3.2 Mô hình Black-Scholes phân thứ
3.2.2 Mô hình Black-Scholes phân thứ xấp xỉ
Đầu tiên ta chứng minh rằng quá trình giá cổ phiếu (3.7) được xấp xỉ bởi giá Stε thỏa mãn (3.10) là phù hợp. Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.2. Quá trình giá Stε hội tụ tới giá St trong Lp(Ω), p > 0 khi ε →0. Sự hội tụ này là đều theo t∈ [0, T].
Chứng minh. Chúng ta nhắc lại từ [18] rằng
St = S0eàt+σWtH Stε = S0eàt−12σ2K2(t+ε,t)+σWtH,ε.
Bởi vì WtH,ε và WtH là các quá trình Gaussian quy tâm với phương sai hữu hạn trong đoạn [0, T] nên tồn tại hằng số hữu hạn C(p, S0, T) thỏa mãn
E|Stε−St|p = S0pepàtE|e−12σ2K2(t+ε,t)+σWtH,ε −eσWtH|p
≤ C(p, S0, T)[
E|WtH,ε−WtH|p+K2p(t+ε, t)]
≤C(p, S0, T)[
εpH +ε2p(H−12)]
≤C′(p, S0, T)ε2p(H−12). (3.23)
Định lý 3.3. Cho H ∈ (0,1). Với mỗi ε > 0 cố định, mô hình xấp xỉ gồm trái phiếu (3.6) và cổ phiếu (3.10) là không có độ chênh thị giá.
Chứng minh. Sử dụng phân tích semimartingale (2.1) ta có thể viết lại (3.10) như sau
dStε = (à+σφεs)Stεdt+σK(t+ε, t)StεdWt; S0 > 0. (3.24)
Từ Định lý 12.1.8 trong [53] ta chỉ cần chứng minh rằng quá trình ngẫu nhiên
u(t, ω) := à+σφεt −r σK(t+ ε, t) thỏa mãn điều kiện Novikov
E [
exp(1 2
∫T 0
u2(t, ω)dt)]
< ∞.
Bất đẳng thức trên là hiển nhiên bởi vì φεt =
∫t 0
∂1K(t+ε, u)dWu là một quá trình Gauss quy tâm với phương sai hữu hạn.
Một chiến lược đầu tư là một cặp quá trình ngẫu nhiên tương thích π = (αt, βt), trong đó αt và βt là số trái biếu và số cổ phiếu mà nhà đầu tư nắm giữ tại thời điểm t, một cách tương ứng. Như vậy quá giá trị tương ứng với chiến lược này là cho bởi
Vt = αtBt +βtSt.
Chúng ta đưa ra các giả sử sau về chiến lược đầu tư π : (A1). π là một chiến lược tự tài trợ, tức là:
Vt = V0 +
∫t 0
αsdBs+
∫t 0
βsdSs,
trong đó tích phân ngẫu nhiên trong vế phải hiểu là tích phân ngẫu nhiên bởi Z¨ahle.
(A2). π là một chiến lược đầu tư có dạng (chiến lược kiểu Markov) αt = α(t, St) , βt = β(t, St).
Chú ý rằng lớp các chiến lược đầu tư thỏa mãn hai giả thiết trên là khác rỗng. Thật vậy, Shiryayev [56] đã chỉ ra một chiến lược đầu tư cụ thể như sau αt = 1−e2WtH, βt = 2(eWtH −1).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng trong lớp các chiến lược kiểu Markov, quá trình giá trị Vt có thể được xấp xỉ theo xác suất bởi semi- martingaleVtε.Thật vậy, đầu tiên ta thấy rằngVtε là một semimartingale bởi vì
Vtε = α(t, Stε)Bt +β(t, Stε)Stε Vtε = V0 +
∫t 0
α(s, Ssε)dBs+
∫t 0
β(s, Ssε)dSsε
= V0 +
∫t 0
[α(s, Ssε)rBs +àβ(s, Ssε)Ssε] ds+
∫t 0
σβ(s, Ssε)SsεdWsH,ε
= V0 +
∫t 0
[rα(s, Ssε)Bs +àβ(s, Ssε)Ssε+ σφεsβ(s, Ssε)Ssε] ds
+
∫t 0
σK(s+ ε, s)β(s, Ssε)SsεdWs. (3.25) Định lý 3.4. ChoH > 12 và giả sử rằng chiến lược tự tài trợ kiểu Markov π thỏa mãn các điều kiện sau với các hằng số δ1, δ2, δ3 > 0 nào đó
(C1). |α(t, x)−α(t, y)| ≤ M|x−y|δ1 ∀ x, y ∈ R ∀ t∈ [0, T].
(C2). |β(t, x)−β(s, x)| ≤ M|t−s|12+δ2 ∀ x ∈ R ∀ t, s ∈ [0, T].
(C3). β(t, x) là một hàm khả vi theo biến x và
|βx′(t, x)| ≤M(1 +|x|δ3) ∀ x ∈ R. Khi đó Vtε −→P Vt khi ε →0 với mọi t∈ [0, T].
Chứng minh. Ta có Vt = V0 +
∫t 0
α(s, Ss)dBs +
∫t 0
β(s, Ss)dSs
= V0 +
∫t 0
[α(s, Ss)rBs +àβ(s, Ss)Ss
]ds+
∫t 0
σβ(s, Ss)SsdWsH,
Vtε = V0 +
∫t 0
α(s, Ssε)dBs+
∫t 0
β(s, Ssε)dSsε
= V0 +
∫t 0
[α(s, Ssε)rBs +àβ(s, Ssε)Ssε] ds+
∫t 0
σβ(s, Ssε)SsεdWsH,ε.
Do đó
|Vtε−Vt| ≤
∫t 0
α(s, Ssε)−α(s, Ss)r ersds +à
∫t 0
β(s, Ssε)Ssε−β(s, Ss)Ssds +
∫t 0
σβ(s, Ssε)SsεdWsH,ε −
∫t 0
σβ(s, Ss)SsdWsH
:= I1 +I2 +I3. (3.26)
Áp dụng bất đẳng thức H¨older và sử dụng điều kiện (C1) ta nhận được
E[I12]≤
∫t 0
r2e2rsds
∫t 0
E|α(s, Ssε)−α(s, Ss)|2ds
≤ rM2(e2rT −1) 2
∫t 0
E|Ssε −Ss|2δ1ds. (3.27)
Do đó, từ Mệnh đề 3.2 ta suy ra rằng I1 L
2(Ω)
−−−→ 0 khi ε →0.
Tiếp theo, ta chứng minh I2 L
2(Ω)
−−−→ 0 khi ε → 0. Thật vậy, đặt f(t, x) = β(t, x)x, uεt = f(t, Stε) và ut = f(t, St) thế thì bởi bất đẳng thức H¨older ta có
E|uεt −ut|2 ≤ E[
A(t, x)(Stε −St)]2
≤ [
E|A(t, x)|4]12[
E|Stε−St|4]12
, (3.28)
trong đó
A(t, x) := sup
min(Stε,St)≤x≤max(Stε,St)
∂f(t, x)
∂x . Lại sử dụng Mệnh đề 3.2 ta có
[E|Stε −St|4]12
≤ C′(S0, T)ε4H−2 → 0 (3.29) một cách đều theo t ∈ [0, T] as ε → 0, trong đó C′(S0, T) là một hằng số nào đó chỉ phụ thuộc vào S0 và T. Như vậy ta chỉ cần chứng minh nhân tử đầu tiên trong vế phải của (3.28) là hữu hạn.
Sử dụng các điều kiện (C2) và (C3) ta có ∂f(t, x)
∂x ≤ |β(t, x)|+|βx′(t, x)x|
≤ |β(0, x)|+ M t12+δ2 +M(|x|+|x|1+δ3).
Do đó
A(t, x) ≤ sup
min(Sεt,St)≤x≤max(Stε,St)
(|β(0, x)|+M t12+δ2 +M(|x|+|x|1+δ3))
≤ |β(0, S0)|+M T12+δ2 +M sup
min(Stε,St)≤x≤max(Stε,St)
(|x|+|x|1+δ3)
≤ |β(0, S0)|+M T12+δ2 +M sup
|x|≤Stε+St
(|x|+|x|1+δ3)
≤ |β(0, S0)|+M T12+δ2 +M(|Stε +St|+|Stε+ St|1+δ3), từ bất đẳng thức cơ bản (a+b+ c)2 ≤ 3(a2 +b2 +c2) ta đi đến
E|A(t, x)|4 ≤ 27[
(β(0, S0) +M T12+δ2)4 +M4E|Stε+ St|4
+M4E|Stε +St|4(1+δ3)] . Nhìn vào bất đẳng thức trên ta thấy E|A(t, x)|4 là hữu hạn nếu ta chứng minh được E|Stε+St|p < ∞ với mọi p > 1. Ta có
E|Stε+St|p ≤ 2p−1(E|Stε|p+ E|St|p)
≤2p−1S0p(
Eep(àt−12σ2K(t+ε,t)+σWtH,ε)
+Eep(àt+σWtH))
. (3.30)
Hiển nhiên vế phải của (3.30) là bị chặn bởi một hằng số CT bởi vì WtH,ε, WtH, t ∈ [0, T] là các quá trình Gauss với phương sai hữu hạn.
Như vậy, uεt L
2(Ω)
−−−→ ut một cách đều theo t ∈ [0, T] khi ε →0 và
E|I2|2 = à2E (∫t
0
(uεs −us)ds )2
≤ à2T2 sup
0≤s≤T
E|uεs−us|2 →0 , ε → 0.
Cuối cùng, ta chứng minh I3 −→P 0 khi ε → 0.
I3 =
∫t 0
σuεsdWsH,ε−
∫t 0
σusdWsH
≤
∫t 0
σ(uεs −us)dWsH,ε +
∫t 0
σusdWsH,ε −
∫t 0
σusdWsH
(3.31) Bởi vì St ∈ C12−[0, T] = ∩
δ<12
Cδ[0, T] và sử dụng các điều kiện (C2),(C3), từ ước lượng
|ut −us| ≤ |β(t, St)St −β(s, St)St|+ |β(s, St)St −β(s, Ss)Ss|
ta thấy rằng ut ∈ C12−[0, T]. Do đó sự hội tụ của số hạng thứ hai trong vế phải của (3.31) tới 0 suy ra từ Định lý 3.2. Số hạng đầu tiên hội tụ tới 0 suy ra từ Bổ đề 3.1 bên dưới bởi vì từ quy tắc xích của đạo hàm Malliavin ta có
DsWut = Ds[β(t, St)St] = [βx′(t, St)St +β(t, St)]DWs [S0eàt+σWtH]
= σSt[βx′(t, St)St +β(t, St)]K(t, s), và như vậy điều kiện (3.32) là được thỏa mãn.
Định lý được chứng minh xong.
Bổ đề 3.1. Cho H > 12. Giả sử u, uε ∈ D1,2 là các quá trình ngẫu nhiên tương thích thỏa mãn điều kiện
∫T 0
∫t 0
|DsWut|∂1K(t, s)dsdt < ∞ h.c.c (3.32)
Nếu uεt → ut ucp (uniform convergence in probability), tức là ∀t : |uεt − ut| ≤ Cεγ h.c.c với hằng số γ > 0 nào đó thì ta có giới hạn sau theo xác suất
limε→0
∫T 0
(uεs −us)dWsH,ε = 0. (3.33) Chứng minh. Từ phân tích (2.1) ta có
∫T 0
(uεs −us)dWsH,ε =
∫T 0
(uεs −us)K(s+ ε, s)dWs
+
∫T 0
(uεs−us)
∫s 0
∂1K(s+ε, t)dWtds
Bởi vì lim
ε→0
∫s 0
∂1K(s+ε, t)dWt không tồn tại nên chúng ta không thể lấy giới hạn ε → 0 một cách trực tiếp. Tuy nhiên bằng cách áp dụng công thức tích phân từng phần cho tích phân Skorohod ta nhận được
∫T 0
(uεs −us)dWsH,ε =
∫T 0
(uεs −us)K(T +ε, s)dWs
+
∫T 0
∫T s
(uεt −ut −uεs +us)∂1K(s+ε, t)dtδWs
+
∫T 0
dt
∫t 0
DsW(uεt −ut)∂1K(t+ ε, s)ds := A1 +A2 +A3,
trong đó DWs F là đạo hàm Malliavin của biến ngẫu nhiên F và δWs là vi phân Skorokhod.
Ta dễ dàng thấy rằng A1, A2 →0 bởi vì uεt →ut ucp và điều kiện (3.32) là đủ để đảm bảo sự hội tụ của A3 tới 0.
Bổ đề được chứng minh xong.
Định lý 3.5. Giả sử H > 12. Ký hiệu C(t, Stε) là giá trị của một quyền chọn mua kiểu châu Âu tại thời điểm t trong mô hình xấp xỉ (3.6), (3.10). Khi đó phương trình đạo hàm riêng Black-Schloes là cho bởi
1
2σ2K2(t+ε, t)(Sε)2 ∂2C
∂(Sε)2 +r∂C
∂SεSε+ ∂C
∂t −rC = 0. (3.34) Phương trình Black-Schloes trong mô hình (FB-S) là
r∂C
∂SS + ∂C
∂t −rC = 0, (3.35)
cho ta công thức hiển của giá quyền chọn mua kiểu châu Âu tại thời điểm t = 0
C0 = (S0 −e−rTK)+. (3.36) Chứng minh. Sử dụng công thức vi phân Itô’s ta có
dC = [∂C
∂t + (à+σφεt)Sε ∂C
∂Sε + 1
2σ2K2(t+ε, t)(Sε)2 ∂2C
∂(Sε)2]dt +σK(t+ε, t)∂C
∂SεSεdWt. (3.37) Ta xét một phương án đầu tư bao gồm
• một đơn vị quyền chọn C,
• ∂S∂Cε đơn vị cổ phiếu Sε và
• một khoản nợ A(t, Sε) với lãi suất r.
Khi đó quá trình giá trị R(t, Stε) của phương án này sẽ thỏa mãn dR = dC − ∂C
∂SεdSε −Ar dt
= [∂C
∂t + 1
2σ2K2(t+ε, t)(Sε)2 ∂2C
∂(Sε)2 −Ar]dt.
và nếu ta chọn
A= 1 r
[∂C
∂t + 1
2σ2K2(t+ε, t)(Sε)2 ∂2C
∂(Sε)2 ]
thì dR = 0. Hiển nhiên rằng phương án đầu tư mà ta xét không mang lại bất kỳ lợi nhuận nào, do đós giá trị của nó phải bằng 0. Từ đó ta nhận được phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes
1
2σ2K2(t+ ε, t)(Sε)2 ∂2C
∂(Sε)2 + r∂C
∂SεSε+ ∂C
∂t −rC = 0 (3.38) với các điều kiện biên
{ C(t,0) = 0 ∀ t∈ [0, T], C(T, STε) = (STε −K)+
Phương trình (3.35) suy ra từ (3.38) bằng cách lấy giới hạn khi ε →0.
Định lý được chứng minh xong.
Chú ý 3.2. Phương trình (3.38) là đúng với mọi H ∈ (0,1) và trong trường hợp WtH = WtH,(2) là LfBm, nó trở thành
1
2σ2ε2α(Sε)2 ∂2C
∂(Sε)2 +r ∂C
∂SεSε + ∂C
∂t −rC = 0. (3.39) Ta có thể giải phương trình này để tìm được giá của quyền chọn mua kiểu châu Âu
C0(ε) =S0N(d1)−e−rTKN(d2) trong đó d1 = ln
S0
K+(r+σ2ε22α)T σεα√
T , d2 = ln
S0
K+(r−σ2ε22α)T σεα√
T và N(x) là hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên chuẩn tiêu chuẩn.
Hiển nhiên, với H = 12, ta tìm lại được công thức định giá Black- Scholes đã biết trong mô hình cổ điển.
Kết luận
Luận án sử dụng phương pháp xấp xỉ semimartingale đã biết bởi PGS.TS. Trần Hùng Thao (2003) để nghiên cứu các bài toán cơ bản của giải tích ngẫu nhiên phân thứ (tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên, lọc ngẫu nhiên...vv), các kết quả lý thuyết đạt được là cơ sở để giải quyết một vài bài toán ứng dụng trong Tài chính và Bảo hiểm. Đóng góp chính của Luận án là:
Về mặt lý thuyết
• Chỉ ra mối liên hệ giữa hai kiểu định nghĩa tích phân ngẫu nhiên phân thứ bởi Z¨ahle (1998) và Thao & Christine (2003). Chúng trùng nhau trong lớp các quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo H¨older liên tục bậc lớn hơn 12.
• Nghiên cứu ba lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ có ứng dụng quan trọng trong thực tiễn là: phương trình Langevin phân thứ, phương trình với độ dịch chuyển đa thức và phương trình hồi phục trung bình hình học phân thứ. Đây chính là ưu điểm của phương pháp xấp xỉ semimartingale đã trình bày trong Luận án bởi hầu hết các phương pháp tính toán ngẫu nhiên phân thứ khác đều chưa thể giải được ngay cả dạng tuyến tính đơn giản nhất.
• Nghiên cứu bài toán lọc tuyến tính với quá trình tín hiệu có động học là phương trình kiểu Langevin phân thứ và quan sát là một quá trình điểm.
Ứng dụng
• Mô hình hóa tài sản và nợ của một ngân hàng hoặc của một công ty bảo hiểm bởi hệ động lực phân thứ tuyến tính. Từ đó đánh giá được xác suất rủi ro - một vấn đề then chốt trong quản trị rủi ro.
• Nghiên cứu mô hình Black-Scholes phân thứ, mà khó khăn chính như đã chỉ ra bởi các tác giả khác rằng mô hình này có độ chênh thị
giá. Chúng tôi vượt qua khó khăn này bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ semimartingale, công thức định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu được tìm thấy cho mọi H > 12. Đây là một mở rộng đáng kể kết quả của Cheridito (2001).
Hướng nghiên cứu của Luận án vẫn còn nhiều bài toán mở chưa được giải quyết. Chẳng hạn như nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ dạng tổng quát, nghiên cứu bài toán lọc phi tuyến phân thứ, nghiên cứu bài toán ước lượng tham số trong các mô hình phân thứ,...vv. Tác giả hy vọng rằng các bài toán này sẽ sớm được giải quyết trong tương lai.
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án
1. Nguyen Tien Dung (2008), "A Class of Fractional Stochastic Dif- ferential Equations", Vietnam Journal of Mathematics, 36(3), pp.
271-279. MR2478690.
2. Nguyen Tien Dung and Tran Hung Thao (2010), "An Approxi- mate Approach to Fractional Stochastic Integration And Its Appli- cations", Brazilian Journal of Probability and Statistics, 24(1), pp.
57-67. MR2580628
3. Tran Hung Thao and Nguyen Tien Dung (2010) , "A Note on Op- timal State Estimation for A Fractional Linear System", Interna- tional Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 5(10), pp.
467-474. MR2674479.
4. Nguyen Tien Dung (2011), "Fractional Stochastic Differential Equa- tions: A Semimartingale Approach", Studia Universitatis Babeás- Bolyai Mathematica, LVI(1), pp. 141-155. MR2813281.
5. Nguyen Tien Dung (2011), "Semimartingale Approximation of Frac- tional Brownian Motion and Its Applications", Computers and Mathematics with Applications, 61(7), pp. 1844-1854. MR2782221.
(This is an Elsevier Journal and listed in SCI system with Impact Factor of 1.192).
6. Nguyen Tien Dung (2011), "Fractional Geometric Mean Rever- sion Processes", Journal of Mathematical Analysis and Applica- tions, 380, pp. 396-402. MR2786210. (This is an Elsevier Journal and listed in SCI system with Impact Factor of 1.225).
Tài liệu tham khảo
[1] Alòs. E., Mazet. O. and Nualart. D. (2000), "Stochastic calculus with respect to fractional Brownian motion with Hurst paramenter less than 12”,Stochastic Processes and Their Applications, 86(1), pp.
121-139.
[2] Alòs. E., Mazet. O. and Nualart. D. (2001), "Stochastic calculus with respect to Gaussian processes", Ann. Probab. 29, pp. 766-801.
[3] Androshchuk. T. O. (2006), "Approximation of a stochastic integral with respect to fractional Brownian motion by integrals with respect to absolutely continuous processes", Theor. Probability and Math.
Statist., 73, pp. 19-29.
[4] Biagini, F., Hu, Y., ỉksendal, B., Sulem, A.(2002), "A stochastic maximum principle for processes driven by a fractional Brownian motion", Stoch. Proc. Appl., 100, pp. 233-254.
[5] Bjork. T. and Hult. H. (2005), "A note on Wick products and the fractional Black-Scholes model", Financ. Stochastics,9, pp. 197-209.
[6] Buldygin. V. V. and Kozachenko. Yu. V. (2000), Metric Charac- terization of Random Variables and Random Processes, American Mathematical Society, Vol. 188.
[7] Carmona. P., Coutin. L., and Montseny. G. (2003), "Stochastic in- tegration with respect to fractional Brownian motion", Ann. Inst.
H. Poincaré Probab. Statist., 39(1), pp. 27-68.
[8] Comte. F. and Renault. E. (1998), "Long Memory in Continuous- Time Stochastic Volatility Models",Mathematical Finance, 8(4), pp.
291-323.
[9] Coutin. L. (2007), "An Introduction to Stochastic Calculus with Re- spect to Fractional Brownian motion", In Séminaire de Probabilités XL, 3-65. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
[10] Coutin. L. and Decreusefond. L. (1999), "Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion", Preprint.
[11] Cheridito. P. (2001), "Mixed Fractional Brownian motion", Bernoulli, 7, pp. 913-934.
[12] Cheridito. P. (2003), "Arbitrage in Fractional Brownian Motion Models", Finance and Stochastics, 7(4), pp. 533-553.
[13] Decreusefond, L., ¨Ust¨unel, A.S. (1995), "Application du calcul des variations stochastiques au mouvement brownien fractionnaire". C.
R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 321, pp. 1605-1608.
[14] Decreusefond. L. and ¨Ust¨unel. A. S. (1999), "Stochastic analysis of the fractional Brownian motion",Potential Anal., 10(2), pp.177-214.
[15] Dáebicki. K., Michna. Z., and Rolski. T. (1998), "On the supre- mum from Gaussian processes over infinite horizon",Probability and Math. Stat., 18, pp. 83-100.
[16] Doukhan, P., Oppenheim, G., Taqqu, M. (2003), Theory and Appli- cations of Long-Range Dependence, Birkh¨auser, Boston.
[17] Duncan. T. E., Hu. Y., and Duncan. P. B. (2000), "Stochastic Cal- culus for Fractional Brownian Motion", SIAM Control and Opti- mization, 38(2), pp. 582-612.
[18] Dung. N. T. (2008), "A class of fractional stochastic differential equations", Vietnam Journal of Mathematics, 36(3), pp 271-279.
[19] Dung. N. T. (2011), "Fractional stochastic differential equations: a semimartingale approach", Stud. Univ. Babeás-Bolyai Math. LVI(1), pp. 141-155.
[20] Dung. N. T. (2011), "Semimartingale approximation of Fractional Brownian motion and its applications", Computers and Mathemat- ics with Applications, 61(7), pp. 1844-1854.
[21] Dung. N. T. (2011), "Fractional Geometric mean reversion pro- cesses", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 380, pp. 396-402.
[22] Dung. N. T. and Thao. T. H. (2010), " An approximate approach to fractional stochastic integration and Its applications", Brazilian Journal of Probability and Statistics, 24(1), pp. 57-67.
[23] Dung. N. T. and Thao. T. H. (2010), "On a fractional stochastic Landau-Ginzburg equation", Applied Mathematical Sciences, 4(7), pp. 317-325.
[24] Fernique. X. (1997), "Fonctions aléatoires gaussiennes, vecteurs aléatoires gaussiens", Université de Montréal Centre de Recherches Mathématiques, Montreal, QC.
[25] Feyel. D. and de la Pradelle. A. (1996), "Fractional integrals and Brownian processes", Potential Analysis, 10, pp. 273-288.
[26] Gihman. I. I. and Skorohod. A.V. (1972), Stochastic Differential Equations. Springer.
[27] Hu, Y.,ỉksendal, B., Sulem, A. (2003), "Optimal portfolio in a frac- tional Black and Scholes market", Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. 6, pp. 519-536.
[28] Hurst, H. E. (1951), "Long-term storage capacity in reservoirs", Trans. Amer Soc. Civil. Eng., 116, pp. 400-410.
[29] Hurst, H. E., Black, R. P., Simaika, Y. M. (1965),Long Term Storage in Reservoirs. An Experimental Study. Constable, London.
[30] Itô. K. (1951), "Multiple Wiener integral", J. Math. Soc. Japan, 3, pp. 157-169.
[31] Jacques, J. and Manca, R. (2007), Semi-Markov Risk Models For Finance, Insurance and Reliability. Springer.
[32] Kloeden. P. E. and Platen. E. (1995),Numerical Solution of Stochas- tic Differential Equations, Springer.
[33] Kolmogorov, A. N. (1940), "The Wiener spiral and some other in- teresting curves in Hilbert space", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 26, pp.
115-118.
[34] Léon. (1993), "Fubini theorem for anticipating stochastic integrals in Hilbert space", Appl. Math. Optim., 27(3), pp. 313-327.
[35] Lim. S. C. and Sithi. V. M. (1995), "Asymptotic properties of the fractional Brownian motion of Riemann-Liouville type", Physics Letters A, 206, pp. 311-317.
[36] Liptser. R. S. and Shiryaev. A. N. (2001),Statistics of Random Pro- cesses, I General Theory, Vol.5 of Stochastic Modelling and Applied Probablility. Springer, New York, second edition, 2001.
[37] Lyons. T. (1994), "Differential Equations Driven by Rough Signals (I): An Extension of an Inequality of L.C Young", Mathematical Research Letters, 1, pp. 451-464.
[38] Mandelbrot. B., van Ness. J. (1968), "Fractional Brownian motions, Fractional Noises and Applications", J. SIAM Review, 10(4), pp.
422-437.
[39] Nualart. D. and Răáscanu. A. (2002), "Differential equations driven by fractional Brownian motion", Collectanea Mathematica, 53, pp.
55-81.
[40] Nunno G. D., ỉksendal. B., Proske. F. (2009), Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance, Springer.
[41] Protter, P. (1990)Stochastic Integration and Differential Equations, Berlin-Springer.
[42] Revuz. D. and Yor. M. (1999), Continuous martingales and Brow- nian motion, Springer, Berlin Heidelberg New York, third edition.
[43] Rogers, L. C. G. (1997), "Arbitrage with fractional Brownian mo- tion", Mathem. Finance, 7, pp. 95-105.
[44] Thao. T. H. (1991), "Optimal State Estimation of a Markov from Point Process Observations", Annales Scientifiques de l’Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand II. Fasc. 9, pp. 1-10.
[45] Thao. T. H. (2003), "A Note on Fractional Brownian Mo- tion",Vietnam Journal of Mathematics, 30(3), pp. 255-260.
[46] Thao. T. H. (2006), "An approximate approach to fractional anal- ysis for finance", Nonlinear Analysis, 7, pp. 124-132.
[47] Thao. T. H. and Thomas-Agnan. C. (2003), "Evolution des cours gouvernée par un processus de type ARIMA Fractionnaire", Studia Univ. Babes-Bolyai, Mathematica, XVIII(2), pp. 125-137.
[48] Thao. T. H., Dung N. T. (2010) , "A Note on Optimal State Es- timation for A Fractional Linear System", Int. J. Contemp. Math.
Sciences, 5(10), pp. 467-474.
[49] Thao, T.H and Nguyen , T.T (2003), "Fractal Langevin Equation", Vietnam Journal of Mathematics, 30(1), pp. 89-96.
[50] Tvedt. J. (1995),Market Structure, Freight Rates and Assets in Bulk Shipping. Dr. Oecon Dissertation, Norwegian School of Economics and Business Administration, Bergen, Norway.
[51] Z¨ahle. M. (1998), "Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus, Part I", Probab. Theory Related Fields, 111, pp.
333-372.
[52] Z¨ahle. M. (2001), "Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus, Part I", Mathematische Nachrichten,225(1), pp.
145-183.
[53] ỉksendal. B. (2003), Stochastic Differential Equations, Sixth edi- tion, Springer.
[54] Samko, S. G., Kilbas, A. A. and Marichev, O. I. (1993), Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science, Yverdon.
[55] Schoutens. W. (2000), Stochastic Processes and Orthogonal Polyno- mials, Volume 146 of Lecture Notes in Statistics. Springer-Verlag, New York.
[56] Shiryayev. A. N. (2001), "On arbitrage and replication for fractal models", Preprint, MaPhySto, Aahus.
[57] Shiryaev, A. N. (1996),Probability. New York-Springer, 2nd edition.
[58] Skorohod. A. V. (1975), "On a generalization of the stochastic in- tegral", Teor. Verojatnost. Primenen., 20(2), pp. 223-238.
[59] Yor, M., Jeanblanc, M., and Chesney, M. (2009), Mathematical Methods for Financial Markets. Springer.
Phụ lục A
Tính toán Malliavin
Phụ lục này giới thiệu sơ lược về tích phân Skorokhod và đạo hàm Malliavin. Chứng minh của các định lý có thể được tìm thấy trong [40].