1. Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị.
Bài toán: Cho đồ thị (C): = ( ) và điểm ( ; ) ∈ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( ; ).
Bài tập 1: Cho (C): = 2 − 3 + 9 − 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) khi biết:
a. Hoành độ tiếp điểm là: = −1.
b. Tung độ của tiếp điểm là = −4.
c. Tiếp điểm là điểm uốn.
Giải: Đặt = ( ) = 2 − 3 + 9 − 4.
Ta có = 6 − 6 + 9.
a. = −1 = −18, (−1) = 21.
Phương trình tiếp tuyến tại (−1; −18) là:
= (−1)( + 1) − 18 = 21( + 1) − 18 = 21 + 3.
. = −4 2 − 3 + 9 − 4 = −4
2 − 3 + 9 = 0
(2 − 3 + 9) = 0
= 0 (vì 2 − 3 + 9 > 0, ∀ )
(0) = 9.
Tiếp tuyến tại (0; −4) là: = (0)( − 0) − 4 = 9 − 4.
c. ( ) = 12 − 6
( ) = 0 12 − 6 = 0 =
12 = 0, 12 =152 ∙
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn 12; 0 là:
=152 −12 + 0 = 152 −154 .
Khai thác: Mục đích chính của bài toán trên là phải tìm được hoành độ tiếp điểm hay nói cách khác là giải phương trình tìm nghiệm để từ đó viết phương trinh tiếp tuyến tại hoành độ điểm đó bằng cách thay vào công thức của phương trình tiếp tuyến. Vì vậy ta có thể thêm vào bài toán trên những câu hỏi có yêu cầu tìm nghiệm với mức độ khó hơn như sau:
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau:
a. = 7 + 4 ( )
b. = − + 8 − 3 ( ) Giải:
a. Hoành độ giao điểm của (C) với ( ) là nghiệm của phương trình:
2 − 3 + 9 − 4 = 7 + 4
( − 2)(2 + + 4) = 0 = 2.
Tiếp tuyến tại điểm = 2 có phương trình: = (2)( − 2) + (2)
= 21( − 2) + 18 = 21 − 24.
b. Hoành độ giao điểm của (C) với ( ) là nghiệm của phương trình:
2 − 3 + 9 − 4 = − + 8 − 3
2 − 2 + −1 = 0
2 ( − 1) + − 1 = 0
( − 1) (2 + 1) = 0
= 1 (vì 2 + 1 ≠ 0, ∀ ).
Phương trình tiếp tuyến tại = 1 là:
= (1)( − 1) + (1) = 9( − 1) + 4 = 9 − 5.
Bài tập 2: Cho hàm số = có đồ thị (C). Tìm ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng ( ): = + 10.
Giải: Gọi ( ; ) ∈ (C), ≠ 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tiếp tuyến tại = có hệ số góc ( ) vuông góc với đường thẳng ( ): = + 10
( ). 1 = −1 1 −
( ) = −1
( − 1) =
= 1 + 1 2
= 1 − 1 2
(thỏa mãn ≠ 1)
Với = 1 + 1
2 = 3+ 2 2 ∙
Với = 1 − 1
2 = 2−3 2 ∙
1 + 1 2;
3+ 2
2 , 1 − 1 2;
2−3 2 .
Khai thác: Mục đích của bài toán trên là tìm hoành độ và tung độ của điểm cần tìm dựa vào giả thiết đã cho liên quan đến hệ số góc. Cụ thể trong bài toán trên là sử dụng điều kiện hai đường thẳng vuông góc(tích hai hệ số góc của chúng bằng −1). Ta có thể thêm vào bài toán trên một câu hỏi cũng có yêu cầu liên quan đến hệ số góc của hai đường thẳng song song như sau:
Tìm ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng ( ′): =3
4 + 1.
Giải: Gọi ( ; ) ∈ (C), ≠ 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tiếp tuyến tại = có hệ số góc ( ) song song với đường thẳng ( ′): =34 + 1 nên ta có: ( ) =
1 −
( ) =
( ) = ( − 1) = 4
= 3
= −1 (thỏa mãn ≠ 1) Với = 3 =
Phương trình tiếp tuyến tại điểm 3;72 là:
=3
4( − 3) +7
2 =3 4 +5
4 (≠ ).
Với = −1 = −
Phương trình tiếp tuyến tại điểm −1; −32 là:
=34( + 1) −32 =34 −34 (≠ ).
Vậy có hai điểm cần tìm là: 3;7
2 , −1; −3 2 .
Chú ý: Bài toán ban đầu sử dụng điều kiện hai đường thẳng vuông góc là điều kiện tương đương còn ở bài toán khai thác thì điều kiện hai đường thẳng song song không phải là điều tương đương nên khi tìm được ta phải kiểm tra xem tiếp tuyến tại điểm đó có trùng với đường thẳng ( ) không. Đây là sai lầm học sinh thường mắc phải (Mục 1.5.1.2, chương 1).
Ta cũng có thể thêm vào bài toán ban đầu câu hỏi sau với cách làm sử dụng điều kiện hai đường thẳng vuông góc nhưng thay đổi yêu cầu, mục đích giúp học sinh nhớ lâu, nắm chắc và vận dụng thành thạo điều kiện này vào những bài toán có yêu cầu khác nhau:
Biện luận theo ≠ 0 số tiếp tuyến của (C) mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng ∆: − + + 1 = 0.
Giải: Điều kiện ≠ 1
Ta có ∆ có hệ số góc = ∙
Số tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là số nghiệm của phương trình : . = −1
( )
( ) = −1 ( + 1) − 2( + 1) + 1 = 0, ≠ 1 (∗).
Nếu = −1 (∗) vô nghiệm Không có tiếp tuyến nào.
Nếu ≠ −1 (∗) có ∆ = ( + 1) và (∗) có nghiệm = 1
= 0 Khi > 0
< −1 (∗) có hai nghiệm phân biệt Có hai tiếp tuyến.
Khi −1 < ≤ 0 thì (∗) vô nghiệm Không có tiếp tuyến nào.
Bài tập 4: Cho hàm số = (C). CMR: mọi tiếp tuyến tại điểm cắt hai tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích không đổi.
Giải: Điều kiện ≠ −1 (∗).
Ta có tiệm cận đứng ∆ : + 1 = 0, tiệm cận ngang ∆ : − 1 = 0.
∆ ∩ ∆ = (−1; 1).
∈ (C) ; 0−1
0+1 , = −1.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm là:
= 2
( 0+1)2( − ) + 0−1
0+1 ( ).
∆ ∩ ( )
( ) (−1 − 0)+ = = .
∆ ∩ ( ) = −1; 0−3
0+1 ;
∆ ∩ ( ) = (2 + 1; 1).
= , = |2 + 2|.
∆ = 12. . = 12. −4
0+1 .|2 + 2| = 4 = (đpcm).
Khai thác: Ta thấy ∆ đã biết tọa độ ba đỉnh nên ta tính ngay được độ dài các cạnh của tam giác do đó ta có thể thêm vào bài toán trên câu hỏi liên quan đến chu vi của tam giác.
Ta tính độ dài cạnh = (2 + 2) + −4
0+1 2
.
Tính chu vi ∆ : + + =
+ 2| 0 + 1|+ 2 (2 0 + 2)2 + . Ta thấy có thể sử dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số và
2| + 1| vào biểu thức trên vì hai số này có đặc điểm là tích của chúng là một hằng số. Từ đây ta khai thác bài toán trên bằng cách thêm vào câu hỏi sau:
Tìm tất cả các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Giải: Ta có: = (2 + 2) + −4
0+1 2
.
Chu vi ( ) tam giác là: = + + = −4
0+1 + 2| + 1| + 2 (2 + 2) + −4
0+1 2
.
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có: ≥ 2√8 + 2 2√64 = 4√2 + 8.
Dấu ′′ = xảy ra = 2| 0 + 1| ( + 1) = 2 = √2 − 1
= −√2 − 1 (thỏa mãn (∗)).
Vậy có hai điểm cần tìm là: √2 − 1; 1 − √2 , −√2 − 1; 1 + √2 . Bài tập 5: Cho đồ thị (C): = và điểm bất kì thuộc (C).
Gọi là giao của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại cắt hai tiệm cận tại và . CMR: Diện tích ∆ không đổi với mọi thuộc (C).
Giải: TXĐ: = \{1 }.
Ta có: =12 − 1 + −11 ∙
Đổi hệ trục tọa độ: = − 1
= +12 Ta có hàm số: =12 +1∙
Tiệm cận đứng ∆ : = 0, Tiệm cận xiên ∆ : =12 .
=12− 12∙
Giả sử ;12 + 1
0 ∈ (C).
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại là:
∆: = 12− 1
02 ( − ) +12 + 1
0 = 12− 1
02 + 2
0∙
∆ ∩ ∆ = (0; 0);
∆ ∩ ∆= 0; 2
0 ;
∆ ∩ ∆= (2 ; ).
Ta chứng minh ∆ có diện tích không đổi.
Ta có: ⃗ 0; 2
0 , ⃗(2 ; ).
= 2
0 , = √5| |.
cos( ⃗, ⃗) = ⃗. ⃗ . =
2 0 . 0
2
| 0| . √5| 0| = 1
5
sin( ⃗, ⃗)= 1 − 1
5 = 2 5
∆ =12 . . . sin =12∙ 2
0 ∙2| 0| ∙√
∙ √ = 2.
Khai thác: Ta có bài toán tổng quát của bài toán trên như sau:
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị (C): = + + ( , ≠ 0).
CMR mọi tiếp tuyến tại cắt hai tiệm cận tại tạo thành tam giác có diện tích không đổi.
Giải: TXĐ = \− . Ta có: = + + 1+ ∙
Đổi hệ trục tọa độ:
= +
= − +
Ta có hàm số: = + 1 (C).
Tiệm cận đứng ∆ : = 0, Tiệm cận xiên ∆ : = .
= − 12∙
Giả sử ; + 1
0 ∈ (C).
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại là:
∆: = − 21
0
( − ) + + 1
0 = − 1
02 + 2
0∙
∆ ∩ ∆ = (0; 0);
∆ ∩ ∆= 0; 2
0 ;
∆ ∩ ∆= (2 ; 2 ).
Ta chứng minh ∆ có diện tích không đổi.
Thật vậy: ⃗ 0; 2
0 , ⃗(2 ; 2 )
= 2
0 , = 2| |. √ + 1.
cos( ⃗, ⃗) = ⃗. ⃗ . =
.
| | . | |.√ = | |
√
sin( ⃗, ⃗)= 1 − | |
2+1
=√
∆ =12 . . sin =12 ∙ 2
0 ∙2| 0| ∙ √ + 1∙ 1
2+1
= | |
= Đpcm.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho hàm số: = (2 − ) , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với parabol = .
Đáp số: = 0, = 1, = 24 − 63.
Bài 2: (ĐH Tài chính 2000). Tìm trên đồ thị (C): = các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).
Đáp số: −1 − 2
2 ;−3 2
2 , −1 + 2 2 ;3 2
2 . Bài 3: Cho hàm số = (C)
a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
: = −4 + 1 . (Đáp số: = −4 + 2, = −4 + 14).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Đáp số: ∆ : = − − 1, ∆ : = − + 7.
Bài 4: (CĐ Sư phạm Hà Nội 2000). Cho (C): = .
CMR: Tiếp tuyến tại điểm tùy ý thuộc (C) luôn tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
Bài 5: (ĐH Ngoại thương Tp.HCM 1998).
Cho đồ thị (C): = + 3 − 9 + 5. Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số nhỏ nhất.
Hướng dẫn: = 3 + 6 − 9, = 6 + 6, = 0
= −1 (−1) = 16.
Sau đó lập Bảng biến thiên và kết luận tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất tại điểm uốn (−1; 16). Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn là: = −12 + 4.
2. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Bài toán: Cho đồ thị (C): = ( ) và một số ∈ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc .
Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): = ∙
a. Biết tiếp tuyến có hệ số góc = −14∙
b. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng = 2 − 3.
c. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng = − + 1.
Giải: Điều kiện ≠ 1 (∗).
Ta có: = − 1 ( −1)2∙
a. Vì tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc = −14 nên ta có:
− 1
( −1)2 = −14
( − 1) = 4 = 3
= −1 (thỏa mãn (∗)) =7 2 = −52 Phương trình tiếp tuyến tại = 3 là:
= −1
4( − 3) +7
2 = −1
4 +17 4 ∙ Phương trình tiếp tuyến tại = −1 là:
= −1
4( + 1) −5
2 = −1
4 −11 4 ∙
b. Tiếp tuyến với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng = 2 − 3 nên tiếp tuyến có hệ số góc là −12 ta có: − 1
( −1)2 = −12 ( − 1) = 2
= √2 + 1
= −√2 + 1 (thỏa mãn (∗))
= 3 2+1 2 =−3 2+1
2
Phương trình tiếp tuyến tại = √2 + 1 là:
= −12 − √2 − 1 + √
√
= −12 +7+2 22 ∙
Phương trình tiếp tuyến tại = −√2 + 1 là:
= −12 + √2 − 1 + √
√ = −12 −52∙
c. Hệ số góc của tiếp tuyến song song với đường thẳng = − + 1 là −1 nên ta có:
− 1
( −1)2 = −1 ( − 1) = 1 = 0
= 2 (thỏa mãn (∗)) = 2 = 4 Phương trình tiếp tuyến tại = 0 là: = −1( − 0) + 2 = − + 2.
Phương trình tiếp tuyến tại = 2 là: = −1( − 2) + 4 = − + 6.
Khai thác: Yêu cầu của bài toán trên là viết phương trình tiếp tuyến thông qua hệ số góc với các điều kiện của hệ số góc khác nhau: Cho hệ số góc trực tiếp, cho hệ số góc thông qua điều kiện vuông góc, song song giữa hai đường thẳng. Tương tự yêu cầu như thế ta có thể cho thêm vào bài toán trên các câu hỏi với mức độ tư duy cao hơn như sau:
d. Biết tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại điểm 4;103 . e. Biết tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng = −2 một góc 45 . Giải:
d. Ta có (4) = −1 9 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (0; 2) là:
= −19( − 4) +10
3 = −19 +349 .
Hệ số góc của tiếp tuyến song song với đường thẳng = −1
9 +34 9 là
−19 nên ta có:
− 1
( −1)2 = −19 ( − 1) = 9 = 4
= −2 thỏa mãn (∗).
Với = 4 trùng hoành độ điểm nên loại.
Với = −2 (thỏa mãn).
Phương trình tiếp tuyến tại = −2 là: = −19( + 2) +8 3
= −1
9 +22 9 .
e. Do tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng = −2 góc 45 nên hệ số góc của tiếp tuyến thỏa mãn: 1− .2+2 = tan 45° = 1
= −13 , = 3.
Vì ( ) = − 1
( −1)2 < 0 ∀ ≠ 1 nên = −13 .
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: − 1
( −1)2 = −13
( − 1) = 3
= √3 + 1
= −√3 + 1 (thỏa mãn (∗))
=3 3+1 3 =−3 3+1
3 Phương trình tiếp tuyến tại = √3 + 1 là:
= −13 − √3 − 1 + √
√ = −13 −10+3 33 .
Phương trình tiếp tuyến tại = −√3 + 1 là:
= −1
3 + √3 − 1 +−3 3+1
3 = −1 3 −8
3∙
Bài tập 2: Cho (C): = ( ) .
CMR: tiếp tuyến với (C) tại = 0 luôn song song với đường thẳng
∆: = −2 − 1 ∀ ≠ 0.
Giải: Ta có: =
( )
(0) = −2, ∀ ≠ 0
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại = 0 là:
= (0)( − 0) + (0)
= −2 − − 1
Vì: − − 1 ≠ −1, ∀ ≠ 0 tiếp tuyến với (C) tại = 0 luôn song song với đường thẳng ∆: = −2 − 1, ∀ ≠ 0.
Khai thác: Để có thể lập một bài toán chứng minh thì ta phải có một quá trình tìm tòi kết quả. Vậy đối với một bài toán ta có thể ra theo hai chiều: Một là chứng minh, hai là tìm kiếm đối với bài toán đơn giản .Ta thấy cách chứng minh bài toán trên khá đơn giản nên ta có thể lập một bài toán tìm kiếm của bài toán trên bằng cách thay đổi yêu cầu như sau:
Tìm để ∀ ≠ 0 tiếp tuyến tại điểm có hoành độ song song với một đường thẳng cố định. Tìm hệ số góc của đường thẳng cố định ấy.
Giải: Với số cho trước, xét phương trình: ( ) = , ∀ ≠ 0
( ) = , ∀ ≠ 0
− 2 − 2 = − 2 + , ∀ ≠ 0
(2 + 2 + ) − (2 + ) + = 0, ∀ ≠ 0
2 + 2 + = 0
2 + = 0
= 0
= 0
= −2 Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho (C): = 2+3 +3+2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng ∆: 3 − + 6 = 0
Đáp số: = −3 − 11, = −3 − 3.
Bài 2: (ĐH Dân lập Đông Đô 2001)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): = − 3 + 1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆: = 9 + 2001
Đáp số: = 9 − 6, = 9 − 26.
Bài 3: Cho (C): =4 −3−1 . Viết phương trình tiếp tuyến tạo với ∆: = 3 góc 45°.
Đáp số: = −2 + 6 ± 2√2.
3. Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán: Cho đồ thị (C): = ( ) và điểm ( ; ) cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua ( ; ) đến đồ thị (C): = ( ).
Bài tập 1: Cho hàm số (C): = − 3 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm 239 ; −2 .
Giải: Đường thẳng đi qua 23
9 ; −2 với hệ số góc có phương trình:
= −239 − 2 tiếp xúc (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:
− 3 + 1 = −239 − 2 3 − 6 =
− 3 + 1 = (3 − 6 ) −239 − 2
3 − 16 + 23 − 6 = 0
= 2, = 3, =13 .
Tại = 2 ta có phương trình tiếp tuyến là:
= (2) −239 − 2 = −2.
Tại = 3 ta có phương trình tiếp tuyến là:
= (3) −239 − 2 = 9 − 25.
Tại = ta có phương trình tiếp tuyến là:
= 13 −239 − 2 = −53 +6127 .
Khai thác: Lập bài toán tương tự bài toán trên với hàm số bậc bốn
Cho đồ thị (C): = (2 − ) . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua (0; 4) đến đồ thị (C).
Giải:
Chú ý: Nhiều học sinh kiểm tra thấy rằng điểm (0; 4) thuộc (C) nên vội vàng kết luận bài toán trên thuộc bài toán dạng 1 dẫn đến bài toán thiếu trường hợp. Vì vậy ta phải giải bài toán theo phương pháp của bài toán 3.
Đường thẳng qua (0; 4) với hệ số góc có phương trình = + 4 tiếp xúc với đồ thị (C) Hệ (2 − ) = + 4
4 − 8 = có nghiệm
(2 − ) = (4 − 8 ) + 4 (3 − 4) = 0
= 0, =2 33 , = −2 33 ∙
Tại = 0 ta có phương trình tiếp tuyến là:
= (0)( − 0) + 4 = 4.
Tại =2 33 ta có phương trình tiếp tuyến là:
= 2 33 −2 33 +49 = −16 39 +−16 3+49 ∙
Tại = −2 33 ta có phương trình tiếp tuyến là:
= −2 33 +2 33 +49 =16 39 +16 3+49 ∙
Bài tập 2: Tìm các điểm thuộc (C) của = − + 3 − 2 sao cho từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C).
Giải: Gọi ( ; − + 3 − 2) ∈ (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: = −3 + 6 .
Gọi ∆ là đường thẳng qua có hệ số góc là :
∆: = ( − )− + 3 − 2.
∆ tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm:
− + 3 − 2 = ( − )− + 3 − 2
−3 + 6 =
− + 3 − 2 = (−3 + 6 )( − )− + 3 − 2
2 − (3 + 3) + 6 + + 3 = 0 (∗)
( − ) (2 + − 3) = 0 =
=3−2 .
Từ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới (C) =3−2
= 1 (1; 0).
Nhận xét: Như vậy có duy nhất một điểm thuộc (C) để từ điểm đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C). Xét xem điểm này có gì đặc biệt: Ta thấy điểm (1; 0) vừa tìm được là điểm uốn của (C) là một điểm đặc
biệt của hàm số bậc ba nên ta dự đoán đây là một kết quả chung cho bài toán đối với hàm bậc ba. Từ đây ta khái quát hóa bài toán trên:
Bài toán tổng quát:
Tìm trên đồ thị (C): ( ) = + + + ( ≠ 0) sao cho từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C).
Giải: Lấy bất kì điểm ( , ( )) ∈ (C): = ( ).
Đường thẳng ∆ đi qua ( , ( )) có hệ số góc có phương trình:
= ( − ) + ( ).
∆ tiếp xúc (C) Hệ sau có nghiệm: ( ) = ( − ) + ( ) ( ) =
( ) = ( )( − ) + ( )
( )( − ) − [ ( ) − ( )] = 0
(3 + 2 + )( − ) − ( − ) − ( − ) + ( − ) = 0
( − ) [2 + ( + )] = 0
=
= − 2+ ∙
Từ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới (C) = = − 2+
= − 3 ∙
Vậy −3 ; −3 ∈ (C) là điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C).
Nhận xét: ( ) = 6 + 2 ( ) = 0 = −3
Điểm uốn −3 ; −3 .
Vậy trên đồ thị hàm số bậc ba điểm uốn là điểm duy nhất kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị.
Bài tập 3: Cho hàm số (C): = +2−1 . Tìm (0; ) để từ kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
Giải: Đường thẳng (d) qua (0; ) với hệ số góc có phương trình:
= +
(d) tiếp xúc (C) + = +2−1
hay ( + )( − 1) = + 2 có nghiệm kép ≠ 1
( ) = − [ − ( − 1)] − ( + 2) = 0 có nghiệm kép ≠ 1
≠ 0
∆= 0 (1) ≠ 0
≠ 0
∆= ℎ( ) = + 2( + 5) + ( − 1) = 0
−3 ≠ 0 .
Từ (0; ) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) ℎ( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt , và khác 0 ∆ > 0
ℎ(0) ≠ 0 12( + 2) > 0 ( − 1) ≠ 0
−2 < ≠ 1 (∗).
Khai thác: Sau khi tìm được điều kiện từ (0; ) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) ta có thể bổ sung tiếp thêm vào câu hỏi: Hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó nằm về hai phía trục Ox ta sẽ được một bài toán mới có yêu cầu chặt hơn và làm cho nghiệm bị thu hẹp hơn bài toán đầu.
Tìm (0; ) từ kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía trục Ox.
Bây giờ bài toán ban đầu trở thành bài toán con của bài toán mới. Ta sử dụng kết quả của bài toán ban đầu vừa tìm được vào giải tiếp bài toán này như sau:
Với điều kiện (∗) thì tọa độ các tiếp điểm là:
= 1−( −1)2
1 = + = 1+( +1)2 ∙
= 2−( −1)2
2 = + = 2+( +1)2 ∙
Các tiếp điểm này nằm về hai phía của Ox < 0
[ + ( + 1) ][ + ( + 1)] < 0
+ ( + 1)( + ) + ( + 1) = −4(3 + 2) < 0
> −23 (∗∗).
Từ (∗) và (∗∗) −2
3 < ≠ 1.
Bài tập 4: Cho hàm số (C): = . Tìm trên đường thẳng = − 2 các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến (C).
Giải: Gọi ( ; − 2) thuộc đường thẳng = − 1.
Đường thẳng (d) qua có hệ số góc có phương trình:
= ( − ) + − 2 (d)
tiếp xúc với (C) Phương trình = ( − 0) + 0 − 2 có nghiệm kép ≠ −1
( ) = ( − 1) + [ (1 − ) + − 3] − + − 3 = 0 có nghiệm kép ≠ −1
≠ 1 [ (1 − ) + − 3] − 4( − 1)(− + − 3 = 0
(−1) ≠ 0
≠ 1 ( ) = (1 + ) + (−2 + 6) + − 2 − 3 = 0
−1 ≠ 0
(1) = 4 ≠ 0 ( ) = (1 + ) + (−2 + 6) + − 2 − 3 = 0
−1 ≠ 0
= −1
02−2 0−3
1+ 0 2 = −1 1 + ≠ 0
− 2 − 3 = −(1 + )
≠ −1
= 1
≠ −1 = ±1
≠ −1 = 1.
Vậy tìm được một điểm thỏa mãn bài toán (1; −1).
Khai thác: Với kết quả vừa tìm được ta có thể thay đổi hình thức của bài toán trên từ bài toán tìm tòi sang bài toán chứng minh như sau:
CMR: Từ điểm (1; −1) luôn kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C): = ∙
Giải: Đường thẳng (d) qua (1; −1) với hệ số góc có phương trình:
= ( − 1) − 1
(d) tiếp xúc với (C) Phương trình = ( − 1) − 1 có nghiệm kép ≠ −1
[ − ( + 1)]( + 1) = + + 1 có nghiệm kép ≠ −1
( ) = ( − 1) − 2 − ( + 2) = 0 có nghiệm kép ≠ −1
− 1 ≠ 0
∆= + − 1 = 0 (−1) = −1 ≠ 0
⎩⎪
⎨
⎪⎧ ≠ 1
=−1− 52
=−1+ 5 2
=−1− 52
= −1+ 52
=−1− 5 2 ∙
−1+ 5
2 = −1 nên từ (1; −1) luôn kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C).
Bài tập luyện tập:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): = biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (0; 1).
Đáp số: = −2 + 1, = −18 + 1.
Bài 2: (Học Viện BCVT TP.Hồ Chí Minh 1999).
Cho đồ thị hàm số (C): = − 3 + 2. Tìm các điểm thuộc (C) để từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C).
Đáp số: (1; 0).
Bài 3: (ĐH Sư phạm II Hà Nội khối B 1999).
Cho (C): = − + 3 + 2 . Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Hướng dẫn: Lấy ( ; 0) ∈ Ox.
Đường thẳng qua có hệ số góc : = ( − ) tiếp xúc C
− + 3 + 2 = ( − )
−3 + 6 = có nghiệm
Biến đổi hệ phương trình trên ta được phương trình: ( + 1) ( ) = 0.
Yêu cầu bài toán ( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt và khác −1.
Từ điều kiện này ta tìm được > 2 Ú − 1 ≠ < − ∙
Bài 4: (Đại Học Kiến Trúc 1998). Cho đồ thị (C): =2
2+ +1
+1 . Tìm trên trục Oy các điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Đáp số: 0; −3 − √15 , 0; −3 + √15 . 4. Bài toán 4: Các bài toán tiếp tuyến khác
Bài tập 1: CMR: Hai đường cong = +54 − 2 và = + − 2 tiếp xúc nhau tại điểm nào đó. Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đã cho tại điểm đó.
Giải: Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:
+54 − 2 = + − 2 ( +54 − 2)′ = ( + − 2)′
− +4 = 0
3 +54 = 2 + 1 =1 2∙
Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm 1
2; −54 .
Hệ số góc của tiếp tuyến chung tại điểm của hai đường cong đã cho là: 1
2 = 2. Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm là: = 2 −12 −54 hay = 2 −94 .
Khai thác: Lập bài toán tương tự bài toán trên.
CMR: Đường cong = − tiếp xúc với parabol = − 1 tại một điểm nào đó. Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó.
Giải: Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:
− = − 1
( − )′ = ( − 1 )′ − − + 1 = 0
3 − 2 − 1 = 0 = 1.
Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm (1; 0).
Hệ số góc của tiếp tuyến chung tại điểm của hai đường cong đã cho là: (1) = 2. Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm là: = 2( − 1) − 2 hay = 2 − 4.
Bài 2: Cho hàm số = 2+ ++ , là tham số. CMR: Tiệm cận xiên của hàm số trên luôn tiếp xúc với parabol (P): = 14 + 1.
Giải: Điều kiện ≠ − .
Ta có: = 2++ + = + 1 − + +3
Tiệm cận xiên của hàm số trên là: = + 1 − ( ≠ 0).
Gọi parabol mà tiệm cận xiên trên luôn tiếp xúc là:
= + + ( ≠ 0).
Yêu cầu bài toán Phương trình: + 1 − = + + có nghiệm kép ≠ − , ∀ ≠ 0
( ) = + ( − ) + + − 1 = 0 có nghiệm kép
≠ − , ∀ ≠ 0
≠ 0 (− ) ≠ 0
∆= 0
∀ ≠ 0
≠ 0 ( − 1) + + − 1 ≠ 0 ( − ) − 4 ( + − 1) = 0
∀ ≠ 0
≠ 0 ( − 1) + + − 1 ≠ 0 (1 − 4 ) − 2 + − 4 + 4 = 0
∀ ≠ 0
⎩⎪
⎨
⎪⎧ ≠ 0 ( − 1) + + − 1 ≠ 0 1 − 4 = 0
−2 = 0
− 4 + 4 = 0
⎩⎪
⎨
⎪⎧ =14
= 0
= 1
−34 ≠ 0 ( ≠ 0).
Vậy parabol cố định là: =14 + 1.
Khai thác: Thực chất bài toán trên yêu cầu ta đi tìm parabol cố định còn điều kiện tiếp xúc là giả thiết của bài toán. Nếu bây giờ từ kết quả trên ta yêu cầu học sinh kiểm tra lại kết quả của bài toán thì ta được một bài toán mới, với bài toán mới này thì kết quả trên là giả thiết còn yêu cầu phải làm là kiểm tra điều kiện tiếp xúc. Cụ thể nội dung bài toán như sau:
Cho hàm số = 2+ ++ , là tham số. CMR: tiệm cận xiên của hàm số trên luôn tiếp xúc với parabol (P): =14 + 1.
Giải: Xét phương trình: + 1 − = 14 + 1 ( ≠ − , ≠ 0)
( ) =1
4 − + = 0 ( ≠ − , ≠ 0)
(− ) =94 ≠ 0, ∀ ≠ 0
∆= − 4.1
4. = 0, ∀ ≠ 0
( ) = 0 có nghiệm kép ≠ , ∀ ≠ 0
Tiệm cận xiên của hàm số trên luôn tiếp xúc với parabol (p):
=14 + 1 (đpcm).
Bài 3: CMR: Đồ thị của hàm số = + 4 + + 22 luôn tiếp xúc với một đường cong cố định.
Giải: Xét hệ: = + 4 + + 22 + = 0
= +7
= − 2
Ta sẽ chứng minh đồ thị hàm số trên luôn tiếp xúc với đường cong:
= +72 ∀ .
Thật vậy, xét hệ: + 4 + + 22 = +72 3 + 8 + = 3 + 7
+ 2 + = 0 + = 0
( + ) = 0
+ = 0 hệ luôn có nghiệm ∀ .
Khai thác: Lập bài toán tương tự để học sinh hiểu rõ hơn về dạng toán này.
CMR: Đồ thị của hàm số = + 2 − 33 ( ≠ 0) luôn tiếp xúc với một đường cong cố định.