Định nghĩa 1.3.1. Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y với domF 6= ∅.
(i) Với tập con khác rỗng U ⊂ X và V ⊂ Y, ta nói F là tựa Lipschitz trên U đối với V nếu tồn tại hằng số ` > 0 sao cho
F(x)∩V ⊂ F(u) +`kxưukB,∀x, u ∈ U (1.17) Ở đây B được kí hiệu là hình cầu đóng đơn vị có tâm là O trong Y.
(ii) Với (¯x,y)¯ ∈ gph F, F được gọi là tựa Lipschitz địa phương xung quanh điểm (¯x,y)¯ với môđun ` > 0 nếu tồn tại lân cận U của x¯ và V của y¯ thỏa mãn (1.17).
* Hệ số Lipschitz.
lipF(¯x,y) = inf¯ ` > 0 : tồn tại U, V thoả mãn (1.17) .
(iii) F là Lipschitz liên tục trên U nếu nó thỏa mãn (1.17) với V = Y. Ngoài ra, F được gọi là Lipschitz địa phương xung quanh x¯ nếu tồn tại lân cận U của x¯ và hằng số ` > 0 sao cho
F(x) ⊂ F(u) +`kxưukB, ∀x, u ∈ U. (1.18)
* Hệ số Lipschitz.
lipF(¯x) = inf` > 0 : tồn tại U thoả mãn(2.2) .
Nhận xét. Bao hàm thức
F(x) ⊂ F(u) +`kxưukB,∀x, u ∈ U tương đương với
H(F(x), F(u)) ≤ `kxưuk,
Ở đây H(F(x), F(u)) được kí hiệu là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập F(x), F(u). Vì vậy F Lipschitz liên tục trên U ở trên tương đương với khái niệm F Lipschitz "đa trị" đã biết.
Định lí 1.3.1. Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y và (¯x,y)¯ ∈ gph F. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(a) F là tựa Lipschitz địa phương xung quanh (¯x,y)¯ . (b) Hàm vô hướng ρ: X ×Y →R định nghĩa bởi
ρ(x, y) := dist(y;F(x)) = inf
v∈F(x)ky−vk là Lipschitz địa phương xung quanh (¯x,y)¯ .
Chứng minh. Từ định nghĩa, hàm ρ Lipschitz địa phương xung quanh (¯x,y)¯ nếu tồn tại lân cận Ux¯, Vy¯ và hằng số M ≥ 0 sao cho
|ρ(x, y)−ρ(x0, y0)| ≤M(kx−x0k+ ky −y0k),∀x, x0 ∈ U;y, y0 ∈ V.
Trước hết ta chứng minh ρ là Lipschitz địa phương xung quanh (¯x,y)¯ khi và chỉ khi tồn tại lân cận Ux¯, Vy¯ và hằng số ` ≥ 0 sao cho
ρ(x, y) ≤ ρ(u, y) + `kxưuk,∀x, u ∈ U,∀y ∈ V (1.19) Thật vậy, chiều ” ⇒ ” là hiển nhiên với y = y0. Ta chứng minh chiều
”⇐ ”. Đặt M = max{1, `}.
Ta có
ρ(x, y) ≤ ρ(x0, y) +`kx−x0k.
ρ(x0, y) =d(y, F(x0)) ≤d(y0, F(x0)) +ky−y0k.
Suy ra
ρ(x0, y) ≤ ρ(x0, y0) +ky −y0k Kéo theo
ρ(x, y) ≤ρ(x0, y0)+ky−y0k+`kx−x0k ≤ ρ(x0, y0)+M(kx−x0k+ky−y0k).
Do đó
|ρ(x, y)−ρ(x0, y0)| ≤M(kx−x0k+ky −y0k).
Chứng minh (a) ⇒(b)
Ta chỉ ra từ bao hàm thức (1.17) đối với lân cận U, V sẽ xảy ra bao hàm thức (1.18) với lân cận khác Ue và Ve. Thật vậy, từ (1.17) ta có:
dist(y;F(u) +`kxưukB) ≤ dist(y;F(x)∩V),∀x, u ∈ U, y ∈ Y.
Ta có dist(y;F(u))−η ≤ dist(y;F(u) +ηB), η ≥ 0. Suy ra
dist(y;F(u))ư`kxưuk ≤ dist(y;F(x)∩V),∀x, u ∈ U, y ∈ Y.
Bây giờ, ta chỉ ra tồn tại U ,e Ve sao cho
dist(y;F(x)∩V) = dist(y;F(x)), nếu x ∈ U , ye ∈ V .e (1.20) Lấy γ > 0 sao cho y¯+ γB ⊂ V và đặt Ve := ¯y + 13γB. Khi đó với mỗi y ∈ Ve ta có y + 13γB ⊂ V. Ta cũng có
dist(y;F(x)∩V) = dist(y;F(x)), nếu dist(y;F(x)) ≤ 2 3γ.
Ngoài ra, từ
dist(y;F(x)) ≤ dist(¯y;F(x)) +ky −yk,¯
Kéo theo
dist(y;F(x)) ≤ 2
3γ khi dist(¯y;F(x)) ≤ 1
3γ, y ∈ V .e Để có (1.19) với lân cận Ve, ta phải tìm lân cận Ue của x¯ thỏa mãn
dist(¯y;F(x)) ≤ 1
3γ,∀x ∈ U .e Từ (1.17) ta có
dist(¯y;F(x)) ≤`kx−xk,¯ ∀x ∈ U.
Đặt Ue := ¯x +ηB, ở đó η > 0 thỏa mãn `η ≤ 13γ và x¯+ηB ⊂ U. Chiều kéo theo (a) ⇒ (b) được chứng minh.
Ngược lại, lấy x, u ∈ U và y ∈ F(x)∩V trong (1.18). Ta có dist(y;F(x)) = 0 nên
dist(y;F(u)) ≤ dist(y;F(x)) +`kxưuk = `kuưxk.
Lấy `0 > `, tồn tại dãy {an} ⊂ F(u) sao cho
limky ưank = d(y, F(u)) < `0kxưuk.
Với n đủ lớn
d(y, an) < `0kxưuk.
Ta có
y = an +y ưan ∈ F(u) +`0kxưukB. Do đó
F(x)∩V ⊂ `0kxưukB. Chiều (b) ⇒ (a) được chứng minh.
Bây giờ chúng ta đi xem xét về quan hệ giữa tính Lipschitz địa phương và tính tựa Lipschitz của ánh xạ đa trị. Từ định nghĩa, nếu F là Lipschitz địa phương quanh x¯ ∈ domF, thì F là tựa Lipschitz địa phương quanh (¯x,y)¯ . Với mỗi y¯∈ F(¯x) ta có
lipF(¯x) ≥sup{lipF(¯x,y)¯ | y¯∈ F(¯x)}. (1.21) Quan hệ ngược lại cũng đúng khi F là compact địa phương xung quanh
¯ x.
Định nghĩa 1.3.2. F : X → Y được gọi là compact địa phương xung quanh x¯ ∈ domF nếu tồn tại lân cận O của x¯ và tập compact C ⊂ Y sao cho F(O) ⊂C. Ngoài ra, F được gọi là đóng tại x¯ nếu với mỗi y /∈ F(¯x), tồn tại lân cận U của x¯ và V của y sao cho F(x)∩V = ∅,∀x ∈ U.
Định lí 1.3.2. Giả sử ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là đóng tại x¯ ∈ domF và compact địa phương quanh x¯. Khi đó F là Lipschitz địa phương quanh
¯
x nếu và chỉ nếu nó là tựa Lipschitz địa phương xung quanh (¯x,y)¯ với mỗi
¯
y ∈ F(¯x). Trong trường hợp này
lipF(¯x) = max{lipF(¯x,y)¯ | y¯∈ F(¯x)} < ∞. (1.22) Chứng minh. Lấy tập compact C ⊂ Y và lân cận O của x¯ trong định nghĩa về tính compact địa phương. Ta có F(O) ⊂ C nên
F(x)∩C = F(x),∀x ∈ O.
Không mất tính tổng quát, giả sử mọi lân cận của x¯ là tập con của O. Ta cần chỉ ra rằng tính tựa Lipschitz địa phương của F xung quanh (¯x,y),¯ với mọiy¯∈ F(¯x) suy ra F là Lipschitz địa phương xung quanhx¯ và(1.21) đúng. Ngược lại, giả sử đẳng thức (1.21) không đúng, nghĩa là
lipF(¯x) > lipF(¯x,y),¯ ∀¯y ∈ F(¯x).
Khi đó với mỗi y¯ ∈ F(¯x), ta tìm một số 0 ≤ `y¯ < lipF(¯x) và lân cận Uy¯ của x¯, Vy¯ của y¯sao cho
F(x)∩ Vy¯ ⊂ F(u) +`y¯kxưukB, ∀x, u ∈ Uy¯,y¯∈ F(¯x).
Từ F(¯x) là tập compact trong Y, ta có thể chọn trong {Vy¯} một phủ con hữu hạn {Vi}, i= 1, ..., n, của tập F(¯x). Với tương ứng hệ số `i và lân cận Ui, i = 1, ..., n, ta kí hiệu
Vb :=
n
[
i=1
Vi, Ub :=
n
\
i=1
Ui, ,`b:= max
i=1,...,n`i. Do đó
F(x)∩Vb ⊂ F(u) +`kxb −ukB,∀x, u ∈ U .b
Xét phần bù tương đốiC\Vb, nó là một tập compact vớiF(¯x)∩(C\Vb) =∅. Do F đóng tại x¯, với mỗi y ∈ C \Vb, có lân cận Uey của x¯ và Vey của y¯sao cho
F(x)∩ Vey = ∅, x ∈ Uey, y ∈ C \V .b
Bởi tính compact củaC\Vb, ta trích từ{Vey}một phủ con hữu hạn{Vej}, j = 1, ..., m, phủ C \Vb.
Đặt
Ve :=
m
[
j=1
Vej và Ue :=
m
\
j=1
Uej, Rõ ràng
F(x)∩Ve = ∅,∀x ∈ U .e Suy ra
F(x) ⊂ F(u) +`kxb −ukB, x, u ∈ Ub ∩U ,e
Do đó ` < lipFb (¯x), điều này mâu thuẫn với cách xác định lipF(¯x). Định lí được chứng minh.
Phần tiếp theo, ta đề cập đến quan hệ đánh giá hệ số Lipschitz với đối đạo hàm.
Định lí 1.3.3. Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y,x¯∈ domF, ε ≥ 0. Khi đó (i) Nếu F là tựa Lipschitz địa phương quanh (¯x,y)¯ ∈ gph F với môđun
` ≥0, thì tồn tại η > 0 sao cho
supnkx∗k | x∗ ∈ Dbε∗F(x, y)(y∗)o ≤ `ky∗k+ε(1 +`) (1.23) với mọi x ∈ x¯+ηB, y ∈ F(x)∩(¯y +ηB), y∗ ∈ Y∗. Do đó
lipF(¯x,y)¯ ≥ inf
η>0supnkDb∗F(x, y)k |x ∈ Bη(¯x), y ∈ F(x)∩Bη(¯y)o. (ii) Nếu F là Lipschitz địa phương quanh x¯, thì tồn tại η > 0 sao cho (1.22) xảy ra với x ∈ x¯+ηB, y ∈ F(x), y∗ ∈ Y∗. Do đó
lipF(¯x) ≥ inf
η>0supnkDb∗F(x, y)k | x ∈ Bη(¯x), y ∈ F(x)o.
Chứng minh. Ta chứng minh (i) với ` > 0 (trường hợp ` = 0 là tầm thường). Từ tính tựa Lipschitz địa phương đảm bảo cho sự tồn tại của số η >0 sao cho
F(x)∩(¯y +ηB) ⊂ F(u) +`kxưukB, với mọi x, u ∈ x¯+ 2ηB. Ta sẽ chứng minh (1.22) với số η và ` được chọn ở trên. Lấy tùy ý (x, y) ∈ (gph F)∩[(¯x+ηB)×(¯y+ηB)], x∗ ∈ Db∗εF(x, y)(y∗), và γ > 0. Chọn một số dương α ≤ {η, `η} sao cho
hx∗, u−xi − hy∗, v−yi ≤ (ε+γ)(ku−xk+kv −yk), (1.24)
∀(u, v) ∈ gph F với ku−xk ≤ α và kv−yk ≤ α. Chọn u ∈ x+α`−1B và chú ý rằng
ku−xk ≤ ku¯ −xk+kx−xk ≤¯ 2η.
Vì vậy theo tính tựa Lipschitz địa phương với y ∈ F(x)∩ (¯y +ηB), u đã lấy ở trên và tồn tại v ∈ F(u) sao cho
kv ưyk ≤ `kxưuk ≤ `.`ư1α = α.
Thế u và v này vào trong (1.23) ta được
hx∗, u−xi ≤ αky∗k+ (ε+γ)(α`−1 + α) xảy ra với mọi u ∈ x+α`−1B. Do đó
α`−1kx∗k ≤ αky∗k+α(ε+γ)(α`−1 + 1),
Do bất đẳng thức trên đúng với mọi γ >0 nên cho γ →0+ ta được công thức (1.22). Từ công thức này, ta có lipF(¯x,y)¯ ≥ inf
η>0sup{(kx∗k −ε)/(ε+ 1) |x∗ ∈ Dbε∗F(x, y)(y∗), x ∈ Bη(¯x), y ∈ F(x)∩Bη(¯y),ky∗k ≤ 1, ε ≥0}. Khẳng định(ii) dễ dàng có được từ khẳng định (i) và định nghĩa1.3.1. Định lí 1.3.4. Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y và x¯ ∈ domF. Khi đó (i) Nếu F là tựa Lipschitz địa phương xung quanh (¯x,y)¯ ∈ gph F, thì ta có
kD∗MF(¯x,y)k ≤¯ lipF(¯x,y)¯ < ∞ (1.25) và do đó
DM∗ F(¯x,y)(0) =¯ {0}. (1.26) (ii) Nếu F là Lipschitz địa phương xung quanh x¯, thì ta có
sup
y∈F¯ (¯x)
kD∗MF(¯x,y)k ≤¯ lipF(¯x) và do đó
D∗MF(¯x,y)(0) =¯ {0},∀¯y ∈ F(¯x).
Chứng minh. Từ (1.24) suy ra (1.25) bởi:
kx∗k ≤ kDM∗ F(¯x,y)k ã ky¯ ∗k, ∀x∗ ∈ DM∗ F(¯x,y)(y¯ ∗), y∗ ∈ Y∗. Rõ ràng, từ (i) và (1.20) suy ra (ii). Do đó ta chỉ cần chứng minh (i). Để chứng minh (1.24), ta cần chỉ ra nếu F là tựa Lipschitz xung quanh điểm (¯x,y¯) với module ` ≥0, thì
kDM∗ F(¯x,y)k ≤¯ `.
Thật vậy, lấy bất kì(x∗, y∗) ∈ X∗×Y∗ với x∗ ∈ D∗MF(¯x,y)(y¯ ∗). Theo định nghĩa 1.21(iii) của đối đạo hàm hỗn hợp, tồn tại dãy εk ↓ 0,(xk, yk, yk∗) → (¯x,y, y¯ ∗) và x∗k ω
→∗ x∗ thoả mãn
yk ∈ F(xk) và x∗k ∈ Dˆε∗kF(xk, yk)(yk∗), k ∈ N. Do (1.22), với k đủ lớn ta có
kx∗kk ≤ `kyk∗k+ εk(1 +`).
Bởi kx∗k−y∗k → 0khi k → ∞ và hàm chuẩn là nửa liên tục dưới yếu trên X∗, chuyển qua giới hạn ta được
kx∗k ≤ `ky∗k, ∀x∗ ∈ DM∗ F(¯x,y)(y¯ ∗).
Điều này suy ra kD∗MF(¯x,y)k ≤¯ `.Định lí được chứng minh.
Chương 2
Ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính