Một dạng tổng quát của phương pháp một bước hiện có thể được viết dưới dạng
yn+1 = yn+hΦ (xn, yn;h), n = 0, . . . , N −1, y0 = y(x0), (2.23) ở đóΦ(., .;.)là một hàm liên tục của các biến số. Ví dụ như, trong trường hợp của phương pháp Euler, Φ (xn, yn;h) = f (xn, yn). Đối với phương pháp Euler cải tiến
Φ (xn, yn;h) = 1
2[f (xn, yn) + f (xn +h, yn+hf (xn, yn))].
Để đánh giá độ chính xác của phương pháp số (2.23), ta định nghĩa sai số toàn cục en, bởi
en = y(xn)−yn.
Ta định nghĩa sai số thu gọn Tn, của phương pháp bởi Tn = y(xn+1)−y(xn)
h −Φ (xn, y(xn) ;h). (2.24) Định lý tiếp theo thiết lập ràng buộc sai số toàn cục với sai số thu gọn.
Định lý 4. Giả sử hàm Φ trong công thức (2.23) liên tục theo ba biến (xn, yn;h) và Φ thỏa mãn điều kiện Lipschipz theo biến thứ hai; cụ thể là, có tồn tại một hằng số dương LΦ sao cho, cho 0 ≤ h ≤ h0 và cho miền R tương tự như trong định lý Picard
|Φ(x, y;h)−Φ(x, z;h)| ≤LΦ|y −z|, (2.25) với mọi (x, y),(x, z) trong R.
Giả sử |yn −y0| ≤YM. Khi đó
|en| ≤ eLφ(xn−x0)|e0|+
eLφ(xn−x0)−1 L0
T, n = 0, . . . , N, (2.26) ở đó T = max0≤n≤N−1|Tn|.
Chứng minh. Trừ (2.23) từ (2.24) ta có
en+1 = en+ h[Φ (xn, y(xn) ;h)−Φ (xn, yn;h)] +hTn.
Khi đó, vì (xn, y(xn)) và (xn, yn) thuộc R, từ điều kiện Lipschitz (2.25) ta có
Hay là
|en+1| ≤(1 +hLΦ)|en|+h|Tn|, n = 0, . . . , N −1.
Do đó
|e1| ≤ (1 +hLΦ)|e0|+hT,
|e2| ≤ (1 +hLΦ)2|e0|+h[1 + (1 +hL0)]T,
|e3| ≤ (1 +hLΦ)3|e0|+h[1 + (1 +hLΦ) + (1 +hLΦ)2]T, ...
|en| ≤ (1 +hLΦ)n|e0|+ [(1 +hLΦ)n−1]T /LΦ.
Ta lại có 1 +hLΦ ≤ exp (hLΦ), do đó (2.25) được chứng minh.
Chúng ta lưu ý rằng các sai số ràng buộc (2.21) của phương pháp Euler hiện là một trường hợp đặc biệt của (2.26). Ta làm nổi bật sự liên quan thực tế của sai số ràng buộc (2.26) thông qua một ví dụ cụ thể.
Ví dụ 9. Xét bài toán giá trị ban đầu y0 = tan−1y, y(0) = y0 và giả sử nó được giải bằng phương pháp Euler. Mục đích của bài tập là áp dụng (2.26) để xác định kích thước của sai số toàn cục. Như vậy, chúng ta cần tìm L và M2. Ở đây f (x, y) = arctany, bằng định lý giá trị trung bình
|f (x, y)−f (x, z)| =
∂f
∂y (x, η) (y −z) , ở đó η nằm giữa y và z. Trong trường hợp này
∂f
∂y
=
(1 +y2)−1 ≤1,
và vì vậyL = 1. Để tìmM2 ta cần đạt được một liên kết trên|y00| (không có thực để giải quyết bài toán giá trị ban đầu). Điều này có thể dễ dàng đạt được bằng cách lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình vi phân đã cho đối với x
y00 = d
dx(arctany) = (1 +y2)−1dy
dx = 1 +y2−1
arctany.
Vì thế |y00(x)| ≤M2 = 1
2π. Thay giá trị của L và M2 vào (2.21),
|en| ≤ exn |e0|+ 1
4π(exn −1)h, n = 0, ..., N.
Đặc biệt nếu chúng ta cho rằng sai số e0 ≡ 0, ta được
|en| ≤ 1
4π(exn −1)h, n= 0, ..., N.
Như vậy, căn cứ vào T OL được định trước, ta có thể chắc chắn rằng sai số giữa nghiệm giải tích (chưa biết) và số gần đúng không vượt quá dung sai này bằng cách chọn cỡ bước dương h sao cho
h ≤ 4
π eXM −1−1
T OL,
với h cho như vậy ta sẽ có |y(xn)−yn| = |en| ≤ T OL đối với mỗi n= 0, . . . , N. Như vậy, về nguyên tắc, ta có thể tính toán nghiệm số có độ chính xác cao một cách tùy ý bằng cách chọn một cỡ bước h đủ nhỏ.
Định nghĩa 6. Phương pháp số (2.23) là phù hợp với các phương trình vi phân (2.1) nếu sai số thu gọn được xác định bởi (2.24) sao cho với bất kỳ ε < 0 tồn tại một h(ε) dương mà |Tn| < ε với 0 < h < h(ε) và bất cứ cặp điểm (xn, y(xn)),(xn+1, y(xn+1)) trên bất cứ đường cong nghiệm trong R.
Cho dạng tổng quát phương pháp một bước (2.23) ta đã giả thiết rằng các hàm Φ (., .;.) liên tục, y0 cũng là một hàm số liên tục trên [x0, XM].
Cho nên, từ (2.24),
h→0limTn = y0(xn)−Φ (xn, y(xn) ; 0).
Điều này có nghĩa là phương pháp một bước (2.23) là phù hợp khi và chỉ khi
Φ (x, y; 0) ≡ f (x, y). (2.27) Bây giờ ta đã sẵn sàng để nêu một định lý hội tụ cho dạng tổng quá của phương pháp một bước (2.23).
Định lý 5. Giả sử nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (2.1 – 2.2) nằm trong R khi có phép xấp xỉ của nó tạo ra từ (2.23) với h ≤ h0. Cũng giả sử hàm Φ (., .;.) liên tục đều trên R×[0, h0] và điều kiện (2.27) được thỏa mãn. Hơn nữa điều kiện Lipschitz được thỏa mãn
|Φ (x, y;h)−Φ (x, z;h)| ≤ LΦ|y −z|. (2.28) Khi đó, nếu dãy phép tính xấp xỉ liên tiếp (yn), tạo ra với xn = x0+nh,
các nghiệm số tới các nghiệm của bài toán giá trị ban đầu theo nghĩa là
|y(xn)−yn| → 0; h →0, xn →x ∈ [x0, XM].
Chứng minh. Giả sử h = (x0 −XM)/N ở đó N là một số nguyên dương. Ta sẽ cho N đủ lớn sao cho h ≤ h0. Từ y(x0) = y0 do đó e0 = 0.
Từ định lý 4 ta có
|y(xn)−yn| ≤
eLΦ(x0−XM) −1 LΦ
0≤m≤n−1max |Tm|, n = 1, . . . , N. (2.29) Từ điều kiện (2.27) ta có
Tn =
y(xn+1)−y(xn)
h −f (xn, y(xn))
+ [Φ (xn, y(xn) ; 0)−Φ (xn, y(xn) ;h)].
Theo định lý giá trị trung bình các biểu diễn trong khung đầu tiên là bằng y0(ξ)−y0(xn), ở đó ξ ∈ [xn, xn+1]. Từ y0(.) = f (., y(.)) = Φ (., y(.) ; 0) và Φ (., .;.) liên tục đều trên R × [0, h0], cho nên y0 liên tục đều trên [x0, XM]. Như vậy, đối với mỗi ε > 0 tồn tại h1(ε) sao cho
|y0(ξ)−y0(xn)| ≤ 1
2ε h < h1(ε), n = 0,1, . . . , N −1.
Hơn nữa, do tính liên tục đều của Φ đối với đối số thứ ba của nó, tồn tại h2(ε) sao cho
Do đó, với h(ε) = min (h1(ε), h2(ε)), ta có
|Tn| ≤ ε, h < h(ε), n = 0,1, . . . , N −1.
Từ đó và từ (2.29) ta suy ra rằng |y(xn)−yn| → 0 khi h →0. Từ đó
|y(x)−yn| ≤ |y(x)−y(xn)|+|y(xn)−yn|,
và số hạng bên phải đầu tiên cũng hội tụ về 0 khi h → 0 bởi tính liên tục đều của y trên khoảng [x0, XM], chứng minh được hoàn thành. Ta đã thấy rằng đối với phương pháp Euler giá trị tuyệt đối của sai số thu gọn Tn là bị chặn bởi một hằng số bội của kích thước bước h, đó là
|Tn| ≤ Kh, 0 < h≤ h0,
Ở đó K là một hằng số dương, độc lập với h. Tuy nhiên, khác với các phương pháp một bước (một lớp trong đó, gọi là phương pháp Runge – Kutta, sẽ được xem xét dưới đây) theo đó ta có thể làm tốt hơn. Nói chung, để xác định tỉ lệ tiệm cận sự phân rã của sai số thu gọn như kích thước bước h hội tụ về 0, ta giới thiệu định nghĩa sau.
Định nghĩa 7. Phương pháp số (2.23) được cho là có bậc chính xác p, nếu p là số nguyên dương lớn nhất sao cho, với bất cứ đường cong nghiệm trơn đầy đủ (x, y(x)) trong R của bài toán giá trị ban đầu (2.1 – 2.2), tồn tại K và h0 sao cho
|Tn| ≤ Khp, 0 < h≤ h0
Cho bất cứ cặp điểm(xn, y(xn)),(xn+1, y(xn+1))trên đường cong nghiệm.
Chúng ta đã xét lớp tổng quát của phương pháp một bước hiện và các khái niệm liên quan đến tính nhất quán và bậc chính xác.
PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA
Chương này trình bày về phương pháp Runge - Kutta và ứng dụng của nó giải gần đúng các phương trình vi phân thường.