Hàm xấp xỉ - Phép nội suy

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 19 1. Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn

1.2 Hàm xấp xỉ - Phép nội suy

Ý tưởng của phương pháp này là cần tìm các hàm thỏa mãn điều kiện biên và xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm tại điểm bất kỳ trong miền xác định V. Ứng dụng vào phương pháp PTHH, chúng ta cần tìm các hàm thỏa mãn điều kiện biên của các phần tử tức là các hàm này cho kết quả đúng tại các nút của phần tử và xấp xỉ hóa đại lƣợng cần tìm tại điểm bất kỳ trong miền con Vj. Điều này cho phép ta khả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản. Và vì vậy bước quan trọng đầu tiên cần nói đến là việc chọn hàm xấp xỉ đơn giản, thường chọn ở dạng đa thức vì những lý do sau:

 Đa thức khi đƣợc xem nhƣ một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức thì tập hợp các đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính.

 Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi xây dựng các phương trình của PPPTHH và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt vì dễ đạo hàm, tích phân.

 Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ (về mặt lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghiệm chính xác). Tuy nhiên trong thực tế ta cũng chỉ lấy các đa thức xấp xỉ bậc nhất mà thôi.

2.2.2 Phép nội suy

Trong PP PTHH , các hệ số trong các hàm đa thức xấp xỉ đƣợc biểu diễn qua các giá trị của nó (cả những giá trị đạo hàm) tại các điểm nút được định trước trên mỗi phần tử.

Nói cách khác là hàm xấp xỉ đƣợc nội suy theo các giá trị ( hoặc cả các đạo hàm) của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vi mỗi phần tử đại lƣợng cần tìm là hàm bất kì sẽ đƣợc xấp xỉ hóa bằng một đa thức nội suy qua các giá trị (hoặc cả các đạo hàm) của nó tại điểm nút của phần tử.

Ví dụ:

Hình 2.2 Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange

Nội suy hằng số: (2.4)

Nội suy tuyến tính :

(2.5)

Nội suy bậc hai : (2.6) 2.2.3 đa thức xấp xỉ

Như đã nói ở trên, hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức đơn giản. Có thể như sau. [3] :

Bài toán 1 – D (một chiều)

: u x = a1 + a2 x (xấp xỉ tuyến tính) (2.7) u x = a1 + a2 x+ a x3 2 (xấp xỉ bậc hai) (2.8) u x = a1 + a2 x+ a x3 2+ a x4 3 (xấp xỉ bậc ba) (2.9)

Hay nếu lấy u x  là một hàm xấp xỉ bậc n thì: u x  = 1 1

1 n

i

a xi

 

 (2.10)

Hay:u x  = [1 x x2 ... xn ]

1 2 3

1

...

n

a a a a 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hay Hay:u x = P x  a (2.11)

Trong đó : P x  gọi là ma trận các đơn thức.

 a gọi là véc tơ các tọa độ tổng quát hay véc tơ các tham số.

Bài toán 2 – D (hai chiều)

ví dụ : u x y , = a1a x2 a y3 a x4 2 a y5 2 a xy6

(2.12)

= [1x y x2 y xy2 ]

1 2

6

...

a a

a

  

  

  

 

(2.13)

Hay u x y ,  P x y   ,  a (2.14)

2.2.4 Chọn bậc của đa thức xấp xỉ hay hàm xấp xỉ

 Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ:

Do phương pháp PTHH là một phương pháp số và do đó phải đảm bảo được rằng khi kích thước phần tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. Muốn vậy đa thức xấp xỉ ue phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:

 Liên tục trong phần tử (Ve). Điều này hiển nhiên thỏa mãn khi xấp xỉ là đa thức.

 Bảo đảm tồn tại trong phần tử trạng thái đơn vị (hằng số) và đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm I u  đòi hỏi.

 Vì như ta đã biết, PPPTHH có thể được xem như một phương pháp xấp xỉ khi cực tiểu hóa một hàm dạng:

 

I u = ( , , ,, ,,,..., ( )r )

V

F x u u u u dx

 (2.15)

 Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r-1) là liên tục.

Với cơ học vật rắn biến dạng và kết cấu, các yêu cầu này có thể đƣợc hiểu nhƣ yêu cầu liên tục của biến dạng, nói cách khác là phần tử biến dạng không có sự đứt, gãy. Nhƣ với dầm, tấm, vở đòi hỏi cả chuyển vị và đạo hàm cấp 1 của chuyển vị là liên tục. Nếu đa thức xấp xỉ thảo mãn tất cả 3 điều kiện này, thì nghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ tới nghiệm chính xác khi sử dụng lưới phần tử mịn hơn. Tuy nhiên để thấy được điều này khi mịn hóa lưới phần tử cũng cần tuân theo các qui tắc sau:

 Lưới sau được mịn hơn trên cơ sở lưới trước, các điểm nút lưới trước cũng có mặt trong tập hợp các nút lưới sau.

 Các phần tử có khích thước nhỏ hơn trước nhưng dạng hình học của phần tử vẫn phải nhƣ dạng cũ.

 Dạng đa thức xấp xỉ là không đổi trong quá trình mịn hóa lưới phần tử.

 Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình học.

 Dạng đa thức đƣợc chọn từ tam giác Passcal ( cho bài toán 2 chiều), tháp Passcal cho bài toán 3 chiều.

Hình 2.3 Chọn dạng đa thức theo tam giác pascal

Hình 2.4 a –tam giác Pascal b – Tháp pascal

 Các số phần tử của {a} tức số tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc tự do của phần tử  q e. Yêu cầu này cho khả năng nội suy đa thức xấp xỉ theo giá trị đại lƣợng cần tìm tại các điểm nút.