1.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên
1.3.6 Định lý Girsanov và độ đo trung hòa rủi ro
ChoB(t),0 ≤t ≤T là một chuyển động Brown trên không gian xác suất (Ω,F, P) có lọc. Định lý Girsanov cung cấp cho chúng ta một phương tiện
độ đo Pe mới ( tương tương với P) sao cho dưới độ đo mới này thì một quá trình nào đó sẽ trở thành một martingale. Điều này cho phép ta tìm ra một độ đo xác suất trung hòa rủi ro Pe biến đổi một quá trình Xt không phải martingale dưới độ đoP trở thành quá trình Xet là martingale dưới độ đo Pe. Định lý 1.3.3. (Girsanov một chiều) Cho B(t),0≤ t≤ T là một chuyển động Brown trên không gian xác suất (Ω,F, P). Cho F(t),0 ≤t ≤T là bộ lọc và cho θ(t),0< t < T là một quá trình thích nghi với bộ lọc. Từ 0 < t < T, ta định nghĩa:
Be(t) = Z t
0
θ(u)du+B(t), Z(t) = exp
− Z t
0
θ(u)dB(u)− 1 2
Z t 0
θ2(u)du
, và định nghĩa một độ đo xác suất như sau:
Pe(A) = Z
A
Z(T)dP, ∀A ∈ F.
dưới độ đo P ,e quá trình B(t), 0≤t ≤ T là một chuyển động Brown.
Chú ý: Định lý này đòi hỏi một điều kiện kỹ thuật về cỡ của θ. Nếu Eexp
1 2
Z T 0
θ2(u)du
< ∞, thì mọi trường hợp đều thỏa mãn.
Ta có những nhận xét sau đây Z(t) là một martingale thì:
dZ(t) = −θ(t)Z(t)dB(t) + 1
2θ2(t)Z(t)dB(t)dB(t)− 1
2θ2(t)Z(t)dt
= −θ(t)Z(t)dB(t).
P là một độ đo xác suất.
Từ Z(0)=1, chúng ta có EZ(t) = 1 với t ≥ 0 bất kỳ. Trong trường hợp đặc biệt
Pe(Ω) = Z
Ω
Z(T)dP = EZ(T) = 1,
vì Pe là một độ đo xác suất. Ee nằm trong E. Lấy Ee là kỳ vọng dưới độ đo xác suất Pe. Nếu X là biến ngẫu nhiên, thì
EZe =E[Z(T)X].
Để thấy điều này, xem xét trường hợp đầu tiên X = 1A, với A ∈ F. Ta có EXe =Pe(A) =
Z
A
Z(T)dP = Z
Ω
Z(T)1AdP = E[Z(T)X].
Nhận thấy rằng
Pe(A) = Z
A
Z(T)dP ∀A∈ F là điều chúng ta muốn để có
Pe(w) = Z(T, w)P(w),
nhưng từ P(w) = 0 và Pe(w) = 0 không đem lại kết quả hữu ích về Pe. Do đó chúng ta sẽ xét các tập con của Ω, hơn là từng phần tử riêng lẻ của Ω.
Xét phân phối của Be(T). Nếu θ là hằng số thì Z(T) = exp{−θB(T)− 1
2θ2T} Be(T) = θT +B(T).
Dưới độ đo P, B(T) là chuyển động Brown chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai T, vì vậy Be(t) là chuẩn tắc với giá trị trung bình là θT và phương sai là T.
P(Be(T)∈deb) = 1
√
2πT exp
−(eb−θT)2 2T
deb.
Nếu bỏ qua hệ số dịch chuyển từ Be(T). Xét sự thay đổi của độ đo từ P tới Pe bỏ qua hệ số dịch chuyển từ Be(T).
EeBe(T) = E[Z(T)(θT +B(T))]
= E[exp{−θB(T)− 1
2θ2T}(θT +B(T))]
= 1
√2πT
Z +∞
−∞
(θT +b) exp{−θb− 1
2θ2T}exp{− b2 2T }db
= 1
√ 2πT
Z +∞
−∞
(θT +b) exp{−(b+θT)2 2T }db (y =θT +b) = 1
√2πT Z ∞
−∞
yexp
−y2 2
dy thay y = θT +b
= 0.
Tính toán trực tiếp từ công thức mật độ ta có EeBe(T) = 0 P{B(t)e ∈ deb}= 1
√2πT exp
−(eb−θT)2 2T
deb bởi vì
Z(T) = exp{−θB(T)− 1 2θ2T}
= exp{−θ(Be(T)−θT)− 1 2θ2T}
= exp{−θB(Te ) + 1 2θ2T}, Như vậy ta sẽ
Pe{Be(T)∈deb}= 1
√2πT exp (
−eb2 2T
) deb.
Dưới độ đo Pe, B(Te ) là chuyển động Brown chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai T. Còn dưới độ đo xác suất P, B(Te ) là chuẩn với giá trị trung bình θT và phương sai T.
Kỳ vọng có điều kiện dưới độ đo Pe
Bổ đề 1.3.1. Cho 0≤ t≤ T. Nếu X là F(t)− đo được, thì EXe =E[XZ(t)].
Bổ đề 1.3.2. (Luật Baye) Nếu X là F(t)− đo được và 0 ≤s ≤ t≤ T, thì Ee
X
F(s)
= 1
Z(s)E
XZ(t)
F(s)
.
Bổ đề 1.3.3. Dùng kết quả của định lý Girsanov ta có tính chất martingale sau:
Ee
Be(t)
F(s)
= Be(s), 0≤ s≤ t ≤T.
Định nghĩa 1.3.1. (Độ đo tương đương)Hai độ đo trên một không gian xác suất, có cùng tập độ đo-không được gọi là tương đương.
Hai độ đo xác suất Pe và P trong định lý Girsanov là tương đương.
Thật vậy, độ đo Pe xác định bởi Pe(A) =
Z
Z(T)dP, A∈ F.
Nếu P(A) = 0 thì R
AZ(T)dP = 0. Vì Z(T) > 0 với mọi w, ta có thể đảo ngược lại công thức tính của Pe để được
P(A) = Z
A
1
Z(T)dP ,e A∈ F. Nếu Pe(A) = 0 thì R
A
1
Z(T)dP = 0.
Độ đo trung hòa rủi ro
Định nghĩa 1.3.2. Độ đo trung hòa rủi ro (hay độ đo martingale) là một độ đo xác suất nào đó tương đương với độ đo xác suất P của thị trường mà giá chiết khấu của các tài sản trên thị trường này là martingale.
Ví dụ 1.3.6. Cho cổ phiếu sau:
dS(t) = à(t)S(t)dt+σ(t)S(t)dB(t).
Quỏ trỡnh à(t) và σ(t) thớch nghi với bộ lọc F(t).
Gọi r(t),0≤ t≤ T là lãi xuất, X(0) =x.
dX(t) = ∆(t)dS(t) +r(t)[X(t)−∆(t)S(t)]dt
= r(t)X(t)dt+ ∆(t)σ(t)S(t)
à(t)−r(t) σ(t) dt
| {z } phí rủi ro =θ(t)
+dB(t)
Quá trình chiết khấu:
d
e−R0tr(u)duS(t)
= e−R0tr(u)du[−r(t)S(t)dt+dS(t)]
d
e−R0tr(u)duX(t)
= e−R0tr(u)du[−r(t)X(t)dt+dX(t)]
= ∆(t)d
e−R0tr(u)duS(t)
. Đặt
β(t) = e
Rt
0 r(u)du, 1
β(t) =e−
Rt
0r(u)du
dβ(t) = r(t)β(t)dt, d 1
β(t)
= −r(t) β(t)dt.
Do đó d
S(t) β(t)
= 1
β(t)[−r(t)S(t)dt+dS(t)]
= 1
β(t)[(à(t)−r(t))S(t)dt+σ(t)S(t)dB(t)]
= 1
β(t)σ(t)S(t)[θ(t)dt+dB(t)], d
X(t) β(t)
= ∆(t)d
S(t) β(t)
= ∆(t)
β(t)σ(t)S(t)[θ(t)dt+dB(t)].
Thay đổi độ đo. Ta xác định độ đo mới như sau:
Be(t) = Z t
0
θ(u)du+B(t).
Khi đó
d
S(t) β(t)
= 1
β(t)σ(t)S(t)dB(t),e d
X(t) β(t)
= ∆(t)
β(t)σ(t)S(t)dBe(t).
Vì vậy dưới độ đo xác suất Pe, S(t)β(t) và S(t)β(t) là martingale.
Định lý Girsanov nhiều chiều
Định lý 1.3.4. (Định lý Girsanov d-chiều)
• Cho B(t) = (B1(t), . . . ,Bd(t)),0 ≤ t ≤ T, gọi là một chuyển động Brown d-chiều trên không gian xác suất (Ω,F, P);
• F(t),0≤ t ≤ T là một bộ lọc đi kèm, có thể rộng hơn bộ lọc được xây dựng bởi B;
• θ(t) = (θ1(t), . . . , θd(t)),0≤ t ≤T là một quá trình thích nghi d-chiều.
Cho 0≤ t ≤T, xác định Bfj(t) =
Z t 0
θj(u)du+Bj(t), j = 1, . . . , d.
Z(t) = exp
− Z t
0
θ(u).dB(u)− 1 2
Z t 0
kθ(u)2duk
, Pe(A) =
Z
A
Z(T)dP.
thì dưới độ đo Pe, quá trình
Be(t) = (Bf1(t), . . . ,Bfd(t)), 0≤ t≤ T, là một chuyển động Brown d-chiều.