Chương 3: Biểu diễn số hạt của các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử
3.2 Chuyển các toán tử: tọa độ, xung lượng và năng lượng của dao động tử điều hòa sang biểu diễn số hạt
3.2.1 Biểu diễn số hạt của toán tử tọa độ và xung lượng
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằng phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của Hamintonian:
= − ℏ + . (3.38) Để thuận tiện khi viết các công thức ở đây cũng như sau này, thay cho các toán tử tọa độ x và xung lượng − ℏ ⁄ ta hãy dùng các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới:
→ = √ , (3.39) − ℏ → ̂ = − ℏ
√ . (3.40) Hệ thức giao hoán giữa ̂ và là:
[ ̂, ] = ̂ − ̂. (3.41) Xét :
̂ = − ℏ
√ √ = − ℏ + , (3.42)
̂ = √ − ℏ
√ = − ℏ , (3.43) ⇒ ̂ − ̂ = ( ̂ − ̂) = − ℏ . (3.44) Do đó:
[ ̂, ] = ̂ − ̂ = − ℏ. (3.45)
Hamintonian (3.38) có thể biểu diễn qua ̂ và : ̂ = − ℏ
√ ⇒ ̂ = −ℏ , (3.46) = = . (3.47) Do đó :
= ( ̂ + ). (3.48) Ta lại đặt:
̂ = ℏ ( + ), (3.49) = ℏ ( − ). (3.50) Công thức (3.49) chính là biểu diễn số hạt của toán tử xung lượng.
Công thức (3.50) chính là biểu diễn số hạt của toán tử tọa độ.
3.2.2 Toán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt Từ (3.49) và (3.50) ta có:
̂ = ℏ ( + )( + ) = ℏ [ + + + ( ) ], (3.51) = −ℏ ( − )( − )
= −ℏ [ − − + ( ) ]. (3.52) Hamintonian (3.48) được viết thành :
=1
2 ℏ
2 [ + + + ( ) ] −ℏ
2 [ − − + ( ) ]
= ( + )ℏ . (3.53) Các toán tử và xuất hiện ở trên có thể biểu diễn ngược lại qua ̂ và + =
ℏ ̂, (3.54)
− = −
ℏ , (3.55) ⇒ =
ℏ ̂ −
ℏ =
√ ℏ ( ̂ − ), (3.56) =
ℏ ̂ +
ℏ =
√ ℏ ( ̂ + ). (3.57) Vì: [ ̂, ] = ̂ − ̂ = − ℏ. (3.58) Ta có:
̂ = ℏ ( + ) ℏ ( − ) = ℏ[ − + − ( ) ], (3.59) ̂ = ℏ ( − ) ℏ ( + ) = ℏ[ + − − ( ) ]. (3.60) Nên: [ ̂, ] = ̂ − ̂ = − ℏ( − ) = − ℏ (3.61) ⇒ − = 1, (3.62) hay: [ , ] = 1. (3.63) Và do đó Hamintonian (3.53) trở thành:
= + ℏ . (3.64) Công thức (3.64) chính là biểu diễn số hạt của toán tử năng lượng.
3.2.3 Các vectơ riêng và trị riêng của toán tử Hamintonian
Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm các vectơ riêng và trị riêng của Hamintonian (3.64), trong đó các toán tử và thỏa mãn hệ thức giao hoán (3.63). Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới như sau:
= . (3.65) Và có các hệ thức giao hoán giữa toán tử này với các toán tử và :
, = − = −
= −( − ) = − , (3.66) hay: = − 1 . (3.67) Ta lại có:
, = − = −
= ( − ) = , (3.68)
hay: = + 1 . (3.69) Ký hiệu | 〉 là vectơ riêng chuẩn của toán tử ứng với trị riêng n
| 〉 = | 〉. (3.70) Từ phương trình (3.70) ta suy ra:
=〈 | | 〉
〈 | 〉 =⟨ | | ⟩
⟨ | ⟩ ≥ 0. (3.71) Vì: ⟨ | ⟩ = ∫| ( )| ≥ 0, (3.72) và: ⟨ | | ⟩ = ∫| ( )| ≥ 0. (3.73) Vậy : Các trị riêng của toán tử là các số không âm.
Bây giờ ta xét các vectơ trạng thái thu được bằng cách tác dụng toán tử lên | 〉.
Đó là vectơ trạng thái | 〉. Tác dụng lên vectơ trạng thái này toán tử và sử dụng công thức (3.67), ta có:
| 〉 = − 1 | 〉 = ( − 1)| 〉 = ( − 1) | 〉. (3.74) Hệ thức vừa thu được có nghĩa là | 〉 cũng là một vectơ riêng của toán tử nhưng ứng với trị riêng − 1. Tương tự như vậy, dễ dàng chứng minh được rằng | 〉, | 〉,…cũng là các véctơ riêng của ứng với các trị riêng
− 2, − 3,…
| 〉 = | 〉 = − | 〉
= | 〉 − | 〉
= − | 〉 − | 〉
= | 〉 − 2 | 〉
= − | 〉 − 2 | 〉
= | 〉 − 3 | 〉 ⋯ ⋯ ⋯ = | 〉 − | 〉 = | 〉 − | 〉 = ( − ) | 〉. ⇒ | 〉 là một vectơ riêng của ứng với trị riêng − . Tiếp theo ta xét vectơ trạng thái thu được bằng cách tác dụng toán tử lên | 〉. Đó là vectơ trạng thái | 〉. Tác dụng lên vectơ trạng thái này toán tử và sử dụng công thức (3.69), ta có: 〉 = + 1 | 〉 = ( + 1)| 〉 = ( + 1) | 〉 (3.75) = ( + 1)| 〉 = ( + 1) | 〉. (3.76) Hệ thức trên có nghĩa là | 〉 cũng là một vectơ riêng của nhưng ứng với trị riêng + 1. | 〉 = ( ) | 〉 = + | 〉 = ( ) | 〉 + ( ) | 〉 = + ( ) | 〉 + ( ) | 〉 = ( ) ( ) | 〉 + 2( ) | 〉
= ( ) + ( ) | 〉 + 2( ) | 〉
= ( ) ( ) | 〉 + 3( ) | 〉
⋯ ⋯ ⋯
= ( ) | 〉 + ( ) | 〉
= ( ) | 〉 + ( ) | 〉
= ( + )( ) | 〉.
⇒ ( ) | 〉 là một vectơ riêng của ứng với trị riêng + .
Tương tự như vậy, dễ dàng chứng minh được rằng | 〉, | 〉,…
cũng là các vectơ riêng của ứng với các trị riêng + 2, + 3,…
Nếu | 〉 là một vectơ riêng của toán tử ứng với trị riêng n thì với p = 1, 2, 3,…, | 〉 cũng là một vectơ riêng của toán tử ứng với trị riêng
− và | 〉 cũng là một vectơ riêng của toán tử ứng với trị riêng + nếu chúng khác không.
Kết hợp hai kết luận trên ta thấy rằng nếu là một trị riêng của thì chuỗi các số không âm − 1, − 2, − 3, … cũng là các trị riêng của . Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất . Xét véctơ trạng thái | 〉 ứng với trị riêng nhỏ nhất . Rõ ràng là:
| 〉 = 0 (3.77) Vì nếu:
| 〉 ≠ 0 thì đó là vectơ trạng thái ứng với trị riêng − 1 < , trái với giả thiết là trị riêng nhỏ nhất. Từ đẳng thức (3.77) ta suy ra:
〉 = | 〉 = 0. (3.78) Mặt khác theo định nghĩa của ,
| 〉 = | 〉. (3.79) So sánh hai phương trình trên ta đi đến kết luận sau: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử là = 0.
Vectơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của được ký hiệu là |0〉.
Vectơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện:
|0〉 = 0. (3.80) Khi đó |0〉 tỷ lệ với vectơ riêng |1〉 của ứng với trị riêng = 1, |0〉 tỷ lệ với vectơ riêng |2〉 của ứng với trị riêng = 2, … |0〉 tỷ lệ với vectơ riêng | 〉 của ứng với trị riêng = .
Vì : = + ℏ = + ℏ , (3.81) nên |0〉 là vectơ riêng của ứng với trị riêng: = ℏ ,
|1〉 là vectơ riêng của ứng với trị riêng: = 1 + ℏ ,…
| 〉 là vectơ riêng của ứng với trị riêng: = + ℏ .
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng ℏ . Trạng thái |0〉 có năng lượng thấp nhất là . Trạng thái tiếp theo |1〉 với năng lượng + ℏ có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng ℏ vào trạng thái |0〉. Trạng thái tiếp theo |2〉 với năng lượng :
+ ℏ = + 2ℏ ,
có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng ℏ vào trạng thái |1〉, cũng có nghĩa là thêm 2 lượng tử năng lượng ℏ vào trạng thái
|0〉,… Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là thì có thể coi |0〉 là trạng thái không chứa một lượng tử nào , |1〉 là trạng thái chứa 1 lượng tử, |2〉 là trạng thái chứa 2 lượng tử,…, | 〉 là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử có các trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng. Toán tử khi tác dụng lên | 〉 cho một trạng thái tỷ lệ với | − 1〉 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng.
Toán tử khi tác dụng lên | 〉 cho một trạng thái tỷ lệ với | + 1〉 và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tưởng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì sẽ là toán tử số hạt, sẽ là toán tử hủy hạt, sẽ là toán tử sinh hạt. Khi đó trạng thái | 〉 với năng lượng:
= ℏ ,
sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa.
Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể
coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng ℏ . Khái niệm “hạt”
đưa vào ở đây chỉ để cho tiện. Thực chất đó chỉ là các “giả hạt”, một khái niệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trong Vật lí các môi trường đông đặc. Cuối cùng ta hãy tính các hệ số tỷ lệ
, , trong các hệ thức:
| 〉 = | − 1〉, | 〉 = | + 1〉, | 〉 = ( ) |0〉 (3.82) Để sao cho các véc tơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa:
⟨ | ⟩ = . (3.83) Từ các biểu thức (3.71), (3.82) và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa (3.83) vừa viết ở trên ta có:
= ⟨ | | ⟩ = | | ⟨ − 1| − 1⟩ = | | , (3.84) và = ⟨ | | ⟩ = ⟨ | − 1| ⟩
= | | ⟨ + 1| + 1⟩ − ⟨ | ⟩ = | | − 1. (3.85) Coi , là các số thực ta rút ra:
= √ , = √ + 1. (3.86) Ta cũng có :
( ) |0〉 = ( ) |0〉 = ( ) |1〉
= ( ) |1〉 = ( ) |2〉
= ( ) |2〉 = ( ) |3〉
= ⋯
= ⋯ | 〉 = √ ! | 〉, và do đó:
1 = ⟨ | ⟩ = | | ⟨0| ( ) |0⟩ = | | !, (3.87) hay, coi là thực ta rút ra:
=
√ !. (3.88) Tóm lại ta đã thiết lập được các công thức quan trọng sau đây:
| 〉 = | 〉 (3.89)
|0〉 = 0 (3.90) | 〉 = √ | − 1〉 ( > 0) (3.91) | 〉 = √ + 1| + 1〉 ( ≥ 0) (3.92) | 〉 =
√ !( ) |0〉 (3.93) Bài tập vận dụng
Dùng hệ thức giao hoán của x và . Tìm giá trị riêng của toán tử Hamintonian của dao động tử điều hòa một chiều và xác định các phần tử ma trận của tọa độ và xung lượng ̂ trong biểu diễn năng lượng.
Lời giải
Toán tử Hamintonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng:
= + , ̂ = − ℏ . (3.94) Giá trị trung bình của năng lượng của dao động tử điều hòa trong trạng thái
( ) sẽ là:
= ∫ ∗( ) ( ) = ∫ ∗ ̂ + ∫ ∗ . (3.95)
Vì các toán tử ̂ và là Hecmite nên ta có:
∫ ∗( ) ̂ ( ) = ∫ ̂ ( ) ∗ ̂ ( ) = ∫| ̂ ( )| ≥ 0. (3.96) ∫ ∗( ) ( ) = ∫ ( ) ∗ ( )
= ∫| ( )|∗ ≥ 0. (3.97) Vậy ≥ 0. Nếu ( ) là hàm riêng của thì ta có:
= ∫ ∗ = ∫ ∗ = ≥ 0. (3.98) Ký hiệu = ∫ ∗( ) ( ) ≡ ⟨ | | ⟩. Khi = là toán tử đơn vị thì ⟨ | | ⟩ = ⟨ | ⟩ = , .
Đặt:
=
√ ℏ √ − √ , (3.99)
=
√ ℏ √ + √ , (3.100) Dễ dàng thấy rằng:
= ℏ ( − ), (3.101) ̂ = ℏ ( + ). (3.102)
Xác định phần tử ma trận của và ta xác định được phần tử của các ma trận và ̂. Từ hệ thức giao hoán ̂ − ̂ = ℏ ta suy ra:
− = 1. Toán tử được biểu diễn qua và như sau:
= + =ℏ ( + )
= ℏ + . (3.103) Năng lượng của dao động tử điều hòa sẽ là:
= =ℏ + ℏ ⟨ | | ⟩|⟨ | | ⟩| ≥ 0 (3.104) =ℏ
2 + ℏ ⟨ | | ⟩⟨ | | ⟩ |⟨ | | ⟩| ≥ 0. (3.105)
Đặt = ta được:
= ℏ + ℏ ≥ 0, (3.106) hay:
≥ 0. (3.107) Dùng hệ thức giao hoán: − = 1, (3.108) ta có:
− = − = (1 + ) − = . (3.109)
− = − = − (1 + ) = − . (3.110)
Toán tử và giao hoán với nhau nên có chung hàm riêng . Gọi là hàm riêng của tương ứng với trị riêng , ta có:
= hay = ≥ 0.
Dễ dàng thấy rằng:
− = (3.111)
− = − = , (3.112)
hay:
( ) = ( + 1)( ). (3.113) Tương tự:
− = − (3.115) − = − = , (3.116) hay
( ) = ( − 1)( ). (3.117) Vậy nếu là hàm riêng của ứng với trị riêng n thì ( ) và ( ) cũng là hàm riêng của tương ứng với trị riêng ( + 1) và ( − 1). Các trị riêng liên tiếp của n khác nhau một đơn vị.
Gọi là hàm riêng của tương ứng với trị riêng bé nhất . Ta có:
( ) = ( − 1)( ) (3.118) Vì là trị riêng bé nhất của thì − 1 không thể là trị riêng bé nhất của được. Đẳng thức (3.118) chỉ xảy ra khi = 0.
Vì = 0 nên:
( ) = = = 0. (3.119) Từ đây suy ra = 0. Các trị riêng của có thể có sẽ là: = 0, 1, 2, … Năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều bằng:
=ℏ + ℏ , = 0, 1, 2, … (3.120)
Hàm ( ) được xác định từ phương trình = 0.
Biết được ( ) ta xác định được = ( ) . Ta xác định phần tử ma trận của và .
Ta biết:
= = ⟨ | | ⟩ = ⟨ | | ⟩⟨ | | ⟩. (3.121)
Chú ý rằng và đều là hàm riêng của tương ứng với một trị riêng + 1 nên hai hàm riêng này chỉ khác nhau một thừa số nhân nào
đó: = .
Khi đó ta có: ⟨ | | ⟩ = ⟨ | | + 1⟩ = , . Phần tử ma trận này chỉ khác 0 khi = − 1.
Tương tự = , ⟨ | | ⟩ = , .
Vậy ta có:
= ⟨ | | − 1⟩⟨ − 1| | ⟩ = |⟨ | | − 1⟩| , (3.122) hay:
⟨ | | − 1⟩ = √ , ⟨ − 1| | ⟩ = √ . (3.123) Trong đó là số thực bất kỳ.
Chú ý ⟨ | | − 1⟩ = 0 ta tìm được:
⟨ | | − 1⟩ = ℏ {⟨ | | − 1⟩ − ⟨ | | − 1⟩}
= − ℏ (3.124) ⟨ | ̂| − 1⟩ = ℏ {⟨ | | − 1⟩ + ⟨ | | − 1⟩}
= ℏ . (3.125) Nếu chọn = 2 thì:
⟨ | | − 1⟩ = ℏ , (3.126) ⟨ | ̂| − 1⟩ = ℏ . (3.127)