2.6. Đại số Lie và đại số bao phổ dụng
2.6.3. Đại số bao phổ dụng
Từ một đại số A ta có thể xây dựng đại số Lie AL. Và nếu : A B là một đồng cấu đại số thì : AL BL là một đồng cấu đại số Lie.
Ta nói A AL là một hàm tử từ phạm trù các đại số sang phạm trù các đại số Lie. Bài toán phổ dụng với các hàm tử này là xây dựng từ mỗi đại số Lie g một đại số (g) cùng với một ánh xạ tuyến tính i : g (g) thỏa mãn các điều kiện sau đây:
i) ánh xạ g (g)L là một đồng cấu đại số Lie
ii) Đồng cấu I thỏa mãn bài toán phổ dụng: với mỗi đại số A và mỗi đồng cấu đại số Lie : g AL duy nhất, tồn tại đồng cấu đại số : U(g) A sao cho sơ đồ sau là giao hoán:
i (g)L
AL g
Đại số (g) nếu tồn tại được gọi là đại số bao phổ dụng của đại số Lie g. Từ tính phổ dụng ta thấy được rằng, với mỗi đồng cấu đại số Lie f :ghsẽ tồn tại duy nhất đồng cấu đại số (g) sao cho sơ đồ sau giao hoán:
Mệnh đề 2.6.2. Với mọi đại số Lie g, đại số bao phổ dụng (g) tồn tại duy nhất, sai khác một đẳng cấu duy nhất.
CHứNG MINH
Đại số (g) được xây dựng như là một đại số thương của đại số Ten xơ T(g) theo ideal sinh bởi các phần tử:
a b - b a - [a, b] (2.6.3) và ánh xạ i được cảm sinh từ ánh xạ g . Ta có g (g)L là một đồng cấu đại số Lie. Coi như một ánh xạ tuyến tính, thì ánh xạ này cảm sinh một đồng cấu đại số : T(g)A. Ta có:
(a1 ...a )p (a )... (a )1 n
Vì là đồng cấu đại số Lie nên:
([a, b]) = (a)(b) - (b)(a) nghĩa là:
a b, (a b b a)
T(g)
(g)
(h)
() g
h
Vậy là ánh xạ ideal sinh bởi các phần tử (2.6.3) vào 0. Từ đó, ta có
đồng cấu cảm sinh : (g) A. Từ cách xây dựng ta thấy các phần tử của g sinh ra (g) do đó là duy nhất.
Định lí 2.6.3. Với mọi đại số Lie g, ánh xạ g (g) là đơn ánh.
Giả thiết (ei) là cơ sở sắp thứ tự nào đó của g. Khi đó, tập các phần tử
1 2...
i i ip
e e e , i1 … ip lập thành một cơ sở cho không gian véc tơ (g).
Từ tính phổ dụng của (g) ta có thể xây dựng một cấu trúc đại số Hopf trên nó như sau:
Xét ánh xạ tuyến tính:
1 : g (g) (g) a a 1 + 1 a Ta cã:
([a, b]) = [a, b] 1 + 1 [a, b
= [a 1 + 1 a, b 1 + 1 b]
Vậy 1 là đồng cấu Lie từ g đến ((g) (g))L. Do đó, nó cảm sinh đồng cấu đại số
(g) (g) (g)
Tính đối kết hợp của được kiểm tra qua tính phổ dụng. Bên cạnh
đó, ánh xạ đối đơn vị được định nghĩa bằng cách xét ánh xạ không: g 0 với nhận xét rằng đại số bao phổ dụng của đại số Lie tầm thường chính là đại số k. Cụ thể, ánh xạ đối đơn vị được xác định bởi điều kiện:
(a) = 0, a g
Vậy (g) là một đối đại số hơn nữa nó là một đối giao hoán.
Cuối cùng ánh xạ đối thế được cảm sinh từ ánh xạ:
: g g a - a
Đây là một phản đồng cấu đại số Lie:
[(a), (b)] = [a, b] = [a, b]
Do đó, cảm sinh phản đồng cấu đại số
S: (g) (g), S(a) = - a, a g.
Cho V là một g - mô đun, từ đồng cấu Lie g E(V)L ta thu được
đồng cấu đại số (g) E(V), do đó V là (g) - mô đun. Điều ngược lại cũng đúng. Từ đó, ta có tương ứng 1 - 1 giữa các g - mô đun và các (g) - mô
đun bảo toàn các đồng cấu. Tương ứng này bảo toàn tích ten xơ và đối ngẫu và theo định nghĩa ở (2.2.1) thì tác động của (g) lên tích ten xơ của hai mô đun V và W được cho bởi a(v w) = av w + v aw và tương tự
đối với V, theo (2.4.2) a()(v) = (-av).
KÕt luËn
Đại số là một vấn đề khó, có lịch sử từ lâu đời, nhiều kiến thức, phạm vi nghiên cứu rộng vì vậy sẽ rất khó khăn trong việc nghiên cứu về lĩnh vực này.
Trong khóa luận của mình, em đã trình bày những gì cơ bản nhất của Đại số Hopf. Tuy nhiên do phạm vi này rất rộng, liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nên em chưa thể nêu hết tính chất cũng như ứng dụng của
đại số Hopf.
Trong thời gian học tập tại khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô em đã tiếp thu
được nhiều tri thức khoa học, bước đầu đã làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên khóa luận của em cũng đã
hoàn thành. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian làm khóa luận. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng
đã giúp em hoàn thành khóa luận này.
Tài liệu tham khảo
1. Đại số đa tuyến tính, Phùng Hồ Hải, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ, 2010.
2. Đại số tuyến tính, Nguyễn Hữu Việt Hưng, NXB đại học quốc gia Hà Nội, 2000.
3. Hopf algebras, M.Sweedler, New York, 1965.
MỤC LỤC
lời mở đầu... 1 chương 1. Các kiến thức mở đầu………. 2 1.1. Không gian véc tơ………..………2
1.1.1. Trường………. 2
1.1.2. Không gian véc tơ………3
1.1.3. Không gian véc tơ thương……… 6
1.1.4. Bài toán phổ dụng……… 7
1.2. Tích ten xơ………10
1.2.1. ánh xạ đa tuyến tính………..10
1.2.2. Tích ten xơ……….……… 10
1.2.3. Liên hệ giữa các không gian đồng cấu…….……… ….13
chương 2. đại số hopf…………..………15
2.1. Đối đại số……….15
2.1.1. Định nghĩa……….15
2.1.2. Đối ideal và đối đại số con………16
2.1.3. Đối mô đun trên một đối đại số………19
2.1.4. Mô đun hữu tỷ………...20
2.2. Song đại số………... 23
2.2.1. Tích ten xơ của hai đối đại số……… 23
2.2.2. Mô đun và đối mô đun……… 25
2.3. Đại số Hopf………..25
2.3.1. Phép đối thế.………..………..25
2.4. Mô đun và đối mô đun………..29
2.5. TÝch ph©n………31
2.5.1. Phần tử tích phân……….31
2.5.2. TÝch ph©n………32
2.6. Đại số Lie và đại số bao phổ dụng………33
2.6.1. Đại số Lie………33
2.6.2. Mô đun trên đại số Lie………34
2.6.3. Đại số bao phổ dụng………35