2.1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc
Nếu tập các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận là một tập gồm một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn nhưng đếm được, khi đó biến ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử biến ngẫu nhiên ξ nhận các giá trị x1, x2, ..., xn, ... và p{ξ=xi} = pi, i = 1,2, ...
Để mô tả (hoặc xác định) biến ngẫu nhiên rời rạc ta sử dụng:
ξ x1 x2 ... xn
P {ξ=xi} p1 p2 ... pn
Trong đó,P
ipi = 1, pi >0∀i= 1,2, ...
Bảng với hai thông tin cho trên xác định biến ngẫu nhiên ξ được gọi là bảng phân phối xác suất.
Ví dụ: gieo đông thời hai đồng tiền cân đối và đồng chất. Gọi ξ là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng phân phối xác suất sau
ξ 0 1 2
P {ξ=xi} 1/4 2/4 1/4
GọiAi =
đồng tiền thứ i xuất hiện mặt sấp , i= 1,2, ...
A1, A2 độc lập Biến cố
{ξ= 0}=A1A2
→P{ξ = 0}=P(A1)P(A2) = 1/2×1/2 = 1/4 {ξ= 1}=A1A2∪A1A2
→P{ξ = 1}=P(A1)P(A2) +P(A1)P(A2)
= 1/2×1/2 + 1/2×1/2 = 2/4 {ξ= 2}=A1A2
→P{ξ = 2}= 1/4.
Trong trường hợp các giá trị xi, pi có tính quy luật, thay cho việc lập bảng trên ta có thể mô tả bởi đắng thức dạng sau:
P {ξ=xi}=pi, i= 1,2, ...
Ví dụ: gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 100 lần. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt lục trong 100 lần gieo trên. Khi đó ta có phân phối xác suất của X là
P {X =m}=C100m ×(1/6)m×(5/6)100−m; m = 0,1,2, ...,100
trong đó p=P
xuất hiện mặt lục = 1/6
2.1.2 Biến ngẫu nhiên liên tục
Nếu tập các giá trị biến ngẫu nhiên nhận lấp đầy một khoảng nào đó, khi đó biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.
Để mô tả (hoặc xác định) biến ngẫu nhiên liên tục ta dùng khái niệm hàm mật độ.
Hàm p(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên nào đó nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. p(x)≥0,∀x∈(−∞,+∞) 2. R∞
−∞p(x)dx= 1
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Hoàn
Trong trường hợp này, xác suất đểξ thuộc vào khoảng(x0, x1) được tính như sau:
P {x0 < ξx1}= Z x1
x0
p(x)dx
Ví dụ: Cho hàm p(x) = asin2x. Xác định hằng số a đểp(x)trở thành hàm mật độ của biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập trung trong khoảng [0, π/2]
Như vậy
p(x) =
0 nếu x <0hoặcx > π/2, asin2x nếu 0≤x≤π/2.
Trong khoảng [0, π/2]thì sin2x≤0nên a≤0.
Ta có
Z +∞
−∞
p(x)dx = Z 0
−∞
odx+ Z π/2
0
asin2xdx+ Z +∞
π/2
0dx
=a Z π/2
0
asin2xdx= −a 2 cos2x
π/2
0 = −a 2 (−2)
=a = 1.
Vậy a= 1 và p(x) = sin2x là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập trung trong khoảng[0, π/2].
2.1.3 Hàm phân phối
Định nghĩa 2.1. Cho biến ngẫu nhiênξ, ta xác định hàm phân phối củaξ như sau Fξ(x) =P {ξ < x}
Trong định nghĩa trênxlà biến của hàmF,xnhận giá trị thực,xthuộc(−∞,+∞).
Tại một điểm xbất kỳ hàm F(x)chính là xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn x hoặc để biến ngẫu nhiên nhận giá trị bên trái x. Chỉ số của hàm Fξ(x) đê chỉ hàm phân phối của biến ngẫu nhiên ξ.
Một số phân phối một chiều quen thuộc.
a. Phân phối nhị thức
Xét n phép thử Bernoulli với xác xuất thành công P(A) = p. Gọi ξ là số lần xuất
hiện biến cố A trong n phép thử trên. Phân phối của ξ được gọi là phân phối nhị thức và ký hiệu ξ =B(n, p).
P(ξ=m) = Cmnpm(1−p)n−m, m = 0,1,2, ..., n.
Dãy phép thử Bernoulli thường gặp nhiều trong thực tế do đó biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối nhị thức cũng thường gặp trong các ứng dụng.
b. Phân phối Poisson
Phân phối này được Simeon Denis Poisson mô tả lần đầu tiên vào năm 1837. Phân phối này đã có nhiều ứng dụng đối với nhiều quá trình có kiên quan đến số quan sát đối với một đơn vị thời gian hoặc không gian. Chẳng hạn số cuốc điện thoại nhận được ở một trạm điện thoại trong một phút, số khách hàng đến nhà băng đối với một chu kỳ 30 phút. Số máy bị hỏng trong một ngày ... Nói chung là dòng vào của một hệ phục vụ (quán bia, hiệu cắt tóc, hiệu chữa xe, trạm điện thoại, ...) là các biến ngẫu nhiên tuân theo luật Poisson. Hoặc giả sử có n điểm phân phối đều trên [a, b]. Khi đó số các điểm rơi vào một đoạn có độ dài đơn vị là biến ngẫu nhiên Poisson.
c. Phân phối đều
Hàm mật độ và hàm phân phối đã được đưa ra ở trên. Từ biến ngẫu nhiên phân phối đều người ta nhận được bằng các số ngẫu nhiên.
d. Phõn phối chuẩn N(à, σ2)
Hàm mật độ chuẩn tổng quỏt p(x) = σ√12πe2σ−12(x−à)2 với −∞< x <+∞.
Đường cong mật độ này đối xứng qua đường x = à, nhận trục Ox làm tiệm cận ngang và cú giỏ trị cức đại tại x =à với tung độ cực đại là σ√12π. Trường hợp đặc biệt ξ≃N(0,1). Khi đó hàm mật độ được ký hiệu là ϕ(x)
ϕ(x) = 1
√2πe−x
2
2 . với − ∞< x < +∞
là hàm đối xứng qua trục tung, đồ thị có dạng hình chuông. Hàm phân phốiN(0,1) được ký hiệu là Φ(x):
Φ(x) = 1
√2π Z x
−∞
e−t
2 2 dt.
Phân phối chuẩn chiếm vị trí quan trọng trong lý thuyết xác suất là vị trí trung tâm trong các kết luận thống kê sau này.Do vai trò và vị trí đặc biệt của phân phối
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Hoàn
chuẩn cho nên người ta đã lập bảng tính gí trị của hàm mật độϕ(x) và giá trị của hàm phân phối Φ(x).
Tuy về lý thuyết biến ngẫu nhiên chuẩnN(0,1)nhận giá trị trên toàn đường thẳng, song trên thực tế biến ngẫu nhiênN(0,1)nhận giá trị trong khoảng(−3,3)với xác suất 0,9973, nhận giá trị trong khoảng (-3,5 ; 3,5) với xác suất là 0,9996. Thêm vào đó hàmϕ(x)là hàm đối xứng, cho nên chúng ta chỉ cần lập bảng tính hàm ϕ(x)và hàm Φ(x) với sự sai khác của các giá trị x là 0,01.
Mặt khỏc nếu X ≃N(à, σ2) thỡ ta cú thể đưa về chuẩn N(0,1) bằng phộp biến đổi sau: Y = Xσ−à. Phộp biến đổi này được gọi là phộp chuẩn húa biến ngẫu nhiờn.
e. Phân phối mũ
Biến ngẫu nhiên ξ có phân phối mũ nếu hàm mật độ của nó được xác định bởi
p(x) =
0 nếu x≤0,
λe−λx nếu x >0,(λ >0).
Hàm phân phối có dạng
F(x) =
0 nếux≤0,
1−e−λx nếux >0.