3.2.1 Bổ đề. Giả sử A là nửa vành với một hàm N-định giá v : A → N, và giả sử F(T) là A-nửa môđun tự do trên tập T. Thế thì l : F(T) → N,
P
t∈T
λtt 7→v(P
t∈T
λt) thoả mãn các điều kiện sau:
(i) l(a+ b) > l(b), ∀a ∈ F(T)\{0}, ∀b ∈ F(T);
(ii) l(λb) > l(b), ∀λ ∈ A\(U(A)∪ {0}), ∀b ∈ F(T)\{0};
(iii) l(λb) = l(b), ∀λ ∈ U(A), ∀b ∈ F(T).
(Xem phép chứng minh Mệnh đề 3.1.11). Như vậy,l là một hàm định giá của A-nửa môđun F(T).
Như một Hệ quả trực tiếp của (i), (ii), (iii), có:
(iv) Nếu a = λ1a1 + ...+λmam; λ1, ..., λm ∈ A; a1, ..., am ∈ F(T), m > 1 và λ1a1 6= 0, ..., λmam 6= 0, thế thì l(a) > l(aj), j = 1,2, ..., m.
Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh kết quả chính của chương này và phát biểu một số hệ quả của nó.
3.2.2 Định lý. Nếu A là nửa vành N-định giá được thì mọi A-nửa môđun xạ ảnh là A-nửa môđun tự do.
Chứng minh. Giả sử P là A-nửa môđun xạ ảnh không tầm thường. Vì A-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý là cái co rút của một A-nửa môđun tự do nên ta có một biểu đồ
F(T) −→π P −→j F(T)
trong đó F(T) là một A-nửa môđun tự do trên một tập hợp T, π và j là các A-đồng cấu thoả mãn π◦j = 1p (1p là tự đẳng cấu đồng nhất của P). Ngoài ra ta có thể giả thiết rằng j là phép bao hàm và π(t) 6= 0, ∀t∈ T. Chúng ta chứng tỏ rằng tập hợp
S = {s∈ T | ∃t ∈ T, λ ∈ U(A) : s= λπ(t)}
là một A-cơ sở của P. Rõ ràng, vì S ⊂ T và π(t) là một tập hợp các A-phần tử sinh của A-nửa môđun P, nên chỉ cần chứng minh rằng đối với t∈ T tuỳ ý, π(t) = P
s∈S
λtss với λts ∈ A.
Vì A là nửa vành N-định giá được, nên theo chú ý trên ta có một hàm l :F(T) →N thoả mãn điều kiện (i)-(iv) của Bổ đề 3.2.1. Hàm l và tập hợp π(T) xác định duy nhất dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) tăng ngặt
n1 < n2 < ... < nk < nk+1 < ...
các số nguyên như sau. Số nguyên dương n là một thành phần của dãy này nếu và chỉ nếu tồn tại t ∈ T sao cho l(π(t)) = n (Theo Bổ đề 3.2.1(i), có l(a) > 0 nếu a 6= 0). Tiếp theo, đối với t ∈ T tuỳ ý, ta có thể biểu diễn π(t) theo A-cơ sở T:
π(t) = λt1t1 +...+λtmtm;λt1, ..., λtm ∈ A∗;t1, ..., tm ∈ T. (1) Áp dụng π cho kết quả trên và bằng cách sử dụng Mệnh đề 3.1.3(ii) và Kết quả 1 (mục 3.1), nhận được
π(t) =λt1π(t1) + ...+λtmπ(tm);λt1π(t1), ..., λtmπ(tm) 6= 0. (2) Giả sử (1) là biểu diễn củaπ(t)vớil(π(t)) =n1. Thế thìm = 1vàλt1 ∈ U(A). Thật vậy, khi m >1 hayλt1 ∈/ U(A), ta nhận được, theo (2) và Bổ đề 3.2.1(ii) và (iv), n1 = l(π(t)) > l(π(t1)) : mâu thuẫn với n1 = min{l(π(t)) | t ∈ T}.
Như vậy, nếu l(π(t)) = n1 thì π(t) = λs, λ ∈ U(A), s ∈ S. Điều này gợi ý cho ta tiếp tục chứng minh quy nạp theo k. Giả thiết rằng đối với t ∈ T tuỳ ý số l(π(t)) ≤ nk đã có π(t) = P
s∈S
λtss, và giả sử (1) là biểu diễn của π(t) với l(π(t)) = nk+1. Nếu m = 1 và λt1 ∈ U(A), thế thì π(t) = λs trong đó λ = λt1 và s = t1 ∈ S, Giả thiết rằng m > 1 hay λt1 ∈/ U(A). Thế thì từ (2) và Bổ đề 3.2.1(ii) và (iv) suy ra l(π(t)) > l(π(tj), j = 1,2, ..., m. Nghĩa là l(π(tj)) ≤ nk,j = 1,2, ..., m. Từ đó theo giả thiết quy nạp, π(tj) = P
s∈S
λ(j)s s; j = 1,2, ..., m. Do đó, vì π(t) =
m
P
j=1
λtjπ(tj), ta có π(t) = P
s∈S
(
m
P
j=1
λtjλ(j)s )s =
P
s∈S
λtss, trong đó λts =
n
P
j=1
λtjλ(j)s ∈ A.
Từ Ví dụ 3.1.5 và Định lý 3.2.2 trực tiếp suy ra.
3.2.3 Hệ quả. N-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý (nghĩa là vị nhóm giao hoán xạ ảnh tuỳ ý) là tự do.
Từ Mệnh đề 3.1.11 và Định lý 3.2.2 suy ra.
3.2.4 Hệ quả. Nếu A là nửa vành N-định giá được và M là vị nhóm N-định giá được, thế thì A[M]-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý là tự do.
Từ Định lý 3.2.2 và Hệ quả 3.1.12 suy ra
3.2.5 Hệ quả. Giả sử A là nửa vành N-định giá được và G là vị nhóm tuỳ ý. Thế thì A[G]-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý là tự do.
Nói riêng, ta có:
3.2.6 Hệ quả. Với mọi nhóm G cho trước, các N[G]-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý là tự do.
Từ Định lý 3.2.2 và Hệ quả 3.1.13, suy ra:
3.2.7 Hệ quả. Giả sử A là một nửa vành N-định giá được và E hoặc là một vị nhóm con của vị nhóm tự do, hoặc là một vị nhóm con của vị nhóm giao
hoán tự do. Thế thì A[E]-nửa môđun xạ ảnh tuỳ ý là tự do.
Như một trường hợp đặc biệt của Hệ quả 3.2.7, ta có
3.2.8 Hệ quả. Đối với nửa vành N-định giá được tuỳ ý A, các lớp nửa môđun tự do và xạ ảnh trên nửa vành đa thức A[x1, ..., xn] trùng nhau. Nói riêng, tất cả các N[x1, ..., xn]-nửa môđun xạ ảnh là tự do.
Qua bản Luận văn, chúng tôi đã hoàn thành được những vấn đề sau:
1. Trình bày các khái niệm và tính chất cơ sở của nửa vành, nửa môđun trên nửa vành, nửa môđun tự do và nửa môđun xạ ảnh.
2. Trình bày khái niệm nửa vành N-định giá được và một số tính chất của nó (Mệnh đề 3.1.3, Mệnh đề 3.1.6).
3. Trình bày khái niệm vị nhóm N-định giá được và chứng minh chi tiết kết quả: Nếu A và M tương ứng là nửa vành và vị nhóm N-định giá được thì nửa vành vị nhóm A[M] cũng N-định giá được(Mệnh đề 3.1.11).
4. Trình bày khái niệm nửa môđun trên nửa vành N-định giá được và chứng minh chi tiết kết quả: Mọi nửa môđun xạ ảnh trên nửa vành N-định giá được là môđun tự do. (Định lý 3.2.2).
Tiếng Việt
[1] Lê Quốc Hán (2009), Bài giảng đại số hiện đại, Trường Đại học Vinh.
[2] Trần Giang Nam (2011), Tính đơn và đặc trưng đồng điều của nửa vành, Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Vinh.
[3] Đỗ Phú Quốc (2011), Một số lớp nửa môđun trên nửa vành, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Vinh.
Tiếng Anh
[4] J. S. Golan (1992), The theory semirings with applications in mathe- matics and theoretical computer science, Longman Scientific Technical complished in the United States with John and Sons Ins. New Yorks.
[5] J. S. Golan (1999), Semirings and their applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[6] P. A. Grillet (1969), On free commutative semigroups, J. Natur. Sci.
Math. 9, 71-78.
[7] Y. Katsov (2004), Toward homological characterization of semirings:
Serre’s conjecture and Bass’s perfectness in a semirings context, Algebra Univers. 52, 197-214.