2.2.1 ành lẵ. Cho (R,m, k) l v nh àa phữỡng Noether, v M l R-mổun hỳu hÔn sinh cõ chiãu nởi xÔ hỳu hÔn. Khi õ
injdimRM = depthR. (∗)
Chùng minh. °t r = injdimRM v t = depthR. Gi£ sû x = x1, x2, . . . , xt l mởt dÂy R-chẵnh quy cỹc Ôi. Do depthR/(x) = 0 v k ⊂ R/(x) nản ta cõ dÂy khợp ngưn cĂc R-mổun:
0 //k //R/(x) //M //0.
DÂy khợp ngưn trản cÊm sinh ra dÂy khợp
ExtrR(R/(x), M) //ExtrR(k, M) //Extr+1R (N, M) = 0.
p dửng Mằnh ã 1.7.7 ta cõ ExtrR(k, M) 6= 0, do õ ExtrR(R/(x), M) 6= 0. Phực Koszull K∗(x) cừa x trản R l lới giÊi R-tỹ do cừa R/x cõ chiãu d i t. Tứ õ suy ra
r ≤ t. (1)
M°t khĂc ExttR(R/(x), M) ∼= Ht(x, M), trong õ Ht(x, M) l ối ỗng iãu Koszull thự t cừa M ối vợi x. Theo ([5, Proposition 1.6.10]) ta cõ Ht(x, M) 6= 0. Suy ra
r ≥ t. (2) Tứ (1) v (2) ta cõ
injdimRM = depthR.
Cổng thực (∗) ữủc biát án vợi tản gồi l cổng thực Bass. Nôm 2000, Christensen [6]  chựng minh ữủc rơng, trong cổng thực n y, trản v nh àa phữỡng Cohen-Macaulay vợi mổun ối ngău ngữới ta cõ thº thay thá chiãu nởi xÔ bði chiãu nởi xÔ Gorenstein. án nôm 2006, Christensen, Frankild v Holm [8]  chựng minh kát quÊ n y cho trữớng hủp v nh àa ph÷ìng chùa phùc èi ng¨u.
ành lẵ sau Ơy l kát quÊ chẵnh trong [9], ữa ra mởt cổng thực tẵnh chiãu nởi xÔ Gorenstein nhữ mởt phiản bÊn cừa cổng thực Bass trản v nh giao ho¡n Noether tòy þ.
2.2.2 ành lẵ. Cho R l mởt v nh v M l R-mổun hỳu hÔn sinh cõ chiãu nởi xÔ Gorenstein hỳu hÔn. Khi õ
GidRM = sup{depthRp|p ∈ Supp(M)}.
Chựng minh. Ưu tiản ta giÊ sỷ GidRM = 0. º chựng minh ành lỵ trong trữớng hủp n y ta ch¿ cƯn ch¿ ra depthRp = 0 vợi mồi iảan nguyản tố p ∈ Supp(M).
GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơng depthRp > 0, vợi mởt iảan nguyản tố p ∈ Spec(R). Khi õ pRp chựa mởt phƯn tỷ Rp-chẵnh quy x. Vẳ M l R-mổun nởi xÔ Gorenstein, ta cõ dÂy khợp
0 //N //I //M //0 trong õ I l R-mổun nởi xÔ.
TĂc ởng h m tỷ àa phữỡng hõa HomRp(Rp/pRp,−) v o àa phữỡng hõa cừa dÂy khợp ngưn trản v sỷ dửng tẵnh chĐt Ip l Rp-mổun nởi xÔ
ta ữủc dÂy khợp sau:
0 //Ext1Rp(Rp/xRp, Mp) //Ext2Rp(Rp/xRp, Np) //0.
Ta câ Ext2R
p(Rp/xRp, Np) = 0 bði vẳ proj dimRpRp/xRp = 1. Suy ra Ext1Rp(Rp/xRp, Mp) = 0.
M°t khĂc, tứ dÂy khợp
0 //Rp .x //Rp //Rp/xRp //0 cÊm sinh ữủc dÂy khợp sau:
0 //Mp .x //Mp //Ext1R
p(Rp/xRp, Mp) = 0.
Do õ theo Bờ ã Nakayama ta cõ p ∈/ Supp(M), iãu n y l mƠu thuăn.
Vẳ vêy ành lỵ ữủc chựng minh trong trữớng hủp GidRM = 0.
B¥y gií ta gi£ sû GidRM = n > 0. Theo Christensen, Frankild v Holm [8, 2.14] tỗn tÔi mởt dÂy khợp ngưn
0 //K //L //M //0,
trong õ K l R-mổun nởi xÔ Gorenstein v injdimRL = GidRM = n.
M°t kh¡c ta câ ¯ng thùc
injdimRL = sup{depthRp −widthRpLp|p ∈ Supp(L)},
trong â
widthRpLp = inf{i|TorRi p(Rp/pRp, Lp) 6= 0}.
Chồn mởt iảan nguyản tố p ∈ Supp(L). DÂy
0 //Kp //Lp //Mp //0, cĂc Rp-mổun v Rp- ỗng cĐu l khợp.
GiÊ sỷ p ∈ Supp(M). TĂc ởng h m tỷ (− ⊗Rp Rp/pRp) v o dÂy khợp trản, ta nhên ữủc dÂy khợp
Lp/pLp //Mp/pMp //0.
Theo Bờ ã Nakayama ta cõ Mp/pMp 6= 0 v do õ Lp/pLp 6= 0. Do õ widthRpLp = 0 vợi mồi p ∈ Supp(M).
Náu p ∈/ SuppM, thẳ Lp ∼= Kp. àa phữỡng hõa mởt lới giÊi nởi xÔ cừa K theo iảan nguyản tố p, ta cõ dÂy khợp
. . . //I1 //I0 //Lp //0,
trong õ Ii l R-mổun nởi xÔ. GiÊ sỷ Ki l hÔt nhƠn cừa ỗng cĐu Ii−1 → Ii−2 cừa phực trản.
Vợi mội Rp-mổun T cõ chiãu xÔ Ênh hỳu hÔn t v vợi mồi số nguyản d÷ìng i, ta câ ExtiRp(T, Lp) ∼= Exti+tR
p(T, Kt). Vẳ vêy, cÊ hai mổun n y ãu bơng 0 do i+t > projdimRpT.
Theo [7, 5.3] ta câ ¯ng thùc thù hai sau ¥y
0 = sup{i | ExtiRp(T, Lp) 6= 0, pdRpT < ∞}
= sup{depthRq−widthRqLq|qRp ∈ Supp(Lp)}.
Nhữ vêy depthRp −widthRpLp ≤ 0 vợi mồi p ∈ Supp(L)\Supp(M). Do â
GidRM = idRL
= sup{depthRp −widthRpLp|p ∈ Supp(L)}
= sup{depthRp −widthRpLp|p ∈ Supp(M)}
= sup{depthRp|p ∈ Supp(M)}.
Mởt v nh àa phữỡng R ữủc gồi l Cohen-Macaulay náu dimR = depthR v ữủc gồi l hƯu nhữ CohenMacaulay (almost Cohen-Macaulay) náudimR−depthR ≤ 1.Hằ quÊ sau Ơy cừa ành lẵ 2.2.2 l mởt phiản bÊn cừa cừa cổng thực Bass cho trữớng hủp àa phữỡng, nõ l mởt sỹ tờng quĂt hõa cừa phiản bÊn cừa cổng thực Bass cho trữớng hủp Gorenstein trong [7, 6.2.15].
2.2.3 Hằ quÊ. Cho (R,m, k) l v nh àa phữỡng hƯu nhữ CohenMacaulay v M l mởt R-mổun hỳu hÔn sinh. Náu GidRM < ∞ thẳ
GidRM = depthR.
Chựng minh. Theo ành lẵ 2.2.2 v sỷ dửng tẵnh chĐt: Trản mởt v nh àa phữỡng hƯu nhữ CohenMacaulay vợi cĂc iảan nguyản tố p ⊆ q thẳ depthRp ≤depthRq (xem [7, 3.1]).
Nôm 2006, Salarian, Sather-Wagstaff v Yassemi  chựng minh ữủc rơng: Náu M l mổun hỳu hÔn sinh trản v nh àa phữỡng (R,m, k) thẳ GidRM < ∞ k²o theo GidR/xRM/xM < ∞, trong â ph¦n tû x ∈ m l R−chẵnh quy v M−chẵnh quy. Hằ quÊ sau Ơy cừa ành lỵ 2.2.2 l mởt phiản bÊn cừa kát quÊ n y.
2.2.4 Hằ quÊ. Cho (R,m, k) l v nh àa phữỡng v M l R-mổun hỳu hÔn sinh. Náu phƯn tỷ x ∈ m l R-chẵnh quy v M-chẵnh quy thẳ
GidR/xRM/xM ≤ GidRM −1.
Hìn núa, ¯ng thùc x£y ra khi R l h¦u nh÷ CohenMacaulay v GidRM l húu h¤n.
Chựng minh. Náu GidRM vổ hÔn thẳ bĐt ¯ng thực l hiºn nhiản.
GiÊ sỷ M cõ chiãu nởi xÔ Gorenstein hỳu hÔn, khi õ º chựng minh bĐt ¯ng thực trản ta sỷ dửng ành lẵ 2.2.2 v cĂc kát quÊ sau:
(i) Supp(M/xM) = {p/xR|p ∈ Supp(M), x ∈ p}.
(ii) Náu x ∈ p thẳ depth(R/xR)p/xR = depthRp −1.
Vẳ GidRM < ∞ nản theo Hằ quÊ 2.2.3 ta cõ GidRM = depthR. M°t khĂc GidR/xRM/xM < ∞ nản GidR/xRM/xM = depthR/xR. Theo ành lẵ 2.2.2 ta cõ:
GidRM = sup{depthRp|p ∈ Supp(M)}
= sup{depthR/xR+ 1|p ∈ Supp(M/xM)}
= depthR.
Suy ra depthR/xR + 1 ≤ depthR ⇒ depthR/xR ≤ depthR − 1. Vêy GidR/xRM/xM ≤ GidRM −1.
Kh¯ng ành thự hai suy tứ Hằ quÊ 2.2.3.
Hằ quÊ sau Ơy ngay lêp tực ữủc suy ra tứ ành lỵ 2.2.2, ch¿ ra rơng chiãu nởi xÔ Gorenstein hỳu hÔn l "ỗng bián" qua àa phữỡng hõa.
2.2.5 Hằ quÊ. Cho R l mởt v nh v M l R-mổun hỳu hÔn sinh. Náu p ⊆ q l cĂc iảan nguyản tố v Mp cõ chiãu nởi xÔ Gorenstein hỳu hÔn, thẳ
GidRpMp ≤GidRqMq.
BƠy giớ chúng ta s³ tẳm hiºu mởt dÔng phiản bÊn khĂc cừa cổng thực Bass. Nôm 1969, Ischebeck  chựng minh ữủc cổng thực sau Ơy.
2.2.6 ành lẵ. Cho (R,m, k) l mởt v nh àa phữỡng, M v N l cĂc R-mổun hỳu hÔn sinh. Náu idRN < ∞, thẳ
depthR−depthRM = sup{i | ExtiR(M, N) 6= 0}.
Mởt cƠu họi tỹ nhiản ữủc °t ra ð Ơy l liằu phiản bÊn nởi xÔ Goren- stein cừa ành lỵ n y cỏn úng hay khổng. CƠu trÊ lới l phừ ành. Ta cõ thº thĐy ữủc iãu n y qua vẵ dử sau.
2.2.7 Vẵ dử. Cho (R,m, k) l mởt v nh àa phữỡng Gorenstein khổng chẵnh quy, khi õ k cõ chiãu nởi xÔ Gorenstein hỳu hÔn những chiãu xÔ
Ênh l vổ hÔn. Náu trong ành lẵ Ischebeck, chiãu nởi xÔ hỳu hÔn cõ thº dăn án chiãu nởi xÔ Gorenstein hỳu hÔn, thẳ sup{i | ExtiR(k, k) 6= 0} < ∞, nghắa l pdRk < ∞, tuy nhiản iãu õ khổng úng.
Kát quÊ sau Ơy l sỹ tờng quĂt hõa mởt phƯn cừa kát quÊ cừa Ischebeck.
2.2.8 Mằnh ã. Cho φ : (R,m, k) → (S,n, l) l mởt ỗng cĐu àa phữỡng cừa v nh àa phữỡng v M l mởt R-mổun. Vợi mồi S-mổun N l hỳu hÔn sinh cõ chiãu nởi xÔ hỳu hÔn trản v nh R thẳ ¯ng thực sau Ơy úng, vợi iãu kiằn depthRM = 0 ho°c M l mởt R-mổun hỳu hÔn sinh.
depthR−depthRM = sup{i | ExtiR(M, N) 6= 0}.
Chùng minh. °t t = idRN
Náu depthRM = 0 thẳ tỗn tÔi mởt dÂy khợp ngưn 0 //k //M //C //0. DÂy khợp ngưn trản cÊm sinh ra dÂy khợp d i
. . . //ExttR(M, N) //ExttR(k, N) //Extt+1R (C, N) //. . . . Do Extt+1R (C, N) = 0 v ExttR(k, N) 6= 0 nản ExttR(M, N) 6= 0 v khi õ
sup{i | ExtiR(M, N) 6= 0} ≥ t.
BĐt ¯ng thực ngữủc lÔi hiºn nhiản úng.
Náu M l hỳu hÔn sinh thẳ ta sỷ dửng phữỡng phĂp quy nÔp trản depthRM º chựng minh. Náu depthRM > 0, khi õ tỗn tÔi phƯn tỷ x ∈ m l M-chẵnh quy. Ta sỷ dửng dÂy khợp d i cÊm sinh tứ dÂy khợp ngưn
0 //M .x //M //M/xM //0.
Do õ theo giÊ thiát quy nÔp ta suy ra iãu phÊi chựng minh.
Hằ quÊ sau Ơy cừa Mằnh ã 2.2.8 l mởt sỹ tờng quĂt kiºu khĂc cừa cổng thực Bass cờ iºn. Cổng thực n y cụng xuĐt hiằn trong b i bĂo cừa Takahashi and Yoshino nôm 2004.
2.2.9 Hằ quÊ. Cho φ : (R,m, k) → (S,n, l) l mởt ỗng cĐu àa phữỡng cừa v nh àa phữỡng. Vợi mồi S-mổun N l hỳu hÔn sinh cõ chiãu nởi xÔ
hỳu hÔn trản v nh R thẳ ¯ng thực sau Ơy úng.
depthR = injdimRN.
Chựng minh. p dửng Mằnh ã 2.2.8 vợi M = R/m.
KT LUN
Trong luên vôn chúng tổi  cố gưng chựng minh chi tiát v l m ró nhỳng vĐn ã m trong b i bĂo [9] cừa L. Khatami v S. Yassemi khổng trẳnh b y ho°c trẳnh b y mởt cĂch vưn tưt. Nõi ró hỡn, luên vôn  ho n th nh ữủc nhỳng viằc sau:
1. Trẳnh b y chựng minh cổng thực Bass (ành lỵ 2.2.1).
2. Trẳnh b y chựng minh mởt phiản bÊn cừa cổng thực Bass cho chiãu nởi xÔ Gorenstein (ành lỵ 2.2.2). Ơy l kát quÊ chẵnh cừa [9].
3. Trẳnh b y mởt số hằ quÊ cừa ành lỵ 2.2.2.
TI LIU THAM KHO
Tiáng Viằt
[1] Nguyạn Tỹ Cữớng (2003), GiĂo trẳnh Ôi số hiằn Ôi, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi.
[2] Dữỡng Quốc Viằt (2008), Cỡ sð lỵ thuyát mổun, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Sữ phÔm, H Nởi.
Tiáng Anh
[3] M. F. Atiyah and I.G. Macdonald (1969), Introduction to Commuta- tive Algebra, Addison-Wesley Publishing Company.
[4] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press.
[5] W. Bruns and J. Herzog (1992), CohenMacaulay rings, Cambridge University Press.
[6] L. W. Christensen (2000), Gorenstein Dimensions, Volume 1747 of Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag.
[7] L. W. Christensen, H. B. Foxby, A. Frankild (2002), Re- stricted homological dimensions and CohenMacaulayness, J. Algebra 251(1):479502.