Vật lồi với độ rộng không đổi

Một vật lồi có độ rộng không đổi λ nếu khoảng cách giữa hai siêu phẳng giá bất kì là λ. Ví dụ đơn giản nhất là một hình cầu đóng với đường kính λ. Mặt phẳng vật lồi có độ rộng không đổi (trừ đĩa tròn) được nghiên cứu đầu tiên bởi Euler vào năm 1770, và bởi nhiều nhà toán học khác. Ngoài lợi ích nội tại của nó, những vật lồi có áp dụng khoa học tự nhiên cho hình vẽ của những đồng xu kim loại, thiết bị kĩ thuật của máy chiếu phim, và mảnh mẫu rằng là mẫu khoan gần lỗ

khoan vuông! Ta bắt đầu sự thảo luận từ sự trình bày hai hàm sinh tự nhiên liên kết với vật lồi bất kì, hàm chiều dài dây cung lớn nhất và hàm độ rộng của chúng.

Cho A là một vật lồi trong Rn và cho u là một véc tơ đơn vị trong Rn. Khi đó có đúng hai siêu phẳng giá tới A có u với một véc tơ chuẩn tắc.

Khoảng cách giữa những siêu phẳng giá khác được gọi là độ rộng của A theo chiều u và được kí hiệu là w(u). Quan sát Hình 2.1 rõ ràng, với mọi véc tơ đơn vị u trong Rn, w(u) = w(−u). Hàm độ rộng của một hình cầu đóng có bán kính r có giá trị không đổi là 2r. Ví dụ, xét hình vuông

A = {(x, y) : |x|,|y| ≤1}, trong R2. Một phép toán đơn giản chứng tỏ rằng

w ((cosθ,sinθ)) = 2 (|sinθ|+|cosθ|) vớiθ ∈ R.

Trường hợp 0 < θ < 14π được minh họa trong Hình 2.2. Bây giờ ta chứng tỏ rằng hàm độ rộng w của một vật lồi A trong Rn là không quá hơn một hạn chế hàm giá của hiệu A −A của A. Kí hiệu h là hàm giá của A. Khi đó những siêu phẳng giá tới A có véc tơ chuẩn tắc có phương trình u.x = h(u) và u.x = −h(−u), và khoảng cách giữa chúng là h(u) + h(−u). Do đó

w (u) =h(u) +h(−u) = sup{u.a : a ∈ A}+ sup{−u.b :b ∈ A}

= sup{u.(a−b) : a, b ∈ A}

= sup{u.c : c ∈ A−A},

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

Hình 2.1:

Hình 2.2:

chứng tỏ rằng w là một hạn chế của hàm giá A−A tới tập compact {u :kuk = 1}. Vì những hàm giá là liên tục, w là liên tục và có cận trên {u : kuk = 1}. Cận dưới w∗ được gọi là độ rộng nhỏ nhất của A, và cận trên w∗ được gọi là độ rộng lớn nhất của A. Độ rộng nhỏ nhất và độ rộng lớn nhất của một hình vuông có cạnh a lần lượt bằng a và

√2a.

Quan hệ đóng tới hàm độ rộng của một vật lồi là hàm độ dài dây cung lớn nhất của một vật. Cho A là một vật lồi trong Rn và cho u là một véc tơ đơn vị trong Rn. Khi đó số dương l(u) được xác định bởi phương trình

l(u) = sup

kb−ak : a, b ∈ Avàb−a = αuvớiα ∈ R ,

là được gọi là độ dài cung lớn nhất của A theo chiều u (hiển nhiên).

Rõ ràng, với mọi véc tơ đơn vị u trong Rn, l(−u) =l(u). Hàm độ dài cung lớn nhất của một hình cầu đóng có bán kính r có giá không đổi 2r. Ví dụ, xét hình vuông

A = {(x, y) : |x|,|y| ≤1},

trong R2. Khi đó một phép toán đơn giản chứng tỏ rằng

l(cosθ,sinθ) = 2/max{|cosθ|,|sinθ|} vớiθ ∈ R.

Trường hợp 0 < θ < 14π được minh họa trong Hình 2.3. Định nghĩa của l có thể áp dụng vào công thức sau:

l(u) = sup{α ∈ R : αu ∈ A−A}.

Một vài tính chất quan trọng của l dễ dàng được suy ra. Đầu tiên, với mỗi véc tơ đơn vị trong Rn, điểm l(u)u nằm trên biên của A−A và ở đó tồn tại a, b ∈ A sao cho b − a = l(u)u. Thứ hai, khi miền u trên mọi véc tơ đơn vị thuộc Rn, l đạt tới cả cận trên l∗ và cận

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

Hình 2.3:

dưới l∗; hơn nữa l∗U ⊆ A − A ⊆ l∗U, ở đó U là hình cầu đơn vị đóng {x ∈ Rn : kxk ≤ 1}. Nó theo rằng l∗ và l∗ tương ứng là bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của A−A. Nếu kí hiệu l là hàm độ dài cung lớn nhất của hình vuông cạnh a khi đó l∗ = a và l∗ = √

2a. Quan sát kĩ ta thấy chú ý nếu w kí hiệu hàm độ rộng của hình vuông cạnh a, khi đó l∗ = w∗ và l∗ = w∗. Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng điều này không có sự trùng hợp ngẫu nhiên.

Định lí 2.4.1. [2, Theorem 7.6.1] Cho l là hàm độ dài cung lớn nhất và hàm độ rộng w của một vật lồi A trong Rn có đường kính D.

Khi đó, với bất kì véc tơ đơn vị u trong Rn, l(u) ≤ w(u). Cũng có l∗ = w∗ và l∗ = w∗ = D.

Chứng minh. Với véc tơ u bất kì trong Rn, l(u)u ∈ A−A, do đó l(u) = l(u)u.u ≤ sup{u.x :x ∈ A−A}= w (u).

Giả sử rằng u là một véc tơ đơn vị trong Rn sao cho l(u) = l∗. Từ

A−A chứa hình cầu đóng l∗U, siêu phẳng u.x= l∗ giá A−Atại điểm giới hạn l∗u. Do đó

w∗ ≤ w (u) = sup{u.x : x ∈ A−A} = l∗ ≤ w∗, do đó l∗ = w∗.

Vì A−A nằm trong hình cầu đóng l∗U, theo rằng với véc tơ đơn vị bất kì thuộc Rn,

w (v) = sup{v.x: x ∈ A−A} ≤ l∗,

vì vậy w∗ ≤ l∗. Hiển nhiên l∗ ≤ w∗. Mà l∗ = D là một hệ quả đơn giản của định nghĩa của l∗. Do đó l∗ = w∗ = D.

Bây giờ ta đến phần chính trong mục này: vật lồi với độ rộng không đổi. Một vật lồi được gọi có độ rộng không đổi nếu hàm độ rộng là không đổi. Do đó một hình cầu đóng có bán kính r có độ rộng không đổi 2r. Ở đó, có lẽ ngẫu nhiên, vật lồi có độ rộng không đổi khác hơn hình cầu đóng. Ở đây đơn giản nhất là tam giác Reuleaux. Đây là một hình phẳng chứa giao ba đĩa tròn đóng bán kính a trọng tâm tại đỉnh tam giác đều cạnh a. Xem Hình 2.4. Ngũ giác Reuleaux, thất giác Reuleaux, hình chín cạnh Reuleaux... có thể được xây dựng đơn giản hơn. Từ véc tơ tổng của hai vật lồi có độ rộng không đổi cũng là một vật lồi có độ rộng không đổi, ví dụ khác hệ vật lồi có độ rộng không đổi có thể xây dựng dễ dàng.

Định lí 2.4.1 chỉ ra rằng ba điều kiện sau trên một vật lồi A thuộc Rn là tương đương: (i) A có độ rộng không đổi λ; (ii) A có độ dài cung lớn nhất không đổi λ; (iii) A−A là hình cầu đóng λU.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

Hình 2.4:

Giả sử rằng A là một vật lồi trong Rn có độ rộng không đổi λ là đối xứng, có nghĩa là −A= A. Khi đó điều kiện (iii) của đoạn cuối chứng tỏ rằng A = 12λU. Do đó một vật lồi đối xứng có độ rộng không đổi λ phải là hình cầu đóng bán kính 12λ trọng tâm tại gốc tọa độ.

Xét một vật lồi A thuộc Rn có độ rộng không đổi λ, và điểm x thuộc Rn không thuộc A. Cho y là thuộc A gần x nhất. Khi đó siêu phẳng H1 qua y với x−y là một véc tơ chuẩn tắc giá A tại y. Kí hiệu bởi H2 cũng là siêu phẳng giá tới A có x−y cũng là véc tơ chuẩn tắc. Cho z là một điểm của A nằm trên H2. Quan sát Hình 2.5 từ H1 và H2 là khoảng cách λ riêng, khoảng cách giữa x và z phải lớn hơn λ. Do đó đường kính của A∪ {x} lớn hơn A. Ta vừa chứng tỏ sự bổ sung bất kì điểm khác vào vật lồi có độ rộng không đổi sinh ra tập đường kính tăng. Tập bất kì với tính chất mà nó không thật sự chứa trong tập cùng đường kính được gọi là hoàn toàn. Do đó mọi vật lồi có độ rộng không đổi là hoàn toàn. Ngược lại, mọi vật lồi là hoàn toàn có

Hình 2.5:

độ rộng không đổi, cũng đúng. Trước khi thiết lập điều này không có đảo đề tầm thường nào mà ta cần một vài kết quả mở đầu.

Định lí 2.4.2. [2, Theorem 7.6.2] Cho b là một điểm biên của một vật lồi hoàn toàn A trong Rn với đường kính λ. Khi đó ở đó tồn tại một điểm c của A sao cho kc−bk = λ.

Chứng minh. A là compact, ở đó tồn tại một điểm c của A mà khoảng cách từ b là lớn nhất. Nếu kc−bk < λ, khi đó ở đó là một điểm y của Rn\A sao cho ky −bk < λ− kc−bk. Cho a ∈ A. Bởi chọn c và y,

ky −ak< ky −bk+kb−ak ≤ ky −bk+kb−ck < λ,

mà chứng tỏ rằng A∪ {y} có đường kính λ. Điều này mẫu thuẫn tính hoàn toàn của A, vì vậy kc−bk= λ.

Định lí 2.4.3. [2, Theorem 7.6.3] Tập A thuộc Rn với đường kính dương λ là hoàn toàn khi và chỉ khi nó là giao của mọi hình cầu đóng

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

bán kính λ với tâm thuộc A.

Chứng minh. Kí hiệu C giao của mọi hình cầu đóng có bán kính λ tâm thuộc A. Đầu tiên giả sử rằng A= C. Cho x ∈ Rn\A. Khi đó ở đó có hình cầu B[a;r] với tâm a thuộc A mà không chứa x, có nghĩa là kx−ak > λ. Do đó đường kính của A∪ {x} lớn hơn λ, chứng tỏ A là hoàn toàn.

Tiếp theo giả sử rằng A là hoàn toàn. Từ A có đường kính λ, A ⊆C.

Cho x ∈ C. Khi đó A∪ {x} có đường kính λ. Từ A là hoàn toàn, x phải nằm trên A. Do đó C ⊆ A, và A = C là cần thiết.

Xét một tính chất đơn giản của đĩa tròn đóng A có bán kính r trongR2. Cho a, b, c không cộng tuyến trong R2 sao cho a, b ∈ A và ka−ck = r,kb−ck = r. Khi đó nó có ảnh thực sự mà nhỏ hơn cung C của đường tròn tâm c và bán kính r mà a, b nằm trong A, quan sát Hình 2.6. Ta khái quát kết quả trong Rn. Đầu tiên ta phải biểu diễn điểm

Hình 2.6:

trên cung C theo số hạng a, b, c và r. Điểm của C chính xác là điểm

trong R2 mà nằm trong góc ∠acb và khoảng cách từ c bằng r, có nghĩa là điểm mà

c+α(a−c) +β(b−c), ở đó α, β ≥ 0, mà

kα(a−c) +β(b−c)k = r.

Kết quả cuối cùng này đưa ra định nghĩa sau. Cho a, b, c không cộng tuyến trong Rn và cho r> 0 sao cho ka−ck = r,kb−ck = r. Khi đó cung tròn bán kính r tâm c nối a và b được xác định là tập

c+α(a−c) +β(b−c) : α, β ≥ 0và kα(a−c) +β(b−c)k= r .

Định lí 2.4.4. [2, Theorem 7.6.4] Một vật lồi hoàn toàn trong Rn đường kính λ chứa mọi cung tròn bán kính λ nối hai điểm của nó.

Chứng minh.Từ Định lí 2.4.3 mọi vật lồi hoàn toàn có đường kính λ là giao của những hình cầu đóng bán kính λ.

Cho B là một hình cầu đóng trong Rn tâm x và bán kính λ. Cho a, b, c là những điểm không cộng tuyến trong Rn sao cho a, b ∈ B, ka−ck = λ,kb−ck = λ. Khi đó

ka−xk2 = ka−c+c−xk2 = ka−ck2+2 (a−c).(c−x)+kc−xk2 ≤λ2, do đó

2 (a−c).(c−x) +kc−xk2 ≤ 0.

(2.4.1)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

Tương tự,

2 (b−c).(c−x) +kc−xk2 ≤ 0.

(2.4.2) Bây giờ cho z nằm trên cung tròn bán kính λ tâm nối a và b. Khi đó z = c + α(a−c) + β(b−c) với α, β ≥ 0, và kz−ck = λ. Từ ka−ck = λ,kb−ck = λ, phương trình z −c = α(a−c) +β(b−c) chứng tỏ rằng α + β ≥ 1. Kết hợp bất đẳng thức (2.4.1) và (2.4.2), biểu diễn bởi α, β khi đó thêm vào bất đẳng thức cùng quan hệ, ta suy ra rằng

2 (z −c).(c−x)+kc−xk2 ≤2 (z−c).(c−x)+(α +β)kc−xk2 ≤0.

Do đó

kz −xk2 = kz −c+c−xk2

= kz −ck2 + 2 (z−c).(c−x) + kc−xk2 ≤ kz −ck2 = λ2, vì vậy kz −xk ≤ λ. Do đó z ∈ B và cung tròn bán kính λ tâm c nối a và b nằm trong B.

Định lí 2.4.5. [2, Theorem 7.6.5] Một vật lồi trong Rn là hoàn toàn khi và chỉ khi có độ rộng không đổi.

Chứng minh. Ta biết rằng độ rộng một vật lồi không đổi là hoàn toàn, vì vậy ta chỉ cần một vật lồi hoàn toàn có độ rộng không đổi.

Để làm điều này, ta đi chứng minh phản chứng.

Giả sử rằng A là một vật lồi hoàn toàn trong Rn với đường kính λ mà không có độ rộng không đổi. Cho u là một véc tơ đơn vị chỉ chiều của A có độ rộng nhỏ nhất w∗. Khi đó w∗ < w∗ = λ. Từ l∗ = w∗, ở đó tồn

tại a, b ∈ A sao cho b−a = w∗u và

A ⊆ {x ∈ Rn : u.a ≤ u.x ≤u.b}.

(2.4.3) Quan sát Hình 2.7. Từ Định lí 2.4.2, tồn tại điểm c thuộc A sao cho

Hình 2.7:

kc−bk = λ.Ta xây dựng sự tồn tại một điểm d dạng(1−θ)a+θc+εu, ở đó 0 ≤ θ ≤ 1 và ε > 0, mà tại điểm đó khoảng cách λ từ cả a và c, chia trường hợp u.a= u.c và u.a < u.c.

Nếu u.a = u.c, khi đó ta có thể đặt d bằng 12a + 12c + εu, ở đó ε là r

λ2 − 14ka−ck2

. Giả sử khi đó u.a < u.c. Điểm f = b+ ϕu, ở đó ϕ = λ2 −w∗2

/2u.(c−a), là cách đều a và c, khoảng cách đều lớn hơn λ. Điểm 12 (a+c) là cách đều a và c, đều nhỏ hơn λ. Do đó có điểm d nằm trên đường thẳng nối f và 12 (a+c) mà có khoảng cách λ từ a và c. Hơn nữa, d = (1−θ)a + θc + εu, với θ và ε thỏa mãn

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

0≤ θ ≤ 1 và ε > 0.

Xét điểm p= d−λu. Phương trình

p = d+λ(1−θ)ε−1(a−d) +λθε−1(c−d).

Chứng tỏ rằng p nằm trên cung tròn bán kính λ tâm d nối a và c. Từ A là hoàn toàn, p ∈ A. Ta được kết quả từ sự chứng minh ngược lại rằng p /∈ A. Chỉ có duy nhất một điểm nằm trên nửa đường thẳng {a+ àu: à ≥0} mà tại đú khoảng cỏch λ từ a là a+ λu, từ c bằng k(λ−w∗)u+ (b−c)k, mà lớn hơn kb−ck = λ. Do đó d không có dạng a+àu với bất kỡ à ≥ 0. Do đú điểm gần nhất d−((d−a).u)u của siêu phẳng H với phương trình u.x = u.a tới điểm d khác a. Từ a nằm trên H, khoảng cách nó từ d phải lớn hơn (ngắn nhất) khoảng cách d từ H, có nghĩa là λ > (d−a).u. Do đó

u.p = u.d−λ < u.a.

Từ (2.4.3) chứng tỏ rằng p /∈ A.

Những kí hiệu trước trong kết quả tiếp theo, ta nhắc lại một vài vật lồi, ví dụ hình chữ nhật không có đường tròn nội tiếp duy nhất.

Định lí 2.4.6. [2, Theorem 7.6.6] Cho r là bán kính nội tiếp và R là bán kính ngoại tiếp đường tròn của một vật lồi A trong Rn có độ rộng không đổi λ. Khi đó A có duy nhất đường tròn nội tiếp, và đồng tâm với đường tròn ngoại tiếp. Hơn nữa, λ = R+r.

Chứng minh. Cho B[a;r] là một đường tròn nội tiếp của A. Khi đóA ⊆ B[a;λ−r].Mặt khác có thể tồn tại a0 ∈ Asao choka0 −ak >

λ−r,và khoảng cáchka0 −ak+r giữa các điểma−r(a0−a)/ka0−ak

và a’ của A có thể lớn hơn đường kính λ của A. Do đó R ≤ λ−r và r +R ≤ λ.

Cho B[c;R] là đường tròn ngoại tiếp của A. Khi đó B[c;λ−R] ⊆ A.

Mặt khác ở đó có thể tồn tại b ∈ B[c;λ−R] sao cho b /∈ A. Nhưng khi đó b và A có thể hoàn toàn rời nhau, có thể tồn tại véc tơ đơn vị u sao cho với mọi x ∈ A,

u.c−R ≤ u.x < u.b ≤ u.c+λ−R,

và độ rộng của A theo hướng u có thể nhỏ hơn λ. Do đó r ≥ λ−R và r +R ≥ λ.

Bất đẳng thức λ ≤ r +R ≤ λ chứng tỏ rằng r +R = λ. Phần đầu chứng minh chứng tỏ rằng nếu B[a;r] là đường tròn nội tiếp của A, khi đó B[a;R] là đường tròn ngoại tiếp của A. Do đó A có duy nhất đường tròn nội tiếp, và đồng tâm với đường tròn ngoại tiếp.

Ta kết thúc phần này, và cũng là cuốn sách với định lí đáng chú ý sau, mà là khái quát kết quả rằng chu vi của một đường tròn là π lần đường kính.

Định lí 2.4.7. (Định lí Barbier) [2, Theorem 7.6.7] Mọi vật lồi trong R2 có độ rộng không đổi λ có chu vi πλ.

Chứng minh. Cho A là một vật lồi trong R2 có độ rộng không đổi λ. Khi đó A−A = λU. Từ A và -A có cùng chu vi, và trong R2 chu vi của vật lồi là cộng tính với sự biểu diễn với phép cộng véc tơ (xem phần cuối mục 4.4), chu vi của A phải bằng một nửa của λU, có nghĩa là πλ.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đào

KẾT LUẬN

Trong khóa luận em trình bày các vấn đề liên quan đến vật lồi và các khối đa diện lồi trong Rn, nó có ứng dụng to lớn trong giải tích lồi, hình học lồi và tối ưu lồi. Sau quá trình nghiên cứu em đã tìm hiểu được thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho mình được một số kiến thức cơ bản về vấn đề đã nghiên cứu. Em hy vọng những vấn đề em trình bày trong khóa luận này có thể giúp cho việc nghiên cứu các vấn đề của Toán học được thuận lợi hơn. Vì thời gian và kiến thức có hạn nên trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót. Kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để khóa luận của em hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!