4. Yêu cầu về đánh giá kết quả học tập
3.1 HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
3.2.2 Hình chiếu của khối hộp
Để đơn giản, đặt đáy ABCD của hình hộp song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 mặt bên ABA’B’ song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3. Sau đó vẽ hình chiếu của các đỉnh của hình hộp trên ba mặt phẳng hình chiếu.
Nối hình chiếu của các điểm, các cạnh, ta sẽ được hình chiếu của các cạnh và các mặt của hình hộp. Vì các mặt của hình hộp song song với mặt phẳng hình chiếu, do đó các hình chiếu đều là các hình chữ nhật (hình 3.17).
Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt của hình hộp, vẽ qua K đường thẳng nằm trên các mặt của hình hộp.
A'
C' B' D'
Y1
A D
C K
B
Y X
A3 B3 C3
D3
C1 B1
D1 A1
C2 D2
A2
K3 K1
O
K2 D'1
A'1 B'1 C'1 D'3 C3 A'3 B'3 Z
D'2
A'2 B'2 B2
C'2
Hình 3.17 3.2.3 Hình chiếu của khối lăng trụ.
Giả sử có hình lăng trụ ABCA’B’C’ đặt đứng, vẽ 3 hình chiếu của hình lăng trụ này.
Vì ABC và A’B’C’ song song với P2 nên chúng vuông góc với P1 và P3
do đó hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của ABC và A’B’C’ sẽ là 2 đoạn thẳng song song với nhau và song song với các trục của hình chiếu (A1B1C1 //
A’1B’1C’1 // Ox; A3B3C3 // A’3B’3C’3 // Oy1) còn hình chiếu bằng của ABC và A’B’C’ bằng nhau và bằng chính nó (A2B2C2 = A’2B’2C’2 = ABC = A’B’C’), hình 3.18 thể hiện cách vẽ hình chiếu của hình năng trụ đứng.
Z
A1
B1 C1
A2 C'2
A3 C3 B3
X Y1
A
C
B
Y A'
C'
B'
A'1 B'1 C'1
A'2 C2
B2
B'2
B'3
C'3
A'3
P2
P3 P1
Hình 3.18
3.2.4 Hình chiếu của các khối chóp, chóp cụt a. Hình chiếu của hình chóp.
Giả sử có hình chóp SABCDE có đáy ABCDE // P2 và đường chéo AD song song với mặt phẳng hình chiếu P1.Ba hình chiếu của hình chóp này được vẽ như hình 3.19..
Vì ABCDE // P2 nên hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của ABCDE sẽ là những đoạn thẳng song song với trục hình chiếu (A1B1C1D1E1 // Ox;
A3B3C3D3E3 // Oy1), còn hình chiếu bằng của ABCDE là một lục giác đều (A2B2C2D2E2 = ABCDE)
Hình chiếu của đỉnh S được thể hiện như hình 3.19.
Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt của hình chóp, hãy kẻ qua đỉnh S và điểm K nằm trên đường thẳng SK nằm trên mặt bên của hình chóp.
A1
B1 F1 E1 D1
S3
S2
K1
Y
Y1
X
Z
C1
S1
A
B C
D F E
S
K
K3
F3
F2
E3
E2
A3 D3 B3 C3
A2
B2 C2
D2
K1
Hình 3.19
b. Hình chiếu của hình chóp cụt.
Hình chóp cụt thực chất là hình chóp bị cắt mất phần đỉnh bằng một mặt phẳng. Cách vẽ hình chiếu tương tự như trường hợp vẽ hình chiếu của hình chóp nhưng do 2 đáy song song với nhau cho nên ở hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh 2 đáy cũng song song với nhau và song song với trục hình chiếu. Hình 3.20 thể hiện hình chiếu của hình chóp cụt.
A1
A D
C
B
D1 B1 C1 D3 C3 A3 B3
D C
B
A
Y1
Y Z
X O
Hình 3.20
3.2.5 Hình chiếu của khối có mặt cong.
a. Khối tròn: là khối hình học giới hạn bởi mặt tròn xoay hay giới hạn bởi một phần mặt tròn xoay và mặt phẳng.
Mặt tròn xoay là mặt tạo bởi một đường bất kì quay một vòng quanh một đường thẳng cố định, đường bất kì đó gọi là đường sinh của mặt tròn xoay còn đường cố định gọi là trục quay.
Nếu đường sinh là đường thẳng song song với trục quay thì sẽ tạo thành mặt trụ tròn xoay (hình 3.21a), nếu đường sinh là đường thẳng cắt trục quay thì sẽ tạo thành mặt nón tròn xoay (hình 3.21b) còn nếu đường sinh là một nửa đường tròn quay xung quay là đường kính của nó thì đường tròn đó sẽ tạo thành mặt cầu (hình 3.21c).
a. b. c.
Hình 3.21
b. Hình trụ: là một khối tròn xoay do một hình chữ nhật quay quanh một cạnh của nó tạo thành, cạnh song song với trục quay tạo thành đường sinh của hình trụ còn hai cạnh kia tạo thành 2 mặt đáy.
Giả sử xét hình trụ có đáy song song với P2 (hình 3.22)
Do 2 mặt đáy là 2 đường tròn song song với nhau cho nên hình chiếu bằng sẽ là một đường tròn có kích thước bằng kích thước đáy hình trụ, còn ở hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh thì 2 đáy sẽ là những đoạn thẳng song song với trục hình chiếu. Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của hình trụ là hai hình chữ nhật bằng nhau.
A
B
C D
K
K
A
B
D
C
K1 K3
O D1
C1
A X
B1
Z
Y1
Y
D3 A3 B3 C3
Hình 3.22
Muốn xác định một điểm nằm trên mặt trụ ta vẽ qua điểm đó đường sinh hay đường tròn của mặt trụ
c. Hình nón: là khối tròn do một tam giác vuông quay quanh một cạnh góc vuông tạo thành, cạnh huyền tạo ra mặt bên của hình nón còn cạnh góc vuông kia sẽ tạo ra mặt đáy.
Giả sử đặt hình nón sao cho mặt đáy song song với P2 khi đó hình chiếu bằng của hình nón sẽ là đường tròn có đường kính bằng đường kính đáy.Hình chiếu bằng của đỉnh nón sẽ trùng với tâm của hình tròn.
Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của hình nón là 2 tam giác cân bằng nhau với độ dài cạnh đáy bằng độ dài đường kính đáy hình nón, chiều cao tam giác cân chính là chiều cao hình nón.
Muốn xác định một điểm nằm trên mặt bên của hình nón ta vẽ qua điểm đó một đường sinh hay một đường tròn của mặt nó. Hình nón cụt thực chất là hình nón mất đỉnh vì thế 2 đáy song song với nhau. Vẽ hình chiếu của hình chóp cụt tương tự như vẽ hình chiếu của hình nón (hình 3.23).
S
C B
A D
K
S1
O B1
D1
C1
A1
D3 A3 B3 C3
B
D
A
K
C
K3
K1
S3
S
Y
Y1
X
Hình 3.23
d. Hình cầu: là khối hình học giới hạn bởi mặt cầu. Hình chiếu của hình cầu là những hình tròn có đường kính bằng đường kính của hình cầu. Trên hình 3.24 thể hiện các hình chiếu của hình cầu.
Muốn xác định một điểm nằm trên mặt cầu ta dựng qua điểm đó đường tròn nằm trên mặt cầu, đồng thời mặt phẳng chứa đường tròn đó song song với mặt phẳng hình chiếu.
O
Z
X Y1
Y O
O
O3
O1
K3
K1
K
K
Hình 3.24
3.3 GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG VỚI KHỐI HÌNH.
Mục tiêu:
- Rèn luyện tác phong làm việc nghiêm túc, tỉ mỉ, chính xác.
Giao của hai mặt là tập hợp các điểm thuộc cả hai mặt đó.
Trong thực tế, ta thường gặp một số vật thể (hay chi tiết máy) được cấu tạo bởi các khối hình học bị các mặt phẳng cắt đi một phần, như lưỡi đục (hình 3.25a) là hình lăng trụ bị vát phẳng; đầu vít (hình 3.25b) là hình chỏm cầu bị các mặt phẳng cắt thành rãnh, đầu trục (hình 3.25c) là hình trụ bị các mặt phẳng cắt hai bên.Ta cũng thường thấy ở các khối hình học tạo thành vật thể (hay chi tiết máy) có vị trí tương đối khác nhau làm thành các giao tuyến khác nhau giữa các bề mặt của vật thể như ống nối (hình 3.26a) có giao tuyến giữa hai mặt trụ; đầu máy khoan (hình 3.26b) có gaio tuyến giữa mặt nón với lỗ ngang.
a. b. c. a. b.
Hình 3.25 Hình 3.26
Để vẽ hình dạng của vật thể (hay chi tiết máy), phải giải các bài toán về giao tuyến của vật thể. Sau đây ta xét cách vẽ giao tuyến của mặt phẳng với
khối hình học và giao tuyến của hai khối hình học trong một số trường hợp thường gặp.
Mặt phẳng cắt khối hình học tạo thành mặt cắt, đường bao mặt cắt đó gọi là giao tuyến của mặt phẳng với khối hình học. Vẽ phần bị cắt của vật thể, thực chất là vẽ giao tuyến của mặt phẳng với khối hình học của vật thể đó.