20
9 < 0 x R
Nên hàm số f(x) nghịch biến trên R, mà f(2) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 2.
C. 3x + 5x = 6x + 2
HD giải: nhận xét 1 vế của phương trình là " hàm mũ ", còn vế còn lại là " hàm đa thức ".
Không thể biến đổi như các dạng đã đề cập ở trên của chuyên đề nên ta quyết định sử PP hàm số.
Xét f(x) = 3x + 5x = 6x + 2 với x R
Ta có f '(x) = 3x ln3 + 5x ln5 - 6 là hàm số liên tục Và f '(0) = ln3 + ln5 - 6 < 0 , f '(1) = 3ln3 + 5ln5 - 6 > 0 Nên phương trình f '(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = xo Bảng biến thiên:
x xo f '(x) - 0 +
f (x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có không quá hai nghiệm phân biệt.
Mà f(0) = f(1) = 0 nên mọi nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 hoặc x = 1
Để có thể ứng dụng PP hàm số này một cách hiệu quả trước tiên bạn nên " nhẩm nghiệm " PT đã cho trước. Ứng với số nghiệm tìm được ta sẽ đề xuất cách giải.
d. (2 - 3)x + (2 + 3)x = 4x HD giải: PT
2 - 3 4 x
+ 2 + 3 4 x
= 1
154
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Xér f(x) =
2 - 3 4 x
+ 2 + 3 4 x
với x R
Vì 0 < 2 - 3
4 ; 2 + 3
4 < 1 nên ln
2 - 3 4
< 0 và ln
2 + 3 4
< 0 Do đó, f'(x) =
2 - 3 4 x
.ln2 - 3 4
+ 2 + 3 4 x
ln2 + 3 4
< 0 x R
Nên hàm số f(x) luôn nghịch biến trên R, mà f(1) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 1
e. 7x - 1 = 1 + 2log7 (6x - 5)3
HD giải: Điều kiện 6x - 5 > 0 x > 5 6 Đặt y - 1 = log7 (6x - 5) thì 7y - 1 = 6x - 5 (1) PT đã cho trở thành 7x - 1 = 1 + 2log7 (6x - 5)3 7x - 1 = 1 + 6log7 (6x - 5) 7x - 1 = 1 + 6log7 7y - 1 7x - 1 = 1 + 6(y - 1) 7x - 1 = 6y - 5 (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được: 7y - 1 - 7x - 1 = 6x - 6y
7x - 1 + 6(x - 1) = 7y - 1+ 6(y - 1) f(x - 1) = f(y - 1)
Dễ thấy f(t) = 7t + 6t là hàm số đồng biến trên R, mà f(x - 1) = f(y - 1) x - 1 = y - 1 x = y Khi đó phương trình đã cho có dạng (1) 7x - 1 - 6x + 5 = 0 (3) ( nhẩm nghiệm x = 1, x = 2) Xét hàm số g(x) = 7x - 1 - 6x + 5 x R
Ta có g'(x) = 7x - 1.ln7 - 6 nên g'(x) = 0 xo = 1 + log7 6 ln7 Bảng biến thiên:
x xo g'(x) - 0 +
g (x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 chỉ có không quá hai nghiệm phân biệt
Mà f(1) = f(2) = 0 nên x = 1, x = 2 là các nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a.log2 x + log3 (2x - 1) + log5 (7x - 9) = 3 HD giải: Điều kiện x > 9
7
155
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Xét hàm số f(x) = log2 x + log3 (2x - 1) + log5 (7x - 9) với x > 9
7 Ta có f '(x) == 1
x.ln2 + 2
(2x - 1)ln3 + 7
(7x - 9).ln5 > 0 x > 9 7 Vậy hàm số f(x) đồng biến trên ( 9
7 ; +) nên phương trình f(x) = 3 nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.
Mà f(2) = 3 nên phương trình đã cho có nghiệm x = 2
b. x3.log3 x = 27 HD giải: x > 0
Viết phương trình đã cho dưới dạng log3 x - 27 x3 = 0 Xét hàm số f(x) = log3 x - 27
x3 với x > 0 Ta có f '(x) = 1
xln3 + 81
x4 > 0 x > 0 nên hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; +) nên phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất. Mà f(3) = 0 nên phương trình có nghiệm x = 3
c. 2x2 + x
+ log2 x = 2x + 1 HD giải: x > 0
PT 2x2 + x
+ log2x(x + 1)
x + 1 = 2x + 1 2x2 + x
+ log2 (x2 + x) - log2 (x + 1) = 2x + 1 2x2 + x
+ log2 (x2 + x) = 2x + 1 + log2 (x + 1) Đặt f(t) = 2t + log2 t ( t > 0)
Ta có f '(t) = 2t ln2 + 1
t.ln2 > 0 t > 0
Nên hàm số y = f(t) luôn đồng biến trên (0; + ) Lại có f(x2 + x) = f(x + 1) x2 + x = x + 1 x = 1 (nhận)
x = -1 (loại) . Vậy x = 1 là nghiệm phương trình.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 3x - 4 + x = 0 2) (0,5)x = 2x + 8 3) 3x + 4x = 5x 4) ( 15)x + 1 = 4x 5) 32x + x - 66 = 0 6) 3x + 4x = 5x + 2 7) 22x - 3x = 7 8) 9x = 8x + 1 9) 2x = 3x - 1 10) 4x - 2x + 1 + x - 1 = 0 11) 1 + 8x + 4x = 9x 12) 3x = 5 - 2x
156
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 13) 5x = 3x + 2 14) 1 + (3 + 8)x + (3 - 8)x = 7x 15) 76 - x = x + 2 16) 2x + 5x = 7x 17) 9.3x - 7x = 5.4x 18) 30,5x = 2x - 1 19) 1 + 80,5x = 3x 20) 2x + 5x + 3x = 10x 21) 25x + 10x = 22x + 1 22) 5x + 1 + 7x + 1 = 13x + 1
23) 4.3x - 6x + 2 - x = 0 24) ( 2 + 3)x + ( 2 + 3)x = 2x 25) log7 (x + 2) = 6 - x 26) log(x - 2) = - x2 + 2x + 3 27) x + log(x2 - x - 6) = 4 + log(x + 2)
28) log(x2 - 6x + 5) = log(x - 1) + 6 - x 29) xlog2 9
= x2 .3log2 x
- xlog2 3
30) (1 + x)(2 + 4x)
= 3.4x
31) log2 (1 + cosx) = 2cosx 32) 5x + 2x = 3x + 4x 33) xlog7 11
+ 3log7 x = 2x 34) log2 2x - 1
|x| = 1 + x - 2x 35) 5x + 3x + 2x = 28x - 18 36) (4x + 2)(2 - x) = 6 37) 5x + 2x = 2 - x
3 + 44log2 (2 - 5x + 131x
3 ) 38) 4x + 2x = 14
3 x3 - 9x2 + 25 3x + 2 39) log(x2 - x - 12) + x = log(x + 3) + 5 40) x(log 5 - 1) = log(2x + 1) - log6 41) 3x2 - 2x3 = log2 (x2 + 1) - log2 x 42) (1 + 1
2x).log3 + log2 = log(27 - 3 1 x )
43) log
2 2 + 3 (x2 - 2x - 2) = log
(2 + 3) (x2 - 2x - 3) 44) log(9 - 2x) 3 - x = 1 45) (2 + 2)log2 x
+ x(2 - 2)log2 x
= 1 + x2 46) 5logx - 3logx - 1 = 3logx + 1 - 5logx - 1 47) log4 (log2 x) + log2 (log4 x) = 2 48) log2 x + log3 x + log4 x = log20 x 49) log2 (x - x2 - 1).log3 (x + x2 + 1) = log6 (x - x2 - 1)